תרגול 12 מדמח קיץ תשעז - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

2017-09-10T18:30:30Z

תרגיל

אריאל: /* הגדרות נוספות */

2017-09-10T11:31:14Z

הגדרות נוספות

אריאל: /* הגדרות בסיסיות */

2017-09-10T11:27:12Z

הגדרות בסיסיות

אריאל ב־11:21, 10 בספטמבר 2017

2017-09-10T11:21:29Z

אריאל: יצירת דף עם התוכן "'''חזרה למערכי התרגול''' = הגדרות בסיסיות = '''הגדרה''': '''גרף'''
2017-09-10T11:20:50Z

יצירת דף עם התוכן "'''חזרה למערכי התרגול''' = הגדרות בסיסיות = '''הגדרה''': '''גרף''' <ma..."

דף חדש
'''[[מתמטיקה בדידה - מערך תרגול|חזרה למערכי התרגול]]'''

= הגדרות בסיסיות =
'''הגדרה''': '''גרף''' <math>G</math> מעל קבוצה <math>V</math> הוא זוג סדור <math>G=(V,E)</math> כאשר <math>E \subseteq V\times V</math> - כלומר קבוצה המכילה זוגות סדורים מאיברי <math>V</math>.

הקבוצה <math>V</math> היא קבוצת ה'''קדקודים''' של הגרף, והקבוצה <math>E</math> היא קבוצת הקשתות/צלעות של הגרף.

'''הגדרה''': הסדר של גרף <math>G=(V,E)</math> הוא <math>|V|</math>. גרף יקרא סופי אם הסדר שלו סופי, וקבוצת הקשתות <math>E</math> סופית.

'''הגדרה''': גרף <math>G</math> ייקרא '''לא מכוון''' אם היחס <math>E</math> הוא סימטרי, כלומר אין משמעות לכיוון הצלע. אחרת הגרף ייקרא מכוון. בגרף לא מכוון, אין משמעות לכיוון הצלע, ולכן לעתים מסמנים <math>(u,v)</math> בתור <math>\{u,v\}</math>.

'''דוגמא''': <math>V=\{1,2,3\}, E=\Big\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\Big\}</math> מייצג משולש. הסדר שלו הוא 3, כמספר הקדקודים במשולש. זהו גרף סופי.

'''דוגמא''': נביט בקבוצה <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>, ובגרף <math>G</math> מעליה, בו מחברים בין כל שני קדקודים במרחק 1 זה מזה - מתקבלת רשת אינסופית. זהו גרף אינסופי, בו לכל קדקוד יש ארבעה שכנים.

'''הערה''': שימו לב שמהניסוח לעיל נובע-
# בגרף יכולה להיות קשת מקדקוד אל עצמו (לולאה). זה שקול ל- <math>\exists (v,v) \in E</math>.
#צלע בין שני קדקודים יכולה להופיע אך ורק פעם אחת (כי <math>E</math> קבוצה). בפועל, יש גרפים שבהם מופיעה יותר מצלע אחת בין שני קדקודים (למשל שתי לולאות סביב נקודה). נסו לחשוב איך להגדיר את זה פורמלית.

'''הבהרה: אנחנו נעסוק בגרפים סופיים, לא מכוונים, בלי צלעות כפולות ובלי לולאות'''.

'''הגדרה''' יהיה <math>G=(V,E)</math>. נאמר כי <math>v,w\in V</math> '''שכנים''' אם <math>(v,w)\in E</math>. במקרה זה נאמר כי הצלע <math>\{v,w\}\in E</math> חלה ב <math>w</math> (או חלה ב <math>v</math>)

את קבוצת השכנים של <math>u</math> מסמנים <math>\Gamma(u)=\{v\in V \; :\; \{v,u\}\in E\}</math>.

ה'''דרגה''' של <math>u</math>, המסומנת <math>\text{degree}(u)</math>, היא מספר הצלעות החלות ב <math>u</math>, כלומר <math>|\Gamma(u)|</math>.

'''דוגמא:''' במשולש, כל 2 קדקודים שכנים. כל קדקוד מדרגה 2: השכנים של כל קדקוד הם שני הקדקודים האחרים.

==משפט (לחיצת הידיים)==
יהי <math>G=(V,E)</math> גרף לא מכוון. אזי <math>\sum_{v\in V}\text{degree}(v)=2|E|</math>.

=== תרגיל ===
נאמר כי גרף <math>G=(V,E)</math> הוא <math>k</math>-'''רגולרי''' אם הדרגה של כל קדקוד שווה ל-<math>k</math>. למשל, משולש הוא גרף 2-רגולרי.

הוכח כי אם <math>k,n</math> אי-זוגיים, לא קיים גרף <math>k</math>-רגולרי מסדר <math>n</math>.

הוכחה:

לפי משפט לחיצת הידיים <math>2|E|=\sum_{v\in V}\text{degree}(v)=n\cdot k</math>. לכן <math>nk</math> זוגי, ולכן <math>k</math> זוגי או <math>n</math> זוגי.

