גיא ב־18:55, 4 במרץ 2015

2015-03-04T18:55:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:55, 4 במרץ 2015
שורה 11:		שורה 11:
	\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה}, אם היא מחייכת, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מעל גרף הפונקציה.		\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה}, אם היא מחייכת, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מעל גרף הפונקציה.

	בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$.		בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$

	\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $>$ תמיד ולא רק $\leq$).		\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $>$ תמיד ולא רק $\leq$).
שורה 17:		שורה 17:
	\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה}, אם היא עצובה, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.		\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה}, אם היא עצובה, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

	בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\ge f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$.		בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\ge f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$

	\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $<$ תמיד ולא רק $\ge$).		\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $<$ תמיד ולא רק $\ge$).

גיא: יצירת דף עם התוכן "\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות} עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה י..."

2015-03-04T17:00:18Z

יצירת דף עם התוכן "\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות} עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה י..."

דף חדש

\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות}

עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה יש מצב רוח (ואז היא מחייכת) או שאין לה מצב רוח (ואז היא עצובה).

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה.

\begin{enumerate}

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה}, אם היא מחייכת, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מעל גרף הפונקציה.

בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\leq f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$.

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קמורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $>$ תמיד ולא רק $\leq$).

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה}, אם היא עצובה, כלומר אם הישר העובר בין כל שתי נקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.

בסימנים מתמטיים, לכל $x_1,x_2\in(a,b)$ ולכל $0<\lambda<1$, מתקיים $$f(x_1+\lambda(x_2-x_1))\ge f(x_1)+\lambda(f(x_2)-f(x_1))$$.

\item אומרים ש-$f$ \textbf{קעורה ממש}, אם אי-השוויון הנ"ל הוא אי-שוויון חזק (כלומר יש $<$ תמיד ולא רק $\ge$).

\end{definition}

במילים פשוטות, פונקציה היא קמורה אם היא נראית כמו קערה, והיא קעורה אם היא נראית כמו קערה הפוכה. #מתרגמים_בינוניים_וסבירים.

כדי לקבוע קמירות וקעירות של הפונקציה, נשתמש בשני המשפטים הבאים:

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה.

\begin{enumerate}

\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f'$ עולה.

\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f'$ עולה ממש.

\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f'$ יורדת.

\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f'$ יורדת ממש.

\end{thm}

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים.

\begin{enumerate}

\item $f$ היא קמורה אם ורק אם $f''$ אי-שלילית.

\item $f$ היא קמורה ממש אם ורק אם $f''$ חיובית (ולא מתאפסת).

\item $f$ היא קעורה אם ורק אם $f''$ אי-חיובית.

\item $f$ היא קעורה ממש אם ורק אם $f''$ שלילית (ולא מתאפסת).

\end{thm}

כעת נתעניין בנקודות שבהן אנו עוברים בין התחומים.

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x_0\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת פיתול}, אם מצד אחד שלה הפונקציה קעורה, ומהצד השני הפונקציה קמורה (לא משנה מאיזה צד; העיקר שיש החלפה בין הקעירות לקמירות).

\end{definition}

כדי למצוא נקודות פיתול, יש משפט בדומה לנקודות קיצון:

\begin{thm}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה גזירה פעמיים, ותהי נקודה $x_0\in(a,b)$. אם $x_0$ נקודת פיתול, אזי $f''(x_0)=0$.

\end{thm}

לסיכום, כדי למצוא נקודות פיתול גוזרים את הפונקציה פעמיים. הנקודות החשודות הן כל הנקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל $f$ כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ובודקים את תחומי הקמירות והקעירות.

\begin{remark}

במשפט שהיה קודם, לגבי קיצון עם נגזרות מסדר גבוה - אם $n$ זוגי, הנקודה היא נקודת פיתול.

\end{remark}

קוד:מציאת נקודות פיתול ותחומי קמירות וקעירות - היסטוריית גרסאות

גיא ב־18:55, 4 במרץ 2015

גיא: יצירת דף עם התוכן "\subsection{מציאת נקודות פיתול וקביעת תחומי קמירות וקעירות} עכשיו רוצים להבין האם לפונקציה י..."