88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/הגדרה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־06:43, 14 בפברואר 2017

2017-02-14T06:43:49Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־13:03, 4 בנובמבר 2016

2016-11-04T13:03:37Z

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* הקשר בין התכנסות לטור לבין גבול הסדרה של הטור */

2016-02-22T11:03:14Z

הקשר בין התכנסות לטור לבין גבול הסדרה של הטור

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:03, 22 בפברואר 2016
שורה 93:		שורה 93:
	באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.		באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.

	==הקשר בין התכנסות ~~לטור~~ לבין גבול הסדרה של הטור==		==הקשר בין התכנסות טור לבין גבול הסדרה של הטור==

	אם <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0</math>		אם <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0</math>
שורה 100:		שורה 100:

	לדוגמא, <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0</math> ואילו הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> אינו מתכנס		לדוגמא, <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0</math> ואילו הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> אינו מתכנס


	==טורים טלסקופיים==		==טורים טלסקופיים==

ארז שיינר ב־10:56, 22 בפברואר 2016

2016-02-22T10:56:19Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:56, 22 בפברואר 2016
שורה 28:		שורה 28:
	</font>		</font>

	*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס''' אם סדרת הסכומים החלקיים <math>S^{a_n}</math> מתכנסת. (במובן הגדרת הגבול של סדרות, כמובן)		*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס''' אם סדרת הסכומים החלקיים <math>S^{a_n}</math> מתכנסת לגבול סופי. (במובן הגדרת הגבול של סדרות, כמובן)
			**במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים. כלומר <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}S_N^{a_n}</math>.
	**במקרה זה אומרים כי סכום הטור שווה לגבול סדרת הסכומים החלקיים

	*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס בהחלט''' אם טור הסדרה <math>\|a_n\|</math> מתכנס.		*אומרים כי טור הסדרה <math>a_n</math> '''מתכנס בהחלט''' אם טור הסדרה <math>\|a_n\|</math> מתכנס.
שורה 69:		שורה 68:
	::אם <math>\|x\|<1</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}</math>		::אם <math>\|x\|<1</math> הסדרה מתכנסת ומקבלים <math>\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}</math>

	::אם <math>x=1</math> הסדרה לא מוגדרת, כיוון שאסור היה להשתמש בנוסחאת הסכום במקרה זה. קל לראות, אמנם, כי סדרת הסכומים החלקיים האמיתית שואפת לאינסוף ~~ולכן~~ הטור מתבדר		::אם <math>x=1</math> הסדרה לא מוגדרת, כיוון שאסור היה להשתמש בנוסחאת הסכום במקרה זה. קל לראות, אמנם, כי סדרת הסכומים החלקיים האמיתית היא <math>S_N=N</math> וכיוון שהיא שואפת לאינסוף, הטור מתבדר.

	::אם <math>x=-1</math> הסדרה מתבדרת וכך גם הטור		::אם <math>x=-1</math> הסדרה מתבדרת וכך גם הטור

ארז שיינר: /* טורים טלסקופיים */

2011-12-26T19:24:14Z

טורים טלסקופיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:24, 26 בדצמבר 2011
שורה 132:		שורה 132:

	אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה ל<math>\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}</math>		אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה ל<math>\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}</math>


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>

			קבע אם הטור הבא מתכנס
			::<math>\sum ln\Big(\frac{n+1}{n}\Big)</math>


			'''פתרון.'''

			נביט בסדרת הסכומים החלקיים

			::<math>S_N=ln\Big(\frac{2}{1}\Big)+...+ln\Big(\frac{N+1}{N}\Big)</math>

			::<math>S_N=ln(2)-ln(1)+ln(3)-ln(2)+...+ln(N+1)-ln(N)=ln(N+1)-ln(1)=ln(N+1)</math>

			ולכן סדרת הסכומים החלקיים שואפת לאינסוף והטור אינו מתכנס.

ארז שיינר: /* טורים טלסקופיים */

2011-11-27T16:10:47Z

טורים טלסקופיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:10, 27 בנובמבר 2011
שורה 93:		שורה 93:

	באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.		באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.

			==הקשר בין התכנסות לטור לבין גבול הסדרה של הטור==

			אם <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> מתכנס אזי בהכרח <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0</math>

			'''הכיוון ההפוך אינו נכון בהכרח!!!!'''

