רציפות - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־19:31, 19 ביוני 2017

2017-06-19T19:31:02Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־19:37, 6 ביוני 2016

2016-06-06T19:37:55Z

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* אי רציפות */

2012-12-23T00:24:28Z

אי רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:24, 23 בדצמבר 2012
שורה 38:		שורה 38:

	==אי רציפות==		==אי רציפות==
			<videoflash>UmJuPo5QnaU</videoflash>

	פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:		פונקציה אינה רציפה בנקודה <math>x_0</math> אם"ם אחד לפחות מבין התנאים הבאים מתקיים:
	#הגבול של הפונקציה ב-<math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר		#הגבול של הפונקציה ב-<math>x_0</math> אינו קיים במובן הצר

ארז שיינר: /* רציפות */

2012-12-23T00:23:54Z

רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:23, 23 בדצמבר 2012
שורה 2:		שורה 2:

	==רציפות==		==רציפות==
			<videoflash>OvCi6W1BOh8</videoflash>

	אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.		אנו מעוניינים להגדיר את המושג האינטואיטיבי של רציפות. כיוון שיש לנו את מושג הגבול (הגובה אליו הפונקציה שואפת בנקודה מסוימת), נרצה באופן טבעי כי ערך הפונקציה יהיה שווה לגבול שלה בנקודה.
	<font size=4 color=#3c498e>		<font size=4 color=#3c498e>

ארז שיינר: 88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות הועבר לרציפות

2012-12-22T20:48:26Z

88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/פונקציות/רציפות הועבר לרציפות

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־20:48, 22 בדצמבר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-01-09T14:54:52Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:54, 9 בינואר 2012
שורה 111:		שורה 111:

	ולכן '''אפס''' היא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.		ולכן '''אפס''' היא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.


			בשאר הנקודות, הסינוס חיובי מצד אחד, ושלילי מהצד השני ולכן בצד אחד הפונקציה אינה חסומה, והן נקודות אי רציפות מ'''מין שני'''

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-01-09T14:53:29Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:53, 9 בינואר 2012
שורה 89:		שורה 89:
	'''דוגמא.'''		'''דוגמא.'''
	לפונקציה <math>\frac{sin(x)}{\|sin(x)\|}</math> יש נקודות אי רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.		לפונקציה <math>\frac{sin(x)}{\|sin(x)\|}</math> יש נקודות אי רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>
			<math>f(x)=e^{-\frac{1}{sin(x^2)}}</math>


			'''פתרון.'''

			כיוון שזו הרכבה, של חלוקה, של הרכבה, של פונקציות רציפות, הפונקציה רציפה כאשר כל הפונקציות מוגדרות ומכנה החלוקה שונה מאפס. על כן נקודות אי הרציפות הן מהצורה:

			<math>\pm\sqrt{\pi k}</math>

			נחלק את נקודות אי הרציפות לשניים: <math>k=0</math> וכל השאר.

			כאשר <math>k=0</math>, מתקיים כי <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{sin (x^2)}=\infty</math> כיוון שהסינוס '''תמיד חיובי''' באיזור זה (הרי <math>x^2</math> גדול ממש מאפס). ולכן סה"כ:


			::<math>\lim_{x\rightarrow 0} e^{-\frac{1}{sin(x^2)}}=0</math>

			ולכן '''אפס''' היא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.

G: /* רציפות */

2011-12-21T11:25:08Z

רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:25, 21 בדצמבר 2011
שורה 28:		שורה 28:
	קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי		קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי

	::<math>max(f,g)=\frac{\|f+g\|}{2}+\frac{\|f-g\|}{2}</math>		::<math>max(f,g)=\frac{f+g}{2}+\frac{\|f-g\|}{2}</math>

	אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>max(f,g)(x)=f(x)</math>, ולהפך.		אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>max(f,g)(x)=f(x)</math>, ולהפך.

ארז שיינר: /* אי רציפות */

2011-12-21T11:13:58Z

אי רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:13, 21 בדצמבר 2011
שורה 66:		שורה 66:

	לדוגמא: <math>sin(\frac{1}{x})</math> באפס.		לדוגמא: <math>sin(\frac{1}{x})</math> באפס.

			==תרגילים==
			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>
			תהי f פונקציה רציפה. מצא וסווג את נקודות אי הרציפות של
			::<math>g(x):=\frac{f(x)}{\|f(x)\|}</math>

			'''פתרון.'''
			כיוון שזו חלוקה של פונקציות רציפות (ההרכבה של הערך המוחלט על פונקציה רציפה גם נותנת פונקציה רציפה), אזי g רציפה בכל נקודה בה f שונה מאפס.

			עוד נשים לב, שכאשר <math>f(x)>0</math> אזי <math>g(x)=1</math>, כאשר <math>f(x)<0</math> אזי <math>g(x)=-1</math>.


			בנקודה בה f שווה לאפס:
			*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה f גדולה ממש מאפס, זוהי נקודת אי רציפות סליקה (שכן הגבול בה הוא אחד).
			*אם בסביבה מנוקבת כלשהי של הנקודה הפונקציה f קטנה ממש מאפס, זוהי נקודת אי רציפות סליקה.
			*אם קיימת סביבה ימנית בה הפונקציה f גדולה מאפס, וקיימת סביבה שמאלית בה הפונקציה f קטנה מאפס (ולהפך) זוהי נקודת אי רציפות ממין ראשון (גבול חד צדדי שווה אחד, והשני מינוס אחד).
			*כל מצב אחר (באחד הצדדים לפחות, בכל סביבה, יש אינסוף אפסים או אינסוף שינויי סימן), זוהי נקודת אי רציפות מהמין השני שכן אין גבול ל-g בנקודה.


			'''דוגמא.'''
			לפונקציה <math>\frac{sin(x)}{\|sin(x)\|}</math> יש נקודות אי רציפות ממין ראשון בכל כפולה שלימה של פאי.

ארז שיינר: /* רציפות */

2011-12-18T16:00:36Z

רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:00, 18 בדצמבר 2011
שורה 12:		שורה 12:
	'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הינה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.		'''שימו לב''' כי הגדרת הרציפות הינה נקודתית. נהוג לומר על פונקציה שהיא רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.

			'''משפט.''' תהיינה f,g פונקציות רציפות. אזי פונקצית המנה <math>\frac{f}{g}</math> רציפה בדיוק בנקודות בהן <math>g\neq 0</math>

			'''משפט (הרכבה של רציפות).''' תהי g פונקציה רציפה בנקודה L. תהי f פונקציה המקיימת <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L</math> אזי

			::<math>g(f(x))</math> רציפה בנקודה <math>x_0</math>

			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''דוגמא.'''
			</font>
			תהיינה f,g פונקציות רציפות. הוכח כי פונקציה המקסימום המוגדרת על ידי
			::<math>max(f,g)(x):=max\{f(x),g(x)\}</math>
			רציפה.

			'''הוכחה.'''
			קל להוכיח כי פונקצית הערך המוחלט הינה פונקציה רציפה. עוד קל לראות כי

			::<math>max(f,g)=\frac{\|f+g\|}{2}+\frac{\|f-g\|}{2}</math>

			אכן, בנקודה בה <math>f(x)>g(x)</math> מקבלים <math>max(f,g)(x)=f(x)</math>, ולהפך.


			אם כך, פונקצית המקסימום הינה סכום, כפל בקבוע, ו'''הרכבה''' של פונקציות רציפות ולכן רציפה.

	==אי רציפות==		==אי רציפות==