קוד:מציאת נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה - היסטוריית גרסאות

גיא ב־18:57, 4 במרץ 2015

2015-03-04T18:57:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:57, 4 במרץ 2015
שורה 15:		שורה 15:
	\begin{enumerate}		\begin{enumerate}

	\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$~~I$ מתקיים~~ $f(x)\ge f(y)$.		\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$,
			$$x>y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$$

	\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$~~I$ מתקיים~~ $f(x)>f(y)$.		\item נאמר ש-$f$ \textbf{עולה ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$,
			$$x>y\Rightarrow f(x)>f(y)$$

	\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$~~I$ מתקיים~~ $f(x)\leq f(y)$.		\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$,
			$$x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$$

	\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$~~I$ מתקיים~~ $f(x)<f(y)$.		\item נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת ממש} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x,y\in I$,
			$$x>y\Rightarrow f(x)<f(y)$$

	\end{enumerate}		\end{enumerate}

גיא ב־16:43, 4 במרץ 2015

2015-03-04T16:43:09Z

@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 \begin{definition}
-תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)>f(y)$. נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)<f(y)$.
+תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה.
 \end{definition}
-כשמחפשים נקודות קיצון, אפשר להיעזר במשפט הבא:
+כשמחפשים נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה, נעזרים במשפטים הבאים:
 \begin{thm}[למת פרמה]
 תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה, ונניח ש-\(x_0\in(a,b)\) נקודת קיצון מקומי (ז"א, מינימום מקומי או מקסימום מקומי). \textbf{אם} $f$ גזירה ב-$x_0$, אזי $f'(x_0)=0$.
 \end{thm}
 מהמשפט אנו לומדים כיצד לחפש נקודות קיצון: גוזרים את הפונקציה, ומחפשים את כל הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. הנקודות החשודות לקיצון הן הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל הפונקציה כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ומשלימים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

גיא: יצירת דף עם התוכן "\subsection{מציאת נקודות קיצון וקביעת תחומי עלייה וירידה} ניזכר בהגדרה של נקודות מינימום ומק..."

2015-03-04T16:34:38Z

יצירת דף עם התוכן "\subsection{מציאת נקודות קיצון וקביעת תחומי עלייה וירידה} ניזכר בהגדרה של נקודות מינימום ומק..."

דף חדש

\subsection{מציאת נקודות קיצון וקביעת תחומי עלייה וירידה}

ניזכר בהגדרה של נקודות מינימום ומקסימום:

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מינימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ קטן (או שווה) משאר הנקודות בסביבה. נקודה $x\in(a,b)$ נקראת \textbf{נקודת מקסימום (מקומי)} של $f$, אם קיימת ל-$x$ סביבה שבה הערך של $f$ ב-$x$ גדול (או שווה) משאר הנקודות בסביבה.

\end{definition}

\begin{definition}

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה. נאמר ש-$f$ \textbf{עולה} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)>f(y)$. נאמר ש-$f$ \textbf{יורדת} בקטע $I$ (כאשר $I\subseteq(a,b)$), אם לכל $x>y$ ב-$I$ מתקיים $f(x)<f(y)$.

\end{definition}

כשמחפשים נקודות קיצון, אפשר להיעזר במשפט הבא:

\begin{thm}[למת פרמה]

תהי $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ פונקציה, ונניח ש-$x_0\in(a,b)$ נקודת קיצון מקומי (ז"א, מינימום מקומי או מקסימום מקומי). \textbf{אם} $f$ גזירה ב-$x_0$, אזי $f'(x_0)=0$.

\end{thm}

מהמשפט אנו לומדים כיצד לחפש נקודות קיצון: גוזרים את הפונקציה, ומחפשים את כל הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. הנקודות החשודות לקיצון הן הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה מוגדרת (אבל הפונקציה כן מוגדרת). אז עורכים טבלה, ומשלימים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.