			לדוגמא, <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0</math> ואילו הטור <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}</math> אינו מתכנס


	==טורים טלסקופיים==		==טורים טלסקופיים==

ארז שיינר: /* טורים טלסקופיים */

2011-11-27T16:07:01Z

טורים טלסקופיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:07, 27 בנובמבר 2011
שורה 95:		שורה 95:

	==טורים טלסקופיים==		==טורים טלסקופיים==
			כפי שטלסקופ ארוך מאד (או אנטנה של רדיו) מתקפלים אל תוך עצמם (כל חתיכה נכנסת בקודמה), כך לעיתים סכום של מספרים מתבטל ברובו ומשאיר רק מספר קטן של מחוברים. אם תרצו, זהו טור מטריושקה.

			לדוגמא, קל לוודא כי <math>\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+... = \frac{1}{1}-\frac{1}{11}</math>


			טור נקרא '''טלסקופי''' אם סדרת הסכומים החלקיים שלו מצטמצמת באופן דומה לדוגמא לעיל. זו אינה הגדרה מתמטית מדוייקת, אלא כינוי לדרך מסוימת לחשב סכום של טור.


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>

			הוכח כי הטור הבא מתכנס ומצא את סכומו

			::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+2)(n+4)}</math>

			'''פתרון.'''


			נפרק את הביטוי לשברים חלקיים, על מנת לקבל <math>\frac{1}{(n+2)(n+4)}=\frac{1}{2(n+2)}-\frac{1}{2(n+4)}</math>

			על ידי התבוננות במספר האיברים הראשונים של הטור, אנו מנחשים כי סדרת הסכומים החלקיים מקיימת את הנוסחא

			::<math>S_N=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2n+6}-\frac{1}{2n+8}</math>

			את נוסחא זו קל להוכיח באינדוקציה.

			אם כך, סכום הטור - הלא הוא גבול סדרת הסכומים החלקיים - שווה ל<math>\lim_{N\rightarrow\infty}S_N=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}</math>

ארז שיינר: /* הגדרות בסיסיות של טורים */

2011-11-27T15:57:34Z

הגדרות בסיסיות של טורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:57, 27 בנובמבר 2011
שורה 90:		שורה 90:
	ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי\|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum\frac{1}{n}</math> (הנקרא לעיתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+\frac{1}{n+1}</math>. כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר.		ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי\|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum\frac{1}{n}</math> (הנקרא לעיתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+\frac{1}{n+1}</math>. כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר.

	באופן דומה, ~~ראינו~~ כי הטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס.		באופן דומה, נסיק כי הטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס.

	באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.		באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.

			==טורים טלסקופיים==

ארז שיינר: /* הגדרות בסיסיות של טורים */

2011-11-27T15:56:36Z

הגדרות בסיסיות של טורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:56, 27 בנובמבר 2011
שורה 78:		שורה 78:

	'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math>. אם כך, '''מספר סופי של איברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.		'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math>. אם כך, '''מספר סופי של איברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.




			באופן כללי, סדרת הסכומים החלקיים של טור מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S^{a_n}_{N+1}=S^{a_n}_N+a_{N+1}</math>.

			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''דוגמא חשובה.'''
			</font>

			ניזכר בתרגילים מ[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/קושי\|סדרות קושי]]. נשים לב כי סדרת הסכומים החלקיים של הטור <math>\sum\frac{1}{n}</math> (הנקרא לעיתים הטור '''ההרמוני''') מוגדרת על ידי כלל הנסיגה <math>S_{N+1}=S_N+\frac{1}{n+1}</math>. כפי שראינו, סדרה זו אינה סדרת קושי ולכן מתבדרת, ולכן הטור ההרמוני מתבדר.

			באופן דומה, ראינו כי הטור <math>\sum\frac{1}{n^2}</math> מתכנס.

			באופן כללי, הטור <math>\sum\frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם"ם <math>\alpha > 1</math> אבל את זה נלמד בהמשך.

ארז שיינר: /* הגדרות בסיסיות של טורים */

2011-11-25T09:18:27Z

הגדרות בסיסיות של טורים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:18, 25 בנובמבר 2011
שורה 74:		שורה 74:

	:: אם <math>\|x\|>1</math> הסדרת אינה חסומה, ולכן מתבדרת ולכן הטור מתבדר.		:: אם <math>\|x\|>1</math> הסדרת אינה חסומה, ולכן מתבדרת ולכן הטור מתבדר.



			'''שימו לב:''' אם נתחיל את הספירה ממקום אחר, נקבל סכום אחר. <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac{x}{1-x}</math>. אם כך, '''מספר סופי של איברים לא משפיע על התכנסות הטור, אך עשוי להשפיע על סכומו'''.