https://math-wiki.com/index.php?action=history&feed=atom&title=%D7%A7%D7%9E%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA
קמירות - היסטוריית גרסאות
2026-04-21T22:05:18Z
היסטוריית הגרסאות של הדף הזה בוויקי
MediaWiki 1.39.4
https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%9E%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA&diff=70527&oldid=prev
יהודה שמחה ב־06:18, 14 בפברואר 2017
2017-02-14T06:18:44Z
<p></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="he">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">→ הגרסה הקודמת</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">גרסה מ־06:18, 14 בפברואר 2017</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1">שורה 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 1:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==הגדרה==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==הגדרה==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבה של </del>a עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב-a.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>תהי <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>f<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>. אם קיימת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבת <math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב- <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>באופן דומה, אם קיימת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבה של </del>a עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב-a.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>באופן דומה, אם קיימת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבת <math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב- <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l8">שורה 8:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">שורה 8:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==תנאי מספיק==</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==תנאי מספיק==</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">השנייה </del>חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a. אם הנגזרת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">השנייה </del>שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>אם <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>f<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>גזירה פעמיים ברציפות בנקודה <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>, והנגזרת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">השניה </ins>חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב- <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>. אם הנגזרת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">השניה </ins>שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">'''</del>הוכחה<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">.''' </del>לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">;</ins>הוכחה</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">:</del>:<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">frac</del>{f''(c)}{2}(x-a)^2</math></div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:</div></td></tr>
<tr><td colspan="2" class="diff-side-deleted"></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>:<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">dfrac</ins>{f''(c)}{2}(x-a)^2</math></div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבה של </del>a עבורה לכל c מתקיים <math>f''(c)>0</math>. באופן דומה עבור נגזרת <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">שנייה </del>שלילית.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב- <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>קיימת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">סביבת <math></ins>a<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>עבורה לכל <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"><math></ins>c<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></math> </ins>מתקיים <math>f''(c)>0</math> . באופן דומה עבור נגזרת <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">שניה </ins>שלילית.</div></td></tr>
</table>
יהודה שמחה
https://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A7%D7%9E%D7%99%D7%A8%D7%95%D7%AA&diff=20591&oldid=prev
ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שוו..."
2012-03-18T03:12:41Z
<p>יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שוו..."</p>
<p><b>דף חדש</b></p><div>==הגדרה==<br />
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה גדולה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מעלה''' ב-a.<br />
<br />
באופן דומה, אם קיימת סביבה של a עבורה הפונקציה קטנה או שווה למשיק בנקודה a, אומרים כי הפונקציה '''קמורה כלפי מטה''' ב-a.<br />
<br />
<br />
(ראו גם [[נקודת פיתול]].)<br />
<br />
==תנאי מספיק==<br />
אם f גזירה פעמיים ברציפות בנקודה a, והנגזרת השנייה חיובית אזי הפונקציה קמורה כלפי מעלה ב-a. אם הנגזרת השנייה שלילית הפונקציה קמורה כלפי מטה, אחרת לא ניתן לקבוע.<br />
<br />
'''הוכחה.''' לפי פיתוח טילור ההפרש בין הפונקציה למשיק שווה:<br />
::<math>f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math><br />
<br />
מתוך רציפות הנגזרת השנייה, אם היא חיובית ב-a קיימת סביבה של a עבורה לכל c מתקיים <math>f''(c)>0</math>. באופן דומה עבור נגזרת שנייה שלילית.</div>
ארז שיינר