==הגדרות נוספות==

יהי <math>G=(V,E)</math> גרף לא מכוון. סדרת קדקודים (סדורה) <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> נקראת '''מסלול''' אם <math>\forall i : \{v_i,v_{i+1}\}\in E</math> וגם כל הצלעות שונות - כלומר לכל <math>i\neq j</math> מתקיים <math>(v_i,v_{i+1}) \neq (v_j,v_{j+1})</math>.

מסלול יקרא '''פשוט''' אם כל הקדקודים <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> שונים זה מזה, פרט אולי ל <math>v_0=v_n</math>, ובמקרה זה המסלול נקרא '''מעגל'''. אורך המסלול <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> הוא <math>n</math>, והנקודות <math>v_0</math> ו-<math>v_n</math> נקראות '''נקודות ההתחלה והסיום''' של המסלול.

'''הגדרה''': המרחק בין <math>v,u\in V</math> הוא המסלול עם אורך מינימלי בין <math>v,u\in V</math>. אם אין מסלול בין הנקודות, אומרים שהמרחק הוא אינסוף. מסמנים את המרחק <math>d(u,v)</math>, ואם יש צורך להדגיש את הגרפים אז מסמנים <math>d_G(u,v)</math>.

ה'''קוטר''' של גרף <math>G=(V,E)</math> מוגדר כמרחק המקסימאלי בין זוגות קדקודים - כלומר <math>\operatorname{diam}(G)=\max_{u,v\in V}{d(v,u)}</math>

===בניה===
עבור גרף לא מכוון <math>G=(V,E)</math> נגדיר יחס שקילות <math>\to </math> על <math>V</math>, כך: לכל <math> v,u\in V</math> מתקיים <math> v\to u</math> אמ"מ קיים מסלול מ<math>v</math> ל-<math>u</math> (כלומר <math>u \to v \iff d(u,v)<\infty </math>).

'''תרגיל''': הוכח כי זהו יחס שקילות.

'''פתרון''':
# ''רפלקסיבי'' - לכל קדקוד <math>v</math>, המסלול <math>(v)</math> עושה את העבודה.
# ''סימטרי'' - אם <math> u\to v</math>, אז יש מסלול <math> (v_0,\dots,v_n)</math> בין <math>u</math> ל-<math>v</math>. נביט במסלול ההפוך - <math> (v_n, v_{n-1}\dots ,v_1,v_0)</math> - זהו מסלול בין <math>v</math> ל-<math>u</math>, ולכן <math>v \to u</math>.
# ''טרנזיטיבי'' - אם <math> u\to v</math> וגם <math> v\to w</math>, אז יש מסלולים <math> (v_1,\dots,v_n)</math> ו-<math> (v_1',\dots,v_n')</math>. היות ש-<math> v_n=v=v_1'</math>, נביט במסלול <math> (v_1,\dots,v_n=v_1',\dots,v_n')</math> - זהו מסלול המעיד על כך ש-<math> u\to w</math>.

'''הגדרה''' מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.

הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול <math>\forall v\in V:[v]_{\to}=V</math>

'''דוגמא''': ציור חביב לפי דעת המתרגל.

=תרגילים נוספים=
==תרגיל==
נניח כ בגרף מתקיים <math>\forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> אז בגרף יש מעגל.

'''פתרון''': נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!

==תרגיל==
יהי <math>G=(V,E)</math> גרף בעל <math>n\ge 3</math> קדקודים. ו-<math>m \ge n </math> צלעות. אזי בגרף יש מעגל.

'''פתרון''': באינדוקציה.

עבור <math>n=3</math> הגרף הוא בהכרח משולש (לא יכולות להיות יותר מ-4 צלעות עבור 3 קדקודים) ואכן יש מעגל.

נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math>. יהי <math>G</math> בעל <math>n+1>3</math> קדקודים ו- <math> m\ge n+1</math> צלעות.

''אפשרות 0'' - קיים קדקוד מדרגה 0 - כלומר אין לו שכנים. אז נביט בגרף בלי הקדקוד הזה, ומהנחת האינדוקציה נקבל שיש בו מעגל; זהו מעגל גם בגרף המקורי.

''אפשרות 1'': קיים <math>v\in V</math> מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם <math>n</math> קדקודים ו<math>m-1 \ge n </math> צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.

''אפשרות 2'': לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. ולפי תרגיל קודם יש מעגל

==תרגיל==
יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה.

'''פתרון:''' נביט בפונקציית הדרגה <math>\operatorname{deg}:V \to \{0,1,\dots,n-1\}</math> השולחת כל איבר אל הדרגה שלו: <math>v\mapsto \operatorname{deg}(v)</math>; כדי להבין את התמונה של הפונקציה, נשים לב שיש שני מקרים:
#אם קיים קדקוד מדרגה <math>n-1</math>, אז הוא מחובר לכולם ולכן אין קדקוד מדרגה אפס. במקרה זה מתקיים
<math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{1,\dots n-1\} </math>.
#אם אין קדקוד מדרגה <math>n-1</math> אז <math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{0,1,\dots n-2\} </math>.

