שיטות אינטגרציה - היסטוריית גרסאות

Evyatar531: another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution

2019-03-15T13:52:21Z

another way to express sin(x) as a result of the universal trigonometric substitution

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:52, 15 במרץ 2019
שורה 71:		שורה 71:

	<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>		<math>\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-(1-2u^2+u^4)}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}=\sqrt{\frac{(2u)^2}{(1+u^2)^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math>

			ובדרך אחרת:

			<math>\tan(\frac{x}{2})=\frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})}=\frac{2 \cdot \sin(\frac{x}{2}) \cdot \cos(\frac{x}{2})}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{\sin(x)}{2 \cos^2(\frac{x}{2})}</math>

			ולכן מתקיים

			<math>\sin(x)=\tan(\frac{x}{2})\cdot 2 \cos^2(\frac{x}{2})=\frac{2u}{1+u^2}</math>


	כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .		כמו כן, <math>x=2\arctan(u)\ \Rightarrow\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math> .

ארז שיינר: /* הצבות אוניברסאליות */

2018-03-21T10:13:12Z

הצבות אוניברסאליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:13, 21 במרץ 2018
שורה 43:		שורה 43:

	[[שיטת ההצבה\|הרחבה]]		[[שיטת ההצבה\|הרחבה]]

			==פונקציה רציונאלית==
			על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
			*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
			*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
			*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

			ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|כאן]] את האלגוריתם המלא.

	==הצבות אוניברסאליות==		==הצבות אוניברסאליות==

ארז שיינר: /* פונקציה רציונאלית */

2018-03-21T10:12:58Z

פונקציה רציונאלית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:12, 21 במרץ 2018
שורה 135:		שורה 135:

	[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הרחבה]]		[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הרחבה]]

	~~==פונקציה רציונאלית==~~
	על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
	*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
	*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
	*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

	~~ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|כאן]] את האלגוריתם המלא.~~

	==סיכום==		==סיכום==
	'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf\|דף מסכם]]'''		'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf\|דף מסכם]]'''

ארז שיינר: /* דוגמא */

2018-03-21T10:09:32Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:09, 21 במרץ 2018
שורה 35:		שורה 35:
	<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .		<math>\int\frac{\sin(2x)}{a+\sin^2(x)}dx</math> כאשר <math>a>0</math> .

	נבצע הצבה: <math>u=\sin^2(x)\ ~~\Rightarrow\~~ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>		נבצע הצבה<math>u=\sin^2(x)\</math> ולכן <math>du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\</math>

	מקבלים:		מקבלים:

ארז שיינר: /* אינטגרציה בהצבה */

2018-03-21T10:08:21Z

אינטגרציה בהצבה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:08, 21 במרץ 2018
שורה 43:		שורה 43:

	[[שיטת ההצבה\|הרחבה]]		[[שיטת ההצבה\|הרחבה]]

			==הצבות אוניברסאליות==
			'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.

			הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)

			*[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הסבר על הצבות אוניברסאליות]]

	==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==		==ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית==

ארז שיינר: /* אינטגרציה "רגילה" */

2018-03-21T10:06:16Z

אינטגרציה "רגילה"

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:06, 21 במרץ 2018
שורה 1:		שורה 1:
	בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.		בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.

	==אינטגרציה ~~"רגילה"~~==		==אינטגרציה מיידית==
	~~הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה~~. ~~לדוגמא,~~		אינטגרל מיידי הוא אינטגרל על פונקציה שאנחנו יודעים מי הקדומה שלה.

	<math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(\|x\|)+C</math>		לדוגמא: <math>\int\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln(\|x\|)+C</math>

	~~===דף אינטגרלים===~~		[[מדיה:אינטגרלים.pdf\|דף אינטגרליים מיידיים]]
	[[מדיה:אינטגרלים.pdf\|~~ראה כאן~~]]

	==אינטגרציה בחלקים==		==אינטגרציה בחלקים==

ארז שיינר: /* השלמה לריבוע */

2018-03-21T10:04:29Z

השלמה לריבוע

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 ===דף אינטגרלים===
 [[מדיה:אינטגרלים.pdf|ראה כאן]]
 ==אינטגרציה בחלקים==

ארז שיינר: /* פירוק לשברים חלקיים */

2018-03-21T10:03:26Z

פירוק לשברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:03, 21 במרץ 2018
שורה 84:		שורה 84:

	[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הרחבה]]		[[מדיה:09Infi2Universal.pdf\|הרחבה]]

	~~==פירוק לשברים חלקיים==~~
	כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה פולינום ממעלה נמוכה מאשר במכנה שלה, נרצה לפרק את השבר לשברים חלקיים אשר סכומם הוא השבר המקורי, וקל לבצע אינטגרל לכל אחד מהם בנפרד. ננסה לפרק אותו לגורמים לינאריים ולגורמים ממעלה שניה.

	~~[[מדיה:שברים חלקיים.pdf\|הסבר ודוגמא]]~~

	==הצבות אוילר==		==הצבות אוילר==

ארז שיינר: /* פונקציה רציונאלית */

2018-03-21T10:02:25Z

פונקציה רציונאלית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:02, 21 במרץ 2018
שורה 146:		שורה 146:

	==פונקציה רציונאלית==		==פונקציה רציונאלית==
	~~קיימים מספר מצבים עבור פונקציות רציונאליות~~ <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים). ~~להלן המצבים:~~		על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> (כאשר <math>p(x),q(x)</math> פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
			*אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
			*נבצע פירוק לשברים חלקיים.
			*נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

	~~===מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>===~~		ניתן לקרוא [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|כאן]] את האלגוריתם המלא.

	במצב כזה, <math>\deg(q')=\deg(p)</math> , לכן קיים קבוע <math>c</math> שעבורו <math>h=cp-q'</math> יהיה ממעלה יותר נמוכה, כלומר <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> . נקבל:

	~~<math>\int f=\int\frac{p}{q}=\int\frac{\frac{h+q'}{c}}{q}=\frac{1}{c}\cdot\int\frac{h}{q}+\frac{\ln(\|q\|)}{c}\cdot</math> . עוברים למצב הבא.~~

	~~===מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>===~~
	~~מפרקים לשברים חלקיים כפי שמוסבר בקובץ [[מדיה:שברים חלקיים.pdf\|הזה]].~~

	~~===מצב שלישי <math>\deg(p)\ge\deg(q)</math>===~~
	~~מבצעים חילוק פולינומים וחוזרים למצבים הקודמים.~~

	[[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית\|~~הרחבה~~]]

	==סיכום==		==סיכום==
	'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf\|דף מסכם]]'''		'''[[מדיה:אינטגרלים לא-מסוימים.pdf\|דף מסכם]]'''

ארז שיינר: /* ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית */

2018-03-21T09:59:28Z

ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:59, 21 במרץ 2018
שורה 71:		שורה 71:

	לסיכום,		לסיכום,
	<math>~~\boxed{~~u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du}</math>		<math>u=\tan\left(\frac{x}{2}\right);\ \cos(x)=\frac{1-u^2}{1+u^2};\ \sin(x)=\frac{2u}{1+u^2};\ x=2\arctan(u);\ dx=\frac{2}{1+u^2}du</math>

	===דוגמא===		===דוגמא===