קוד:פונקציות אלמנטריות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 4 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:47Z

4 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־17:09, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T17:09:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:09, 23 בספטמבר 2014
שורה 3:		שורה 3:
	\end{definition}		\end{definition}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
			\begin{enumerate}
			\item \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y)

	\~~operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y)~~		\item \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)}
			\end{enumerate}
	\operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)}		\end{thm}

	\end{~~theorem~~}

	\begin{proof}		\begin{proof}
			\begin{enumerate}
			\item
	הטור מתכנס בהחלט ולכן אפשר להשתמש בכפל טורים:		הטור מתכנס בהחלט ולכן אפשר להשתמש בכפל טורים:

	$\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \sum_{n+m=N} \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{n+m=N} \frac{N! x^n y^m}{n!m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (x+y)^N = \operatorname{exp}(x+y) $		$$\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \sum_{n+m=N} \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!} =$$
			$$\sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{n+m=N} \frac{N! x^n y^m}{n!m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (x+y)^N = \operatorname{exp}(x+y) $$
	$1=\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(x-x)=\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(-x) \Rightarrow \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} $		\item
			$$1=\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(x-x)=\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(-x) \Rightarrow \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} $$
			\end{enumerate}

	\end{proof}		\end{proof}
שורה 22:		שורה 26:
	מכל האמור לעיל נסיק ש- $\operatorname{exp}(x)= a^x $ כאשר $a=\operatorname{exp}(1) $ אבל הוכחנו בעבר ש- $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= e $ ומכאן ש- $\operatorname{exp}(x)=e^x $ . נסיק מכך ש- $e^x>1 $ עבור $x>0 $ ו- $e^x<1 $ עבור $x<0 $		מכל האמור לעיל נסיק ש- $\operatorname{exp}(x)= a^x $ כאשר $a=\operatorname{exp}(1) $ אבל הוכחנו בעבר ש- $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= e $ ומכאן ש- $\operatorname{exp}(x)=e^x $ . נסיק מכך ש- $e^x>1 $ עבור $x>0 $ ו- $e^x<1 $ עבור $x<0 $

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$\operatorname{exp}(x) $ מונוטונית עולה ממש		$\operatorname{exp}(x) $ מונוטונית עולה ממש
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	$x<y \Rightarrow y-x>0 \Rightarrow \operatorname{exp}(y-x)=\frac{\operatorname{exp}(y)}{\operatorname{exp}(x)}>1 \Rightarrow \operatorname{exp}(y)>\operatorname{exp}(x) $		$$x<y \Rightarrow y-x>0 \Rightarrow \operatorname{exp}(y-x)=\frac{\operatorname{exp}(y)}{\operatorname{exp}(x)}>1 \Rightarrow \operatorname{exp}(y)>\operatorname{exp}(x) $$

	\end{proof}		\end{proof}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 $		$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 $
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נשים לב ש- $e^x=1+x+o(x) , x\to 0 $ ולכן לפי הגדרה $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x+o(x)_{x\to 0}-1}{x} = 1+\lim_{x\to 0} \frac{o(x)_{x\to 0}}{x} = 1+0=1 $		נשים לב ש- $e^x=1+x+o(x) , x\to 0 $ ולכן לפי הגדרה
			$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x+o(x)_{x\to 0}-1}{x} = 1+\lim_{x\to 0} \frac{o(x)_{x\to 0}}{x} = 1+0=1 $$
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 54:		שורה 58:
	\end{definition}		\end{definition}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $		$\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \{x=\ln(1+t)\}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $		$$ \lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = \{x=\ln(1+t)\}=\lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x - 1} = 1 $$
	\end{proof}		\end{proof}

	~~מסקנה:~~		\begin{cor}

	$\ln(1+t)=t+o(t),t\to 0 $		$\ln(1+t)=t+o(t),t\to 0 $
			\end{cor}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$e^x,\ln(x) $ רציפות		$e^x,\ln(x) $ רציפות
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה.		מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה.
			$$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow $$
	$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $ ומכאן ש- $e^x $ רציפה.		$$\lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $$
			ומכאן ש- $e^x $ רציפה.
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 80:		שורה 85:
	\end{definition}		\end{definition}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$\sin(x),\cos(x) $ רציפות.		$\sin(x),\cos(x) $ רציפות.
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
	$\|\sin x - \sin x_0\| = \|2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}\| \leq 2\|\sin \frac{x-x_0}{2}\|\leq 2\frac{\|x-x_0\|}{2}=\|x-x_0\| $ ולכן $\lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0 $ . עבור קוסינוס באופן דומה		$$\|\sin x - \sin x_0\| =\left \|2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}\right \| \leq 2\left \|\sin \frac{x-x_0}{2}\right \|\leq 2\frac{\|x-x_0\|}{2}=\|x-x_0\|$$
			ולכן $\lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0 $ . עבור קוסינוס באופן דומה
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־13:11, 28 באוגוסט 2014

2014-08-28T13:11:33Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:11, 28 באוגוסט 2014
שורה 74:		שורה 74:

	$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $ ומכאן ש- $e^x $ רציפה.		$\lim_{x\to x_0} e^{x-x_0} = \{y=x-x_0\} = \lim_{y\to 0} e^y = 1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{e^x}{e^{x_0}}=1 \Rightarrow \lim_{x\to x_0} e^x = e^{x_0} $ ומכאן ש- $e^x $ רציפה.
			\end{proof}

			\begin{definition}
			נגדיר את $a^x=e^{x\ln a} $ ונראה כי זה רציף בתור הרכבה של רציפות.
			\end{definition}

			\begin{theorem}
			$\sin(x),\cos(x) $ רציפות.
			\end{theorem}

			\begin{proof}
			$\|\sin x - \sin x_0\| = \|2\sin \frac{x-x_0}{2}\cos\frac{x+x_0}{2}\| \leq 2\|\sin \frac{x-x_0}{2}\|\leq 2\frac{\|x-x_0\|}{2}=\|x-x_0\| $ ולכן $\lim_{x\to x_0} \sin x = \sin x_0 $ . עבור קוסינוס באופן דומה
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־12:43, 28 באוגוסט 2014

2014-08-28T12:43:13Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 \begin{definition}
 נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר היטב לכל $x\in\mathbb{R} $ משום שלפי מבחן השורש של קושי $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{n!}|}=|x|\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 < 1 $ ומכאן שמתכנס.
@@ שורה 57: / שורה 54: @@
 \end{definition}
-<tex>קוד:זנב</tex>
+\begin{proof}
-</latex2pdf>
+מספיק להוכיח ל- $e^x $ ואז מהמשפט שהוכחנו היום גם $\ln (x) $ בתור פונקציה הופכית לפונקציה רציפה תהיה גם רציפה.

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש \begin{definition} נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר ה..."

2014-08-28T12:29:21Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \begin{definition} נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר ה..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

\begin{definition}
נגדיר את $\operatorname{exp}(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $ ונראה כי מוגדר היטב לכל $x\in\mathbb{R} $ משום שלפי מבחן השורש של קושי $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{n!}|}=|x|\cdot \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 < 1 $ ומכאן שמתכנס.
\end{definition}

\begin{theorem}

\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\operatorname{exp}(x+y)

\operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)}

\end{theorem}

\begin{proof}
הטור מתכנס בהחלט ולכן אפשר להשתמש בכפל טורים:

$\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \sum_{n+m=N} \frac{x^n}{n!} \frac{y^m}{m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \sum_{n+m=N} \frac{N! x^n y^m}{n!m!} = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} (x+y)^N = \operatorname{exp}(x+y) $

$1=\operatorname{exp}(0)=\operatorname{exp}(x-x)=\operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(-x) \Rightarrow \operatorname{exp}(-x)=\frac{1}{\operatorname{exp}(x)} $

\end{proof}

מכל האמור לעיל נסיק ש- $\operatorname{exp}(x)= a^x $ כאשר $a=\operatorname{exp}(1) $ אבל הוכחנו בעבר ש- $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}= e $ ומכאן ש- $\operatorname{exp}(x)=e^x $ . נסיק מכך ש- $e^x>1 $ עבור $x>0 $ ו- $e^x<1 $ עבור $x<0 $

\begin{theorem}
$\operatorname{exp}(x) $ מונוטונית עולה ממש
\end{theorem}

\begin{proof}
$x<y \Rightarrow y-x>0 \Rightarrow \operatorname{exp}(y-x)=\frac{\operatorname{exp}(y)}{\operatorname{exp}(x)}>1 \Rightarrow \operatorname{exp}(y)>\operatorname{exp}(x) $

\end{proof}

\begin{theorem}
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 $
\end{theorem}

\begin{proof}
נשים לב ש- $e^x=1+x+o(x) , x\to 0 $ ולכן לפי הגדרה $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{1+x+o(x)_{x\to 0}-1}{x} = 1+\lim_{x\to 0} \frac{o(x)_{x\to 0}}{x} = 1+0=1 $
\end{proof}

ממה שהוכחנו קודם ניתן להגדיר פונקציה הופכית ל- $e^x $:

\begin{definition}
$\ln : (0,\infty) \to (-\infty,\infty) $ מוגדר להיות הפונקציה ההופכית של $e^x:(-\infty ,\infty) \to (0,\infty) $ . מכאן ניתן להוכיח כל מיני תכונות של הלוגריתם:

$\ln xy= \ln x + \ln y $

$\ln$ מונוטונית עולה ממש

$\ln 1 = 0 $

$\lim_{x\to \infty} \ln(x) = \infty , \lim_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty $

\end{definition}

<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>