88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א' - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־15:44, 12 בפברואר 2017

2017-02-12T15:44:29Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־11:56, 28 בינואר 2016

2016-01-28T11:56:16Z

הצגת שינויים

Nabb6: /* שאלה 7 */

2012-02-22T04:17:53Z

שאלה 7

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:17, 22 בפברואר 2012
שורה 91:		שורה 91:
	חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב<math>x_0=2</math>.		חשב את הקירוב הלינארי של <math>h=g^{-1}\circ f^{-1}</math> ב<math>x_0=2</math>.

	הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באיזור הנקודה x_0 הינו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>		הקירוב הלינארי של <math>h(x)</math> באיזור הנקודה <math>x_0</math>.
			הינו <math>h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)</math>

	במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=(g^{-1})'(f^{-1}(2))(f^{-1})'(2)=\frac{1}{g'(g^{-1}(f^{-1}(2))} \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}= </math>		במקרה שלנו <math>h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=(g^{-1})'(f^{-1}(2))(f^{-1})'(2)=\frac{1}{g'(g^{-1}(f^{-1}(2))} \frac{1}{f'(f^{-1}(2))}= </math>

Nabb6: /* ב */

2012-02-22T04:14:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:14, 22 בפברואר 2012
שורה 82:		שורה 82:

	קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.		קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
	~~frac{1}{1+lnx}~~

	===ג===		===ג===

Nabb6: /* ב */

2012-02-22T04:14:19Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־04:14, 22 בפברואר 2012
שורה 79:		שורה 79:

	===ב===		===ב===
	<math>\frac{1}{1+~~logx~~}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>		<math>\frac{1}{1+lnx}</math> בתחום <math>(0,\infty)</math>

	קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.		קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה <math>e^{-1}</math> שנמצאת בתחום ולכן '''אינה רציפה במ"ש''' שם.
			frac{1}{1+lnx}

	===ג===		===ג===

ארז שיינר ב־08:30, 17 בפברואר 2012

2012-02-17T08:30:02Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:30, 17 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
	=המבחן של פרופ' זלצמן=		=המבחן של פרופ' זלצמן=
	==שאלה 1==		==שאלה 1==

Noamlifshitz: /* שאלה 1 */

2012-01-22T10:30:22Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:30, 22 בינואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	=המבחן של פרופ' זלצמן=		=המבחן של פרופ' זלצמן=
	==שאלה 1==		==שאלה 1==
	הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה <math>~~a_n_k~~</math> יש תת סדרה מתכנסת		הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה <math>a_{n_{k}}</math> יש תת סדרה מתכנסת

	===הפרכה===		===הפרכה===

Noamlifshitz: /* שאלה 1 */

2012-01-22T10:29:51Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:29, 22 בינואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	=המבחן של פרופ' זלצמן=		=המבחן של פרופ' זלצמן=
	==שאלה 1==		==שאלה 1==
	הוכח/הפרך: הסדרה a_n מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה a_n_k יש תת סדרה מתכנסת		הוכח/הפרך: הסדרה <math>a_n</math> מתכנסת אם"ם לכל תת סדרה <math>a_n_k</math> יש תת סדרה מתכנסת

	===הפרכה===		===הפרכה===

ארז שיינר: /* הוכחה */

2011-02-01T09:55:59Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:55, 1 בפברואר 2011
שורה 116:		שורה 116:
	מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.		מכיוון ש<math>f^{(5)}(0)>0</math> והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של אפס בה <math>f^{(5)}>0</math>. לכן בסביבה ימנית של אפס מתקיים <math>f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0</math>.

	נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. מכיוון שf חיובית בסביבת אפס ושווה ממש לאפס באפס לפי משפט לגרנז' הנגזרת הראשונה חיובית באיזו נקודה מימין לאפס. אם היא הייתה גם שלילית באיזו נקודה מימין לאפס, אזי היא הייתה מתאפסת בין לבין לפי משפט רול, בסתירה לנתון. לכן עבור <math>x>0</math> ~~מתקיים~~ <math>f'(x)>0</math> ~~ולכן הפונקציה מונוטונית עולה, ולכן חיובית לכל~~ <math>x>0</math> ~~כפי שרצינו~~.		נותר להוכיח ש<math>f(x)>0</math> עבור <math>x>0</math> גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש <math>f(x)\leq 0</math> אזי לפי משפט ערך הביניים <math>f(x)=0</math> עבור איזה <math>x>0</math>. אבל גם <math>f(0)=0</math> ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מאפס בסתירה.

ארז שיינר: /* שאלה 4 */

2011-02-01T09:41:15Z

שאלה 4

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:41, 1 בפברואר 2011
שורה 45:		שורה 45:
	<math>e^{-\frac{1}{x^3}}</math>		<math>e^{-\frac{1}{x^3}}</math>

	נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה מין שני.		נקודת אי הרציפות היא אפס. הגבול משמאל הינו אינסוף ולכן זה '''מין שני'''.

	===ב===		===ב===
	<math>\frac{sin(x^2)}{\|sin(x^2)\|}</math>		<math>\frac{sin(x^2)}{\|sin(x^2)\|}</math>

	כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר <math>sin(x^2)</math> חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k> 0</math> ואפס. פרט לאפס, הן כולן מין ראשון מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).		כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת אחד כאשר <math>sin(x^2)</math> חיובי, ומינוס אחד כאשר הוא שלילי, באפס היא אינה מוגדרת ולכן זו נקודת אי רציפות. לכן סה"כ נקודות אי הרציפות הינן <math>\pm \sqrt{\pi k}</math> כאשר <math>k> 0</math> ואפס. פרט לאפס, הן כולן '''מין ראשון''' מכיוון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי הרציפות או משמאלה).

	באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות סליקה.		באפס, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי רציפות '''סליקה'''.

	===ג===		===ג===
שורה 61:		שורה 61:
	בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>.		בתחום <math>-1<x<1</math> מתקיים <math>f(x)=1-x^2</math> ולכן <math>f'(x)=-2x</math>.

	קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות ~~ממין~~ ראשון (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).		קל איפוא לראות שבנקודות פלוס מינוס אחד יש אי רציפות מ'''מין ראשון''' (שם הנגזרת מתקרבת לשתים מצד אחד ומינוס שתים מצד שני).

	==שאלה 5==		==שאלה 5==