קוד:מבחן העיבוי לטורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:30Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:46, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T11:46:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:46, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים.		\begin{thm}
	~~$\\$~~		נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת).\\
	~~דוגמה: הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור $\sum_{k=0}^\infty~~ \~~frac~~{1}~~{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $ וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:~~		אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים.
			\end{thm}

	$\~~sum_~~{~~n=1}^\infty \frac{1}{n^p~~} $ ~~מתכנס אם ורק אם~~ $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k~~)^p~~} \cdot 2^k ~~$ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^~~{~~1-p})^~~k ~~$ , כלומר סדרה הנדסית. טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{~~1-p}~~<1=2~~^~~0 $ . זה קורה אם ורק אם $~~1~~-p<0~~ $ ~~וזה קורה אם ורק אם $p>1~~$		\begin{example}
	~~$\\$~~		הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור
	~~\underline{הוכחת~~ מבחן העיבוי:}		$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $$
			וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

	~~לשם הפשטות נקרא לסס"ח של~~ $\sum_{n=1}^\infty ~~a_n $ בשם $A_n~~$ ~~ולסס"ח של~~ $\sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n $ ~~בשם~~ $~~S_n~~$. ~~כעת~~, ~~מצד אחד:~~		$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס אם ורק אם $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k $ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^{1-p})^k $ , כלומר סדרה הנדסית.\\
			טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$
			\end{example}

	~~$S_n=a_1+2a_2+4a_4+~~\~~cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq \\ a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_~~{~~2^n - 1~~} $		\begin{proof}

			לשם הפשטות נקרא לסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n $ בשם $A_n$ ולסס"ח של $\sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n $ בשם $S_n$. כעת, מצד אחד:
			$$S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq$$
			$$a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_{2^n - 1} $$
	(השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)		(השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

	ומצד שני		ומצד שני
			$$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq$$
	$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq\\ a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $		$$a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $$

	(גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)		(גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

	לסיכום: $A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 $		לסיכום: $A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 $

	אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. ~~משל~~		אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש-\\
	$\\$		$S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה.
	~~הערה חשובה:~~ אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{8} $ . במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. ~~נניח בשלילה שמתכנס~~, אז $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $ ~~כש-~~ $~~y_n=\frac{1}{n}-x_n $ ו-~~ $\sum ~~y_n~~ $ ~~הוא "כמעט" טור הנדסי (עד כדי הרבה אפסים) ולכן~~ מתכנס ~~ואז~~ הטור ההרמוני ~~הוא סכום של טורים מתכנסים, סתירה!~~		\end{proof}

			\begin{remark}
			אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה
			$$x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{9},\cdots $$
			במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. כי אם נגדיר
			$$y_n=1,\frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8},0,\cdots $$
			אז $\sum y_n $ הוא בעצם טור הנדסי (מלבד הרבה אפסים שדחפו "באמצע") ולכן מתכנס. כעת נראה ש-
			$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $$
			ואז אם $\sum x_n $ מתכנס גם הטור ההרמוני יתכנס ופה הסתירה.
			\end{remark}

Ofekgillon10 ב־14:38, 16 באוגוסט 2014

2014-08-16T14:38:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:38, 16 באוגוסט 2014
שורה 22:		שורה 22:

	אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל		אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל
			$\\$
			הערה חשובה: אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{8} $ . במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. נניח בשלילה שמתכנס, אז $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $ כש- $y_n=\frac{1}{n}-x_n $ ו- $\sum y_n $ הוא "כמעט" טור הנדסי (עד כדי הרבה אפסים) ולכן מתכנס ואז הטור ההרמוני הוא סכום של טורים מתכנסים, סתירה!

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). א..."

2014-08-16T14:01:27Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). א..."

דף חדש

\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים.
$\\$
דוגמה: הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $ וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס אם ורק אם $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k $ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^{1-p})^k $ , כלומר סדרה הנדסית. טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$
$\\$
\underline{הוכחת מבחן העיבוי:}

לשם הפשטות נקרא לסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n $ בשם $A_n$ ולסס"ח של $\sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n $ בשם $S_n$. כעת, מצד אחד:

$S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq \\ a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_{2^n - 1} $

(השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

ומצד שני

$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq\\ a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $

(גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

לסיכום: $A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 $

אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל