קוד:מבחן דיריכלה להתכנסות טורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:17, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T12:17:48Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:17, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש-		\begin{thm}
			יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש-

	א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה.		א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה.
שורה 7:		שורה 8:
	אזי הטור מתכנס		אזי הטור מתכנס

	$\\$		\end{thm}
	הערה: המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-0 וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה.
	~~$\\$~~
	~~\underline~~{~~הוכחה:~~} ~~באמצעות קריטריון קושי~~

	נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ). נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- $S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $ (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:		\begin{remark}
			המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-$0$ וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה.
			\end{remark}

			\begin{proof}
			באמצעות קריטריון קושי\\
			נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ).\\
			נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש-
			$$S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $$
			(סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:

	$\sum_{k=0}^n \|B_k (a_k-a_{k+1})\| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס.		$\sum_{k=0}^n \|B_k (a_k-a_{k+1})\| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס.
			\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה. ב. $a_n \searrow 0 $ (יור..."

2014-08-16T22:48:34Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה. ב. $a_n \searrow 0 $ (יור..."

דף חדש

\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש-

א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה.

ב. $a_n \searrow 0 $ (יורדת מונוטונית ל-0)

אזי הטור מתכנס

$\\$
הערה: המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-0 וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה.
$\\$
\underline{הוכחה:} באמצעות קריטריון קושי

נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ). נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- $S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $ (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:

$\sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס.