קוד:נק' קיצון ומשפט פרמה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:41Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־11:19, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T11:19:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:19, 2 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
	\begin{definition}		\begin{definition}
	תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה בה מקבלת את הערך הכי נמוך בפונקציה, או באופן פורמלי $\exists \delta>0 \forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ ~~ובאופן~~ אנלוגי נק' מקסימום מקומי היא נק' שבסביבה מסוימת שלה מקבלת את הערך הכי גבוה. נק' מינימום ממש (חזק) מקומי אם $\exists \delta>0 \forall x : 0<\|x-x_0\|<\delta \Rightarrow f(x_0)< f(x) $ ובאופן אנלוגי מגדירים מקסימום ממש מקומי		תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה בה מקבלת את הערך הכי נמוך בפונקציה, או באופן פורמלי
			$$\exists \delta>0 \forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $$
			באופן אנלוגי נק' מקסימום מקומי היא נק' שבסביבה מסוימת שלה מקבלת את הערך הכי גבוה.\\
			נק' מינימום ממש (חזק) מקומי אם
			$$\exists \delta>0 \forall x : 0<\|x-x_0\|<\delta \Rightarrow f(x_0)< f(x)$$
			ובאופן אנלוגי מגדירים מקסימום ממש מקומי.\\
			בכל ההגדרות פה טרחנו לציין את המילה "מקומי" משום שיש גם נק' קיצון גלובאליות שהן הנקודות הכי נמוכות והכי גבוהות בכל תחום ההגדרה של הפונקציה (ואז בהגדרה הפורמלית לא צריך את הדלתא).
	\end{definition}		\end{definition}

	~~דוגמה:~~		\begin{example}

	$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ \|x\|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום		$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ \|x\|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום

			\end{example}

	\begin{thm}		\begin{thm}
שורה 14:		שורה 22:
	נוכיח עבור נק' מקסימום מקומי, ועבור מינימום מקומי ההוכחה אנלוגית.		נוכיח עבור נק' מקסימום מקומי, ועבור מינימום מקומי ההוכחה אנלוגית.

	$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי וגם המכנה שלילי ומכאן שכל הביטוי אי שלילי ולכן הנגזרת משמאל אי שלילית. מצד שני,		$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים\\
			ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי וגם המכנה שלילי ומכאן שכל הביטוי אי שלילי ולכן הנגזרת משמאל אי שלילית. מצד שני,

	$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי אבל המכנה חיובי ומכאן שכל הביטוי אי חיובי ולכן הנגזרת מימין אי חיובית. כיוון ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אז קיימת נגזרת והיא שווה לשתי הנגזרות החד צדדיות, מכאן שהיא גם אי חיובית וגם אי שלילית ולכן אפס.		$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים\\
			ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי אבל המכנה חיובי ומכאן שכל הביטוי אי חיובי ולכן הנגזרת מימין אי חיובית.\\
			כיוון ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אז קיימת נגזרת והיא שווה לשתי הנגזרות החד צדדיות, מכאן שהיא גם אי חיובית וגם אי שלילית ולכן אפס.
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־15:29, 29 באוגוסט 2014

2014-08-29T15:29:11Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:29, 29 באוגוסט 2014
שורה 7:		שורה 7:
	$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ \|x\|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום		$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ \|x\|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	תהי הפונקציה $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ ונניח $f$ גזירה בנק' קיצון מקומי $x_0 $ , אזי $f'(x_0)=0 $		תהי הפונקציה $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ ונניח $f$ גזירה בנק' קיצון מקומי $x_0 $ , אזי $f'(x_0)=0 $
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה ב..."

2014-08-28T20:54:10Z

יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה ב..."

דף חדש

\begin{definition}
תהי $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ , נקודה $x_0\in A$ נקראת מינימום מקומי אם קיימת סביבה בה מקבלת את הערך הכי נמוך בפונקציה, או באופן פורמלי $\exists \delta>0 \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ ובאופן אנלוגי נק' מקסימום מקומי היא נק' שבסביבה מסוימת שלה מקבלת את הערך הכי גבוה. נק' מינימום ממש (חזק) מקומי אם $\exists \delta>0 \forall x : 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow f(x_0)< f(x) $ ובאופן אנלוגי מגדירים מקסימום ממש מקומי
\end{definition}

דוגמה:

$f(x)=\begin{cases} x^2\ \text{if}\ |x|<1\\ 1\ \text{else}\end{cases} $ אז $x=0 $ נק' מינימום ממש , $x=1 $ נק' מקסימום ו- $x=2 $ נק' מינימום ומקסימום

\begin{theorem}
תהי הפונקציה $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ ונניח $f$ גזירה בנק' קיצון מקומי $x_0 $ , אזי $f'(x_0)=0 $
\end{theorem}

\begin{proof}
נוכיח עבור נק' מקסימום מקומי, ועבור מינימום מקומי ההוכחה אנלוגית.

$f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי וגם המכנה שלילי ומכאן שכל הביטוי אי שלילי ולכן הנגזרת משמאל אי שלילית. מצד שני,

$f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $ ומשום ש- $x_0 $ מקסימום מקומי מתקיים ש- $f(x)\leq f(x_0) $ (בסביבה קרובה של $x_0 $ ) ולכן המונה אי חיובי אבל המכנה חיובי ומכאן שכל הביטוי אי חיובי ולכן הנגזרת מימין אי חיובית. כיוון ש- $f$ גזירה ב- $x_0 $ אז קיימת נגזרת והיא שווה לשתי הנגזרות החד צדדיות, מכאן שהיא גם אי חיובית וגם אי שלילית ולכן אפס.
\end{proof}