קוד:רציפות במ"ש - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: 5 גרסאות יובאו

2014-10-04T20:22:15Z

5 גרסאות יובאו

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
(אין הבדלים)

Ofekgillon10 ב־16:52, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T16:52:18Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
@@ שורה 76: / שורה 73: @@
 בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיוון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.
 \end{proof}
@@ שורה 128: / שורה 86: @@
 \end{proof}
 \begin{thm}
@@ שורה 207: / שורה 104: @@
 \end{proof}

Ofekgillon10 ב־16:43, 23 בספטמבר 2014

2014-09-23T16:43:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:43, 23 בספטמבר 2014
שורה 1:		שורה 1:
			<latex2pdf>
			<tex>קוד:ראש</tex>

	עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.		עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

שורה 5:		שורה 8:
	\begin{definition}		\begin{definition}
	פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:		פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:
	*לכל $\~~epsilon~~ >0~~$ קיים $~~\delta>0~~$ כך שלכל זוג נקודות $~~x_1,x_2\in A~~$ המקיימות $~~\|x_1-x_2\|<\delta~~$ מתקיים $~~\|f(x_1)-f(x_2)\|<\~~epsilon~~$		$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x_1,x_2\in A : \|x_1-x_2\|<\delta \Rightarrow \|f(x_1)-f(x_2)\|<\varepsilon$$


	שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.		שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

	~~הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.~~

	\end{definition}		\end{definition}

	\begin{example}		\begin{example}
	~~נבחן את~~ הפונקציה $f(x)=x$~~, ונוכיח כי היא~~ רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.		הפונקציה $f(x)=x$ רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.\\

	אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1-x_2\|<\delta=\epsilon$		אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1-x_2\|<\delta=\epsilon$

	\end{example}		\end{example}
	בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.


	~~ראשית, נביט ב $f(x)=x^2$ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:~~

	~~$\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1^2-x_2^2\|=\|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\|\leq \|x_1-x_2\|\cdot 2max(\|a\|,\|b\|)$~~

	~~כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2max(\|a\|,\|b\|)}$ נקבל את הדרוש.~~



			\begin{example}
			לפעמים פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר.
			ראשית, נביט ב $ f(x)=x^2 $ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי $\varepsilon>0$, אזי:
			$$\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1^2-x_2^2\|=\|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\|\leq \|x_1-x_2\|\cdot 2\max\{\|a\|,\|b\|\}$$
			כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2\max\{\|a\|,\|b\|\}}$ נקבל שהפונקציה רבמ"ש בתחום.\\
	עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.		עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.
			ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $\|x_1-x_2\|<\delta$ וגם $\|f(x_1)-f(x_2)\|\geq 1$.\\
	ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $\|x_1-x_2\|<\delta$ וגם $\|f(x_1)-f(x_2)\|\geq 1$.


	ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $\|x_1-x_2\|=\frac{\delta}{2}<\delta$		ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $\|x_1-x_2\|=\frac{\delta}{2}<\delta$
			$$\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1^2-x_2^2\|=\|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\|=\frac{\delta}{2}\|2x_1+\frac{\delta}{2}\|$$

	$\|f(x_1)-f(x_2)\|=\|x_1^2-x_2^2\|=\|(x_1-x_2)(x_1+x_2)\|=\frac{\delta}{2}\|2x_1+\frac{\delta}{2}\|$

	ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.		ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.

	\~~begin~~{example}		\end{example}

	\begin{thm}		\begin{thm}
שורה 50:		שורה 35:

	\begin{proof}		\begin{proof}
	יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon $ . אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ .		יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר
			$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon $$
			אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ .
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 68:		שורה 55:
	נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $\|x_1-x_2\|<\delta $ . נראה כי		נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $\|x_1-x_2\|<\delta $ . נראה כי

	$$\|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))\|\leq \|\alpha\| \cdot \|f(x_1)-f(x_2)\| + \|\beta\| \cdot \|g(x_1)-g(x_2)\| < \|\alpha\| \frac{\varepsilon}{2\|\alpha\|} + \beta \frac{\varepsilon}{2\|\beta\|} = \varepsilon $$		$$\|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))\|\leq \|\alpha\| \cdot \|f(x_1)-f(x_2)\| + \|\beta\| \cdot \|g(x_1)-g(x_2)\| <$$ $$\|\alpha\| \frac{\varepsilon}{2\|\alpha\|} + \beta \frac{\varepsilon}{2\|\beta\|} = \varepsilon $$
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 97:		שורה 84:

	\begin{proof}		\begin{proof}
	נניח ~~הקטע הסופי הוא מהצורה $(a,b) $ (עבור קטעים סופיים אחרים יותר קל). ידוע~~ ש- $f$ ~~רבמ"ש על הקטע אזי~~		נניח בשלילה ש- $f$ לא חסומה מלעיל, ועבור חסומה מלרע ההוכחה דומה. מההנחה מתקיים
			$$\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n : x_n >n$$
	$$~~\exists \delta~~ \forall ~~x_1,x_2 : \|x_1-x_2\|~~\~~leq~~ \~~delta~~ \~~Rightarrow \|f(x_1)-f(x_2)\|<1~~ $$		נניח בה"כ שהמרחק בין איברי $x_n$ גדול או שווה ל-1, משום שאם זה לא המצב אפשר לקחת תת סדרה שתקיים את זה.
			כיוון ש- $x_n$ סדרה חסומה (מוכלת בקטע סופי) יש לה תת סדרה מתכנסת $y_k=x_{n_k} $ . כעת נסתכל על הסדרה $y_k$ ועל הסדרה $y_{k+1} $ , כיוון שהסדרות מתכנסות לאותו דבר, $\|y_{k+1}-y_k \|\to 0 $ אבל מצד שני $\|f(y_{k+1})-f(y_k)\|\geq 1 $ , ולכן הפונקציה לא רבמ"ש.
	~~נקבע~~ $~~x_0\in~~ (~~a,b~~) $ ~~ונסתכל~~ על הסדרה $~~b_n=x_0+\delta n \to \infty $ ומכאן שלכל~~ $~~x>x_0 $ קיים $N_x $ כך ש-~~ $~~x<b_~~{~~N_x~~} $ ~~ואז מתקיים ש-~~
	$~~$\|f(x)-f(x_0)~~\|~~=\|f(x)-f(b_~~{~~N_x -1})~~+~~f(b_{N_x -~~1}~~)-\cdots~~ -~~f(x_0)~~\| =\~~leq$$~~
	$$\|f(~~x)-f(b_~~{~~N_x -1})\|~~+~~\|f(b_{N_x -~~1})-f(~~b_{N_x -2}~~)\| +\~~cdots + \|f(b_1)-f(x_0)\| <~~1~~+1+\cdots 1 \leq N_x$~~$

	אבל $N_x \not \to \infty $ כש- $x\to b $, ומכאן שבכל אופן יש איזה $N_b $ מקסימלי ומתקיים ש- $\forall x>x_0 : \|f(x)-f(x_0)\|<N_b $ . באופן דומה $\forall x<x_0 : \|f(x)-f(x_0)\|<N_a $

	~~לכן הפונקציה חסומה מלעיל ע"י $f(x_0)+N_a+N_b $ ומלרע ע"י $f(x_0)-N_a-N_b $~~
	\end{proof}		\end{proof}

שורה 228:		שורה 209:

	בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.		בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש.

			<tex>קוד:זנב</tex>
			</latex2pdf>

Ofekgillon10 ב־15:17, 31 באוגוסט 2014

2014-08-31T15:17:03Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.
@@ שורה 149: / שורה 146: @@
 $f$ רבמ"ש ולכן $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0 $ אבל גם $g$ רבמ"ש ולכן $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|=|h(x_1)-h(x_2)|\to 0 $ . מהשלילה של אחת הטענות הקודמות נקבל ש- $h$ רבמ"ש.
 \end{proof}
-<tex>קוד:זנב</tex>
-</latex2pdf>
+\begin{thm}

Ofekgillon10 ב־14:59, 31 באוגוסט 2014

2014-08-31T14:59:12Z

@@ שורה 57: / שורה 57: @@
 \begin{thm}
-אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.
+אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta \in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.
 שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא $x^2=x\cdot x$, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.
@@ שורה 72: / שורה 72: @@
 $$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$
 \end{proof}
 <tex>קוד:זנב</tex>
 </latex2pdf>

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן " קוד:ראש עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא..."

2014-08-31T14:21:42Z

יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא..."

דף חדש

<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>

עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד.

באופן אינטואיטיבי, אומרים כי פונקציה מתכנסת 'יותר מהר' אל הגבול שלה, אם הדלתא הנדרש לאפסילון הוא גדול יותר (כלומר הפונקציה קרובה לגבול בתחום יותר רחב). אנו רוצים להגדיר פונקציות אשר מהירות ההתכנסות שלהן דומה בכל נקודה בקטע מסויים.

\begin{definition}
פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם:
*לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta>0$ כך שלכל זוג נקודות $x_1,x_2\in A$ המקיימות $|x_1-x_2|<\delta$ מתקיים $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$

שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A.

הערה: ברור שאם פונקציה רציפה במ"ש על קטע A, היא גם רציפה במ"ש על כל קטע המוכל ב-A.

\end{definition}

\begin{example}
נבחן את הפונקציה $f(x)=x$, ונוכיח כי היא רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.

אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$

\end{example}
בדוגמא הבאה נלמד כי פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. כפי שנראה בהמשך, כל פונקציה הרציפה על קטע סופי וסגור רציפה בו במ"ש, ואילו ישנן פונקציות רציפות שאינן רציפות במ"ש על כל ציר הממשיים.

ראשית, נביט ב $f(x)=x^2$ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי אפסילון גדול מאפס, אזי:

$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2max(|a|,|b|)$

כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2max(|a|,|b|)}$ נקבל את הדרוש.

עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש.

ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$.

ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$

$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$

ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש.

\begin{example}

\begin{thm}
אם $f$ רציפה במ"ש ב- $A$ אזי רציפה שם.
\end{thm}

\begin{proof}
יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $ . אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ .
\end{proof}

\begin{thm}
אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.

שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא $x^2=x\cdot x$, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.

\end{thm}

\begin{proof}
יהי $\varepsilon>0 $ . אזי ידוע שקיימים $\delta_1 , \delta_2 $ כך ש-

$$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\alpha|} $$
$$ \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|<\delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2|\beta|} $$

נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי

$$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$
\end{proof}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>