קוד:פעולות עם נגזרות - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 3 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:16:49Z

3 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־10:32, 2 בספטמבר 2014

2014-09-02T10:32:09Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:32, 2 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:

	\begin{thm}		\begin{thm}
	נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:		נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:

	1. $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים.		\begin{enumerate}

			\item $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים.

			\item $(fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) $ (זה נקרא כלל לייבניץ)

	2. $(fg)'(~~x_0~~) ~~= f~~'(x_0) g(x_0) ~~+ f~~(~~x_0)~~g'(x_0) $ ~~(זה נקרא כלל לייבניץ)~~		\item במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{1}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

	3. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{1}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $		\item במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

	~~4. במידה ו- $g(x_0)~~\~~neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}~~{~~(g(x_0))^2~~} $		\end{enumerate}

	\end{thm}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}\\
	1. $\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} = \alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $
			\begin{enumerate}

			\item $$\lim_{x\to x_0} \frac{(\alpha f + \beta g)(x)-(\alpha f + \beta g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} =$$
			$$\alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $$

			\item $$f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=$$
			$$f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t)$$
			וממה שראינו על הדיפרנציאל, $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) $

	2.$ f(~~x_0+t~~)\~~cdot~~ g(x_0+t)=~~(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(~~g(x_0)+g'(~~x_0) t + o(t))=f(x_0~~)g(x_0)~~+(f'(x_0)~~g(~~x_0~~)+f(x_0)~~g'(~~x_0~~))t+o(t) $ וממה שראינו על הדיפרנציאל, $~~(~~fg)'(x_0)=f'(x_0)~~g(x_0)~~+f(x_0~~)g'(x_0) $		\item $$\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{1}{g(x_0)g(x)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{(g(x_0))^2} \cdot -g'(x_0) $$

	3. $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}~~}{x~~-x_0}=\frac{1}{g(x_0)~~g(x~~)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)~~}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1~~}{(g(x_0))^2} \~~cdot -g'(x_0) $~~		\item
			$$(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $$
			\end{enumerate}

	~~4. $(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $~~
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 29:		שורה 41:
	\begin{proof}		\begin{proof}
	באינדוקציה, ראינו שעבור $n=1$ זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא $1=1\cdot x^0 $. כעת נניח שזה נכון עבור $n$ ונוכיח עבור $n+1$ :		באינדוקציה, ראינו שעבור $n=1$ זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא $1=1\cdot x^0 $. כעת נניח שזה נכון עבור $n$ ונוכיח עבור $n+1$ :
			$$(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1} $$
	$(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1} $
	\end{proof}		\end{proof}

Ofekgillon10 ב־15:24, 29 באוגוסט 2014

2014-08-29T15:24:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:24, 29 באוגוסט 2014
שורה 1:		שורה 1:

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:		נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:

שורה 11:		שורה 11:
	4. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $		4. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}
שורה 23:		שורה 23:
	\end{proof}		\end{proof}

	\begin{~~theorem~~}		\begin{thm}
	$(x^n)'=nx^{n-1}$		$(x^n)'=nx^{n-1}$
	\end{~~theorem~~}		\end{thm}

	\begin{proof}		\begin{proof}

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " \begin{theorem} נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים: 1. $(\alpha f + \..."

2014-08-28T15:46:26Z

יצירת דף עם התוכן " \begin{theorem} נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים: 1. $(\alpha f + \..."

דף חדש

\begin{theorem}
נניח $f,g:(a,b)\to \mathbb{R} $ גזירות ב- $x_0 $ אזי הפונקציות הבאות גזירות ומתקיים:

1. $(\alpha f + \beta g)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0) $ עבור $\alpha,\beta $ קבועים.

2. $(fg)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) $ (זה נקרא כלל לייבניץ)

3. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{1}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $-\frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

4. במידה ו- $g(x_0)\neq 0 $ אז מוגדרת הנגזרת $(\frac{f(x)}{g(x)})'(x_0) $ והיא שווה ל- $\frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $

\end{theorem}

\begin{proof}
1. $\lim_{x\to x_0} \frac{\alpha f(x) + \beta g(x) - \alpha f(x_0)-\beta g(x_0)}{x-x_0} = \alpha \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} + \beta \lim_{x\to x_0} \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \alpha f'(x_0)+\beta g'(x_0) $

2.$ f(x_0+t)\cdot g(x_0+t)=(f(x_0)+f'(x_0) t + o(t))(g(x_0)+g'(x_0) t + o(t))=f(x_0)g(x_0)+(f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0))t+o(t) $ וממה שראינו על הדיפרנציאל, $(fg)'(x_0)=f'(x_0)g(x_0)+f(x_0)g'(x_0) $

3. $\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{1}{g(x_0)g(x)} \frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)}\underset{x\to x_0}{\longrightarrow} \frac{1}{(g(x_0))^2} \cdot -g'(x_0) $

4. $(\frac{f}{g})'(x_0)=(f\cdot \frac{1}{g})'(x_0) = f'(x_0) \frac{1}{g(x_0)} -f(x_0) \frac{g'(x_0)}{(g(x_0))^2} = \frac{f'(x_0)g(x_0)-f(x_0)g'(x_0)}{(g(x_0))^2} $
\end{proof}

\begin{theorem}
$(x^n)'=nx^{n-1}$
\end{theorem}

\begin{proof}
באינדוקציה, ראינו שעבור $n=1$ זהו קו ישר שהנגזרת שלו היא $1=1\cdot x^0 $. כעת נניח שזה נכון עבור $n$ ונוכיח עבור $n+1$ :

$(x^n)'=(x\cdot x^{n-1})' = 1\cdot x^{n-1} + x\cdot (n-1)x^{n-2} = x^{n-1} + (n-1) x^{n-1} = nx^{n-1} $
\end{proof}