88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־13:01, 10 בפברואר 2017

2017-02-10T13:01:50Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־19:00, 3 בפברואר 2016

2016-02-03T19:00:26Z

הצגת שינויים

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-04T20:14:43Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:14, 4 בנובמבר 2011
שורה 95:		שורה 95:

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

			נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות:

			:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math>

			נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:


			עבור n=1:

			:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math>

			(זה נכון כיוון ש <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math>.)


			נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. כיוון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי השיוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math>.

			לפי החישוב לעיל מתקיים:

			::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math>

			כפי שרצינו.


			על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על ידי אפס (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.


			טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}</math>. זה נכון כיוון שגבול סדרה נקבע על פי המקום אליה האיברים שואפים באינסוף, ולא על פי מתי היא מתחילה.

			'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיוון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי L כך ש <math>\lim a_n = L</math>. נביט בנוסחאת הנסיגה

			::<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>

			נפעיל גבול על שני הצדדים (כיוון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)

			::<math>\lim a_{n+1}=\lim \frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>

			לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:

			::<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math>

			::<math>L^2-2L+c=0</math>

			::<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math>

			כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיוון ש <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא ייתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).


			לכן סה"כ, גבול הסדרה הינו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math>

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-04T19:56:12Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:56, 4 בנובמבר 2011
שורה 72:		שורה 72:

	ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.		ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.




			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>

			יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה


			:<math>a_1=c</math>

			ונוסחאת הנסיגה


			:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math>


			הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.


			'''פתרון.'''

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-03T07:43:17Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:43, 3 בנובמבר 2011
שורה 69:		שורה 69:
	נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:		נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

	::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math> ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.		::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math>

			ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-03T07:42:58Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:42, 3 בנובמבר 2011
שורה 52:		שורה 52:


	'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math>. נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.		'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.

	::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>		::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>

			אם כך, מתקיים כי

			::<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\leq\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math>

			ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן

			::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}\geq\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math>

			ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה.


			נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:

			::<math>b_2\leq b_n\leq a_n \leq a_2</math> ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-03T07:36:12Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:36, 3 בנובמבר 2011
שורה 47:		שורה 47:

	::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math>		::<math>b_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}</math>


			הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.


			'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברה הסדרה <math>b_n</math>. נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הינם '''אי שליליים'''.

			::<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{1}{2}(a_n-2\sqrt{a_nb_n}+b_n)=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\geq 0</math>

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-03T07:30:53Z

סדרות מונוטוניות

@@ שורה 28: / שורה 28: @@
 ::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>
 ::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>
@@ שורה 33: / שורה 34: @@
 לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

ארז שיינר: /* סדרות מונוטוניות */

2011-11-03T07:24:04Z

סדרות מונוטוניות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:24, 3 בנובמבר 2011
שורה 15:		שורה 15:

	'''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.		'''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.


			<font size=4 color=#a7adcd>
			'''תרגיל.'''
			</font>

			הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{3n}</math>


			'''פתרון.'''
			נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\leq 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.

			::<math>a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+3}</math>

			::<math>a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n}-\frac{1}{n}=0</math>


			לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי אפס, ולכן הסדרה מתכנסת.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==סדרות מונוטוניות== ..."

2011-11-02T07:52:29Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה לסדרות ==סדרות מונוטוניות== <font size=4 color=#3c498e>..."

דף חדש

[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות|חזרה לסדרות]]
==סדרות מונוטוניות==
<font size=4 color=#3c498e>
'''הגדרה.'''
</font>
סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' ('''יורדת''') אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)

'''דוגמאות.'''
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,...</math>

*<math>0,0.9,0.99,0.999,...</math>

*<math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...</math>

'''משפט.''' סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.