קוד:מבחן לייבניץ להתכנסות טורים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:31Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־12:13, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T12:13:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:13, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{~~משפט:~~} יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס.		\begin{thm}
			יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס.
			\end{thm}

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~} נסתכל על הסס"ח $S_n$. מתקיים ש- $S_{2m+2}=S_{2m}+c_{2m+1}-c_{2m+2} $ ומשום ש- $c_n \searrow 0 $ נקבל ש- $S_{2m+2}\geq S_{2m} $ ומכאן ש- $S_{2n} $ סדרה מונו' עולה. בנוסף לכל $n$ מתקיים ש-		\begin{proof}
			נסתכל על הסס"ח $S_n$. מתקיים ש- $S_{2m+2}=S_{2m}+c_{2m+1}-c_{2m+2} $ ומשום ש- $c_n \searrow 0 $ נקבל ש- $S_{2m+2}\geq S_{2m} $ ומכאן ש- $S_{2n} $ סדרה מונו' עולה. בנוסף לכל $n$ מתקיים ש-
			$$S_{2n}=c_1-c_2+c_3-c_4+\cdots -s = c_1-(c_2-c_3)-\cdots -(c_{2m-2}-c_{2m-1})-c_{2m} \leq c_1 $$
			כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי (הסדרה $c_n$ מונו' יורדת). מכאן ש- $S_{2n}$ מונו' עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. כיוון ש- $a_n\to L \Leftrightarrow a_{2n} \to L \land a_{2n-1} \to L $, הטור מתכנס.
			\end{proof}

	$S_{2n}=c_1-c_2+c_3-c_4+\cdots -s = c_1-(c_2-c_3)-\cdots -(c_{2m-2}-c_{2m-1})-c_2m \leq c_1 $ כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי (הסדרה $c_n$ מונו' יורדת). מכאן ש- $S_{2n}$ מונו' עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. טענת עזר (הוכיחו בבית): $a_n\~~to L \Leftrightarrow a_~~{2n} ~~\to L \land a_{2n-1} \to L $ . לפי טענת העזר נקבל שהטור מתכנס.~~		\begin{example}
			הטור $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הטור הזה נקרא טור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני.
	~~$\\$~~		\end{example}
	~~דוגמה:~~ הטור $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הטור הזה נקרא טור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני.

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס. \u..."

2014-08-16T17:23:14Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס. \u..."

דף חדש

\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} c_n $ כאשר $c_n$ חיובית ויורדת מונוטונית ל-0 אזי הטור מתכנס.

\underline{הוכחה:} נסתכל על הסס"ח $S_n$. מתקיים ש- $S_{2m+2}=S_{2m}+c_{2m+1}-c_{2m+2} $ ומשום ש- $c_n \searrow 0 $ נקבל ש- $S_{2m+2}\geq S_{2m} $ ומכאן ש- $S_{2n} $ סדרה מונו' עולה. בנוסף לכל $n$ מתקיים ש-

$S_{2n}=c_1-c_2+c_3-c_4+\cdots -s = c_1-(c_2-c_3)-\cdots -(c_{2m-2}-c_{2m-1})-c_2m \leq c_1 $ כי כל אחד מהאיברים בסוגריים הוא אי שלילי (הסדרה $c_n$ מונו' יורדת). מכאן ש- $S_{2n}$ מונו' עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. באותו אופן אפשר להראות על האי זוגיים שהם מתכנסים לאותו גבול. טענת עזר (הוכיחו בבית): $a_n\to L \Leftrightarrow a_{2n} \to L \land a_{2n-1} \to L $ . לפי טענת העזר נקבל שהטור מתכנס.

$\\$
דוגמה: הטור $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots $ מתכנס לפי מבחן לייבניץ (הטור הזה נקרא טור לייבניץ) אבל לא מתכנס בהחלט משום שטור הערכים המוחלטים של הסדרה המתאימה זהו הטור ההרמוני.