קוד:מבחן ההשוואה הגבולי לטורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:33, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T11:33:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:33, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} ~~יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי~~		\begin{thm}

	1. אם $a_n=O(b_n)~~,n\to\infty~~ $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $		יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי
			\begin{enumerate}
			\item אם $a_n=O(b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

	2. אם $a_n=O^* (b_n)~~,n\to\infty~~ $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $		\item אם $a_n=O^* (b_n) $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $
			\end{enumerate}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} קודם כל נשים לב שאם 1 מתקיים ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז גם $b_n=O^* (a_n) $ וזה אומר שגם $a_n=O(b_n) $ וגם $b_n=O(a_n) $. אם נשתמש עכשיו במשפט 1, משפט 2 מגיע ישירות. כעת נוכיח את 1:		\end{thm}

	$\~~exists_~~{~~n_0~~} \~~forall_~~{n>n_0} a_n\leq M\cdot b_n $ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס.		\begin{remark}
	$\\$		מההגדרות של סימני לנדאו מתקיים ש-
	\~~underline~~{~~מסקנה: משפט~~ ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת}		$$a_n=O^(b_n) \Leftrightarrow b_n=O^(a_n) $$
			ומכל אחד מהם נובע ש-
			$$a_n=O(b_n) , b_n=O(a_n) $$
			מכאן שאם משפט 1 נכון ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז משפט 2 מתקבל ישירות
			\end{remark}

			\begin{proof}

			$$\exists n_0 \forall n>n_0: a_n\leq M\cdot b_n $$
			וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן
			$$\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $$
			והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס.
			\end{proof}

			\begin{cor}[מבחן ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת יותר]

	יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי		יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי
			\begin{enumerate}
			\item אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $

	1. אם $L=0 $ ~~אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty~~ \~~Rightarrow \sum_~~{~~n=1~~}~~^\infty a_n <\infty $~~		\item אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס
			\end{enumerate}

	~~2. אם $L~~\~~neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס~~		\end{cor}

	\~~underline~~{~~הוכחה~~:}		\begin{proof}
			\begin{enumerate}
			\item אם $L=0 $ אז
			$$\exists n_0 \forall n>n_0 : \frac{a_n}{b_n}<1 $$ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.

	1. אם $L=0 $ אז $\~~exists_{~~n_0} \~~forall_{~~n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<1 $ ~~ומכאן ש-~~ $a_n=O(b_n) ~~, n~~\to \~~infty~~ $. ~~כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט~~ הקודם ~~וסיימנו~~.		\item אם $L\neq 0 $ אז
			$$\exists n_0 \forall n>n_0 :\frac{a_n}{b_n}<2L $$
			ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.
			\begin{enumerate}
			\end{proof}

	2. אם $L\neq 0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<2L $ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\~~frac~~{~~b_n~~}~~{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.~~		\begin{example}
	~~$\\$~~		נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש-
	~~דוגמה:~~ נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.		$$\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $$
			ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.
			\end{example}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי 1. אם $a_n=O(b..."

2014-08-16T13:34:42Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי 1. אם $a_n=O(b..."

דף חדש

\underline{משפט:} יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ אזי

1. אם $a_n=O(b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

2. אם $a_n=O^* (b_n),n\to\infty $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n<\infty \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n<\infty $

\underline{הוכחה:} קודם כל נשים לב שאם 1 מתקיים ו- $a_n=O^* (b_n) $ אז גם $b_n=O^* (a_n) $ וזה אומר שגם $a_n=O(b_n) $ וגם $b_n=O(a_n) $. אם נשתמש עכשיו במשפט 1, משפט 2 מגיע ישירות. כעת נוכיח את 1:

$\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq M\cdot b_n $ וגם $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס ולכן $\sum_{n=n_0}^\infty a_n\leq \sum_{n=n_0}^\infty M\cdot b_n = M\cdot\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ והטור האחרון מתכנס, ומזה מסיקים ש- $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ חסום מלעיל ולכן מתכנס. כעת רק נשאר לראות ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} a_n + \sum_{n=n_0}^\infty a_n $ וזה כידוע, מתכנס.
$\\$
\underline{מסקנה: משפט ההשוואה הגבולי בצורתו המוכרת}

יהיו הטורים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ ונניח ש- $\forall n : a_n,b_n\geq 0 $ וגם הגבול $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L $ קיים. אזי

1. אם $L=0 $ אז $\sum_{n=1}^\infty b_n <\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty a_n <\infty $

2. אם $L\neq 0 $ הטורים "חברים", כלומר אחד מתכנס אם ורק אם השני מתכנס

\underline{הוכחה:}

1. אם $L=0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<1 $ ומכאן ש- $a_n=O(b_n) , n\to \infty $. כל מה שנשאר זה להשתמש במשפט הקודם וסיימנו.

2. אם $L\neq 0 $ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} \frac{a_n}{b_n}<2L $ ולכן מהעברת אגפים $a_n=O(b_n) $ . מצד שני כיוון ש- $L\neq 0 $ אז אפשר לעשות את אותו טריק על $\frac{b_n}{a_n} $ והגבול $\frac{1}{L}$ ולקבל ש- $b_n=O(a_n) $ . עכשיו שוב אפשר להפעיל את המשפט הקודם ולקבל את הדרוש.
$\\$
דוגמה: נסתכל על $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{an+b} $ עבור $0\neq a,b$ קבועים. נראה ש- $\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{an+b}}=a $ ולכן, ממבחן ההשוואה הגבולי, הטור הזה "חבר" של הטור ההרמוני שמתבדר, ומכאן שהטור מתבדר.