קוד:משפט הסנדוויץ' (סדרות) - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10 ב־12:05, 1 בנובמבר 2014

2014-11-01T12:05:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:05, 1 בנובמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{thm}[משפט הסנדוויץ']		\begin{thm}[משפט הסנדוויץ']
	תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$.		תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$.
	\end{thm}		\end{thm}
	(שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)		\begin{remark}
			שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום
			\end{remark}
	\begin{proof}		\begin{proof}
	אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו\\		אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו\\ $\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .\\ אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $$ ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $\|x_n-L\|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ .
	$\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .\\
	אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש-
	$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $$
	ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $\|x_n-L\|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ .
	\end{proof}		\end{proof}
			\begin{example}
			נסתכל על הסדרה $a_n=n\cdot \sin \left ( \frac{1}{n^2} \right ) $. אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות במקרה הזה, אך נראה כי מתקיים: $$0\leq n\cdot \sin \frac{1}{n^2} \leq n\cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} $$ שימו לב שאי השיוויון השני נובע מכך ש- $\sin x < x $ לכל $x$ חיובי.\\ קיבלנו שהסדרה לכודה בין $0$ (שכמובן שואף ל-$0$) לבין $\frac{1}{n}$ (סדרה שגם היא שואפת ל-$0$) ולכן בסך הכל, ממשפט הסנדוויץ', הסדרה מתכנסת ל-$0$.
			\end{example}

ארז שיינר: 2 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:34Z

2 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־15:39, 3 בספטמבר 2014

2014-09-03T15:39:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:39, 3 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\~~underline~~{משפט הסנדוויץ':} תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$. (שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)		\begin{thm}[משפט הסנדוויץ']
			תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$.
			\end{thm}
			(שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)

	\~~underline~~{~~הוכחה:~~}		\begin{proof}
	אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו $\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .		אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו\\
			$\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .\\
	אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\~~epsilon~~>0 $. ידוע אז ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $ ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $\|x_n-L\|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ . ~~משל~~		אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש-
			$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $$
			ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $\|x_n-L\|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ .
			\end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט הסנדוויץ':} תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a..."

2014-08-15T09:04:53Z

יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט הסנדוויץ':} תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a..."

דף חדש

\underline{משפט הסנדוויץ':} תהיינה הסדרות $\{x_n\}_{n=1}^\infty , \{a_n\}_{n=1}^\infty , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ כך ש- $ \forall n : a_n\leq x_n \leq b_n $ ובנוסף $\lim_{n\to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} b_n = L $ אזי הסדרה $x_n$ מתכנסת והגבול שלה הוא $L$. (שם המשפט נובע מכך שהסדרה האמצעית היא באמצע של מעין סנדוויץ' שיוצרות הסדרות $ a_n,b_n $ ששואפות לאותו גבול. פרופסור מארק אגרנובסקי מספר שברוסיה נהוג לקרוא למשפט הזה המשפט על שיכור ו-2 שוטרים משום שהסדרות $a_n,b_n$ הן כמו שוטרים שהולכים למקום מסוים $L$ וגורמים שיכור שהולך ביניהם $x_n$ ללכת איתם לאותו מקום)

\underline{הוכחה:}
אם $L=\infty$ אז פשוט עבור $M>0 $ ידוע שיש $n_0 $ שמתקיים עבורו $\forall_{n>n_0} a_n>M $ ואז גם $x_n\geq a_n>M $. באותו אופן אם $L=-\infty$ אז נעשה אותו דבר רק עם העובדה ש- $x_n\leq b_n\leq M $ .

אם $L\in \mathbb{R} $, יהי $\epsilon>0 $. ידוע אז ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: L-\epsilon<a_n , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: b_n<L+\epsilon $ ואז עבור $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $\forall_{n>n_0} : L-\epsilon<a_n\leq x_n\leq b_n < L+\epsilon $ ומכאן, ש- $|x_n-L|<\epsilon $ ואז לפי ההגדרה, $ x_n\to L $ . משל