בשני המקרים קיבלנו כי <math>|\operatorname{dom}(f)|=|V|=n, |\operatorname{Im}(f)|\le n-1</math> ולכן <math>f</math> אינה חח"ע.
כלומר קיימים <math>v_1\neq v_2</math> כך ש <math>f(v_1)=f(v_2)</math> כלומר בעלי דרגה שווה.

==תרגיל==
יהיה <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי <math>G</math> קשיר.

'''פתרון''': יהיו <math>v,u\in V</math>. צריך להוכיח כי <math>[v]=[u]</math> (כך נסמן את רכיב הקשירות).
נניח כי הם שונים, אזי ב<math>|[v]|,|[u]|\geq 51</math> ( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). אלו הם שני מרכיבי קשירות שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל הפחות 102 קדקודים, סתירה.

==תרגיל==
יהי <math>G=(V,E)</math> גרף ללא מעגלים עם <math>|V|\geq 2</math>. הוכח כי קיימים <math>v_1,v_2\in V</math> כך שדרגתם לכל היותר 1.

'''פתרון''': לפי תרגיל קודם קיים <math>v\in V</math> כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם).

נמשיך באינדוקציה על <math>n</math>מספר הקדקודים בגרף.

אם <math>n=2</math> אזי או שהגרף הוא 2 נקודות ללא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הן מדרגה קטנה שווה ל-1.

כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n\geq 2</math>. נוכיח את הטענה עבור <math>n+1</math>.

נבחר את הקדקוד <math>v\in V</math> שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו (אם קיימת), ונקבל גרף עם <math>n</math> קדקודים. לפי הנחת האינדוקציה יש בו 2 קדקודים<math>v_1,v_2</math> בעלי דרגה 1 לכל היותר. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את <math>v</math> שהשמטנו). יש מספר מקרים:
# אם <math>v</math> שכן של <math>v_1</math> אזי <math>v,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1.
# אם <math>v</math> שכן של <math>v_2</math> אזי <math>v,v_1</math> בעלי דרגה לכל היותר 1.
# אם <math>v</math> שכן של <math>v_1,v_2</math> - סתירה כי הדרגה של <math>v</math> היא 1 לכל היותר.
# אם <math>v</math> לא שכן של <math>v_1,v_2</math> אזי <math>v,v_1,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1.

בכל מקרה קיבלנו כי קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר!

==תרגיל==
הוכח/הפרך:
# אם מתקיים <math>\forall v \in V: \operatorname{deg}(v)\ge2</math>, אז <math>G</math> קשיר.
# קיים גרף בין שישה קדקודים 1,2,3,4,4,5.
# קיים גרף בין שישה קדקודים 1,2,3,4,5,5.

'''פתרון''':
# לא נכון, למשל שני משולשים מופרדים.
# לא נכון, כי סכום הדרגות אי-זוגי, בסתירה למשפט לחיצת הידיים.
# הפעם משפט לחיצת הידיים לא נכשל, אך זה עדיין לא נכון - אילו היו שני קדקודים מדרגה 5, הר שכל הקדקודים היו מחוברים אל שניהם, ולכן אין קדקוד מדרגה 1.

==תרגיל==
יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון. נניח כי <math>V=V_1\cup V_2</math> איחוד זר (כלומר החיתוך <math>V_1\cap V_2\emptyset</math>. עוד נניח כי קיים <math>v_i\in V_i</math> כך שקיימת קשת <math>(v_1,v_2)\in E</math> והיא הקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math>.

הוכיחו שקיים קודקוד בעל דרגה אי זוגית.

פתרון: נסתכל על תת הגרף <math>V_1</math> אם <math>v_1</math> בעל דרגה זוגית בו אז הוא יהיה בעל דרגה אי זוגית ב V. אחרת דרגתו ב V1 אי זוגית ולכן לפי משפט לחיצת היחדים שסכום הדרגות זוגיות, קיים עוד קודוד בעל דרגה אי זוגית ב V1. כיון שהקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math> היא <math>(v_1,v_2)\in E</math> נקבל כי קודקוד זה בעל דרגה אי זוגית גם ב G.

==תרגיל==
יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון בעל מעגל יחיד עם <math>3\leq |V|</math>. הוכיחו כי <math>|E|=|V|</math>

פתרון: נסמן את המעגל היחידי ב G ב <math>C=(v_0,\dots,v_n)</math>.

טענה: <math>|V|\leq |E|</math>

הוכחה: נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math> הוא בעל <math>|E|-1</math> קשתות אך עדיין קשיר (כי אם יש מסלול המערב את הקשת שהורדה ניתן להחליף אותה <math>C=(v_0,\dots,v_{n-1})</math>.) לכן לפי הרצאה יש לו לפחות <math>|V|-1</math> קשתות ולכן <math>|V|-1\leq |E|-1</math> ואחרי העברת אגפים נקבל את המבוקש.

טענה: <math>|E|\leq |V|</math>

הוכחה: נניח בשלילה כי <math>|V|+1\leq |E|</math>

נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math>
הוא בעל <math>|V| \leq|E|-1</math> קשתות אך הרסנו את המעגל היחידי שהיה ב G אבל לפי תרגיל ממקודם אם מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקודקודים יש בו מעגל. סתירה.