קוד:מבחן ההשוואה הראשון לטורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:13, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T11:13:20Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:13, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי		\begin{thm}
			יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי
			\begin{enumerate}
			\item אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

	1. אם $\sum_{n=1}^\infty ~~b_n~~$ ~~מתכנס~~ אז גם $\sum_{n=1}^\infty ~~a_n~~$ ~~מתכנס~~		\item אם $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר

	~~2. אם $~~ \~~sum_~~{~~n=1~~}~~^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר~~		\end{enumerate}
	$\\$		\end{thm}
	~~\underline~~{~~הוכחה:~~} ~~קודם כל נשים לב ש-2 שקול לוגית ל-1 (ידוע ש- $p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $ ), לכן מספיק להוכיח רק את 1.~~

	~~נניח שהטור~~ $\sum_{n=1}^\infty ~~b_n~~ $ מתכנס, ~~ולכן~~ גם $\sum_{n=n_0}^\infty ~~b_n $ מתכנס, ומכאן שהוא חסום מלעיל. הסס"ח של $~~\sum_{n=~~n_0~~}^\infty a_n $ ~~מהווים סדרה מונוטונית עולה (זהו טור שכל איבריו חיוביים) וכיוון שהם קטנים מהסס"ח של~~		\begin{remark}
	$\~~sum_~~{~~n=n_0~~}^\~~infty b_n $ , הסופרימום שלהם קטן או שווה לסופרים של~~ $\sum_{n=~~n_0~~}^\infty b_n $ , ~~ומכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה ולכן מתכנסת~~. כעת ~~ברור ש-~~ $\sum_{n=1}^\~~infty a_n =~~ \sum_{n=1}^~~{n_0~~-~~1} +~~ \sum_{~~n_0~~}^\infty a_n $ מתכנס.		משפט 2 שקול לוגית למשפט 1 משום שמתקיים
	$\\$		$$p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $$
	~~דוגמה:~~ הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.		לכן מספיק להוכיח רק את 1
			\end{remark}

			\begin{remark}
			אפשר "לזרוק" את כל האיברים שבאים לפני $n_0 $ ואז אם $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ מתכנס, בוודאי גם
			$$a_1+a_2+\cdots + a_{n_0 - 1} + \sum_{n=n_0}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n $$
			לכן בהוכחה נניח ש- $n_0=1 $
			\end{remark}

			\begin{proof}
			נניח שהטור $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס, אזי סדרת הסכומים החלקיים $B_n $ חסומה (נקרא לחסם מלעיל שלה $M$). כעת נסתכל על סדרת הסכומים החלקיים
			$$A_n=\sum_{k=1}^n a_k \leq \sum_{k=1}^n b_k = B_n \leq M $$
			ולכן $A_n $ חסומה ומכאן ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס.
			\end{proof}
			\begin{example}
			הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.
			\end{example}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \foral..."

2014-08-16T12:24:50Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \foral..."

דף חדש

\underline{משפט:} יהיו שני טורים עם איברים חיוביים $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n $ כך ש- $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} a_n\leq b_n $ אזי

1. אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס אז גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס

2. אם $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ מתבדר אז גם $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ מתבדר
$\\$
\underline{הוכחה:} קודם כל נשים לב ש-2 שקול לוגית ל-1 (ידוע ש- $p\rightarrow q \Leftrightarrow \lnot q \rightarrow \lnot p $ ), לכן מספיק להוכיח רק את 1.

נניח שהטור $\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנס, ולכן גם $\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ מתכנס, ומכאן שהוא חסום מלעיל. הסס"ח של $\sum_{n=n_0}^\infty a_n $ מהווים סדרה מונוטונית עולה (זהו טור שכל איבריו חיוביים) וכיוון שהם קטנים מהסס"ח של
$\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ , הסופרימום שלהם קטן או שווה לסופרים של $\sum_{n=n_0}^\infty b_n $ , ומכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה ולכן מתכנסת. כעת ברור ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^{n_0-1} + \sum_{n_0}^\infty a_n $ מתכנס.
$\\$
דוגמה: הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}} $ מתבדר או מתכנס? נראה כי $\sqrt{n}\leq n\Rightarrow \frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}} $ וכיוון שהטור ההרמוני $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} $ מתבדר אז לפי מבחן ההשוואה הראשון גם הטור שלנו מתבדר.