שדה סופי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־14:01, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T14:01:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:01, 2 בספטמבר 2018
שורה 1:		שורה 1:
	'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית\|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.		'''שדה סופי''' הוא – למה כבר אפשר לצפות – [[שדה]] [[קבוצה סופית\|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

	הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ ~~\mathbb{Z}_p~~</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.		הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\Z_p</math> , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

	כמו ב[[חבורה\|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם\|איזומורפיים]].		כמו ב[[חבורה\|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם\|איזומורפיים]].

	== סדרים אפשריים ==		==סדרים אפשריים==
			ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי בתור מרחב וקטורי ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> .

	~~ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה~~ ראשוני~~]] שהוא איזומורפי ל-~~<math>~~\ \mathbb{Z}_p~~</math>~~. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי בתור מרחב וקטורי ל-~~<math>~~\ \mathbb{Z}_p^n~~</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.		==קיום==
			לכל חזקת ראשוני <math>q=p^n</math> קיים שדה מסדר <math>q</math> .

	== ~~קיום =~~=		'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0=\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
			#מספר ה[[שורש של פולינום\|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
			#הפולינום [[פולינום ספרבילי\|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
			#הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> .

	~~לכל חזקת ראשוני~~ <math>\ q = p^n</math> ~~קיים~~ שדה ~~מסדר q~~.		כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>q=p^n</math> , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה\|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].

	~~'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F~~ = ~~\mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0~~ = ~~\{a \in K : a^q~~ = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:		==יחידות==
	~~# מספר ה[[שורש של פולינום\|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;~~
	~~# הפולינום [[פולינום ספרבילי\|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;~~
	~~# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.~~

	~~כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר~~ <math>\ q~~=p^n~~</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה\|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].		העובדה שמכל סדר <math>q</math> יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול\|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").

	~~== יחידות ==~~

	~~העובדה שמכל סדר q~~ יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול\|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").

	[[קטגוריה:תורת גלואה]]		[[קטגוריה:תורת גלואה]]
	[[קטגוריה:89214]]		[[קטגוריה:89214]]

עוזי ו.: /* סדרים אפשריים */

2012-02-16T15:47:28Z

סדרים אפשריים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:47, 16 בפברואר 2012
שורה 7:		שורה 7:
	== סדרים אפשריים ==		== סדרים אפשריים ==

	ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי בתור מרחב וקטורי ל-<math>\ mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.		ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי בתור מרחב וקטורי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.

	== קיום ==		== קיום ==

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן "'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי ..."

2012-02-16T15:47:08Z

יצירת דף עם התוכן "'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי ..."

דף חדש

'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.

הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ \mathbb{Z}_p</math>, אבל יש גם שדות סופיים אחרים.

כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]].

== סדרים אפשריים ==

ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני, p. השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל-<math>\ \mathbb{Z}_p</math>. השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת-השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל-<math>\ mathbb{Z}_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני p.

== קיום ==

לכל חזקת ראשוני <math>\ q = p^n</math> קיים שדה מסדר q.

'''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>\ x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>\ F = \mathbb{Z}_p</math>. יהי K [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת-הקבוצה <math>\ K_0 = \{a \in K : a^q = a\}</math>. קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת-שדה. יש בו בדיוק q אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
# מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
# הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים;
# הפולינום מתפצל ב-<math>\ K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב-K.

כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>\ q=p^n</math>, יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>\ f \in F[x]</math> מ[[מעלה]] n. במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש-<math>\ F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]].

== יחידות ==

העובדה שמכל סדר q יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").

[[קטגוריה:תורת גלואה]]
[[קטגוריה:89214]]