קוד:משפט ערך הביניים - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:37Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־17:57, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T17:57:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:57, 23 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע) אזי לכל $y\in [f(a),f(b)] \cup [f(b),f(a)] $ קיים $c\in [a,b] $ כך ש- $f(c)=y $ . (הערה: אנו לא יודעים אם $f(a)<f(b) $ או $f(b)<f(a) $ אבל בכל מקרה אם אחד מהם מתקיים אז אחת מהקבוצות שבאיחוד המתואר היא ריקה)		נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע)\\
	\end{~~theorem~~}		אזי לכל $y\in [f(a),f(b)] \cup [f(b),f(a)] $ קיים $c\in [a,b] $ כך ש- $f(c)=y $ .\\
			(הערה: אנו לא יודעים אם $f(a)<f(b) $ או $f(b)<f(a) $ אבל בכל מקרה אם אחד מהם מתקיים אז אחת מהקבוצות שבאיחוד המתואר היא ריקה)
			\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח בה"כ ש- $f(a)<f(b) $ . יהי $y\in [f(a),f(b)] $, ונגדיר את $g(x)=f(x)-y $ . נשים לב ש- $f(c)=y $ אם ורק אם $g(c)=0 $ ולכן נוכיח שקיים $c$ שמאפס את $g$. כעת נגדיר $E=\{x\in [a,b] \| g(x)\leq 0 $ ונשים לב ש- $a\in E $. נגדיר $c=\sup E$ ומכאן ש- $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n \in E : c-\frac{1}{n} <x_n \leq c $ . בעצם $c_n\to c $ ומהרציפות של $g$ כסכום של רציפות נובע ש- $g(c_n)=g(c) $ וכיוון ש- $g(c_n)\leq 0 $ גם $g(c)\leq 0 $. כעת נניח בשלילה ש- $g(c)<0 $ ואז מהרציפות $\exists \delta>0 \forall 0<x-c<\delta : \|g(x)-g(c)\| <-\frac{g(c)}{2} \Rightarrow g(x)<\frac{g(c)}{2} <0 $ אבל זה סותר את זה ש- $c=\sup E $ משום שיש טווח של $x$ים שגדולים ממנו ועדיין $g(x)<0 $. מכאן שבהכרח $g(c)=0 $ ומצאנו את הדרוש		נניח בה"כ ש- $f(a)<f(b) $ . יהי $y\in [f(a),f(b)] $, ונגדיר את $g(x)=f(x)-y $.\\
			נשים לב ש- $f(c)=y $ אם ורק אם $g(c)=0 $ ולכן נוכיח שקיים $c$ שמאפס את $g$.\\
			כעת נגדיר $E=\{x\in [a,b] \| g(x)\leq 0\} $ ונשים לב ש- $a\in E $.\\
			נגדיר $c=\sup E$ ומכאן ש- $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n \in E : c-\frac{1}{n} <x_n \leq c $ .\\
			בעצם $c_n\to c $ ומהרציפות של $g$ כסכום של רציפות נובע ש- $g(c_n)=g(c) $ וכיוון ש- $g(c_n)\leq 0 $ גם $g(c)\leq 0 $. כעת נניח בשלילה ש- $g(c)<0 $ ואז מהרציפות
			$$\exists \delta>0 \forall 0<x-c<\delta : \|g(x)-g(c)\| <-\frac{g(c)}{2} \Rightarrow g(x)<\frac{g(c)}{2} <0 $$
			אבל זה סותר את זה ש- $c=\sup E $ משום שיש טווח של $x$ים שגדולים ממנו ועדיין $g(x)<0 $. מכאן שבהכרח $g(c)=0 $ ומצאנו את הדרוש
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־14:37, 27 באוגוסט 2014

2014-08-27T14:37:46Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \begin{theorem}
 נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע) אזי לכל $y\in [f(a),f(b)] \cup [f(b),f(a)] $ קיים $c\in [a,b] $ כך ש- $f(c)=y $ . (הערה: אנו לא יודעים אם $f(a)<f(b) $ או $f(b)<f(a) $ אבל בכל מקרה אם אחד מהם מתקיים אז אחת מהקבוצות שבאיחוד המתואר היא ריקה)
@@ שורה 9: / שורה 6: @@
 נניח בה"כ ש- $f(a)<f(b) $ . יהי $y\in [f(a),f(b)] $, ונגדיר את $g(x)=f(x)-y $ . נשים לב ש- $f(c)=y $ אם ורק אם $g(c)=0 $ ולכן נוכיח שקיים $c$ שמאפס את $g$.  כעת נגדיר $E=\{x\in [a,b] | g(x)\leq 0 $ ונשים לב ש- $a\in E $. נגדיר $c=\sup E$ ומכאן ש- $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n \in E : c-\frac{1}{n} <x_n \leq c $ . בעצם $c_n\to c $ ומהרציפות של $g$ כסכום של רציפות נובע ש- $g(c_n)=g(c) $ וכיוון ש- $g(c_n)\leq 0 $ גם $g(c)\leq 0 $. כעת נניח בשלילה ש- $g(c)<0 $ ואז מהרציפות $\exists \delta>0 \forall 0<x-c<\delta : |g(x)-g(c)| <-\frac{g(c)}{2} \Rightarrow g(x)<\frac{g(c)}{2} <0 $ אבל זה סותר את זה ש- $c=\sup E $ משום שיש טווח של $x$ים שגדולים ממנו ועדיין $g(x)<0 $. מכאן שבהכרח $g(c)=0 $ ומצאנו את הדרוש
 \end{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \begin{theorem} נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע) אזי..."

2014-08-26T23:19:28Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \begin{theorem} נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע) אזי..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\begin{theorem}
נניח $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ רציפה בקטע (כלומר רציפה בכל נק' בקטע) אזי לכל $y\in [f(a),f(b)] \cup [f(b),f(a)] $ קיים $c\in [a,b] $ כך ש- $f(c)=y $ . (הערה: אנו לא יודעים אם $f(a)<f(b) $ או $f(b)<f(a) $ אבל בכל מקרה אם אחד מהם מתקיים אז אחת מהקבוצות שבאיחוד המתואר היא ריקה)
\end{theorem}

\begin{proof}
נניח בה"כ ש- $f(a)<f(b) $ . יהי $y\in [f(a),f(b)] $, ונגדיר את $g(x)=f(x)-y $ . נשים לב ש- $f(c)=y $ אם ורק אם $g(c)=0 $ ולכן נוכיח שקיים $c$ שמאפס את $g$. כעת נגדיר $E=\{x\in [a,b] | g(x)\leq 0 $ ונשים לב ש- $a\in E $. נגדיר $c=\sup E$ ומכאן ש- $\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n \in E : c-\frac{1}{n} <x_n \leq c $ . בעצם $c_n\to c $ ומהרציפות של $g$ כסכום של רציפות נובע ש- $g(c_n)=g(c) $ וכיוון ש- $g(c_n)\leq 0 $ גם $g(c)\leq 0 $. כעת נניח בשלילה ש- $g(c)<0 $ ואז מהרציפות $\exists \delta>0 \forall 0<x-c<\delta : |g(x)-g(c)| <-\frac{g(c)}{2} \Rightarrow g(x)<\frac{g(c)}{2} <0 $ אבל זה סותר את זה ש- $c=\sup E $ משום שיש טווח של $x$ים שגדולים ממנו ועדיין $g(x)<0 $. מכאן שבהכרח $g(c)=0 $ ומצאנו את הדרוש
\end{proof}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>