הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←אינטגרלים פשוטים) |
מ (←דוגמאות חישוב) |
||
שורה 30: | שורה 30: | ||
===דוגמאות חישוב=== | ===דוגמאות חישוב=== | ||
− | # <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32 | + | # <math>\int\sqrt x\mathrm dx=\int x^\frac12\mathrm dx=\frac{x^\frac32}{3/2}+c=\frac23x^\frac32+c</math> |
# <math>\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math> | # <math>\int\frac1\sqrt{x-7}\mathrm dx=\int(x-7)^{-\frac12}\mathrm dx=2(x-7)^\frac12+c</math> | ||
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math> (מהפיכת כלל השרשרת) | # <math>\int\frac{\mathrm dx}{(3x-7)^{12}}=\int(3x-7)^{-12}\mathrm dx=\frac{(3x-7)^{-11}}{-11\cdot3}+c</math> (מהפיכת כלל השרשרת) |
גרסה מ־13:57, 11 במרץ 2011
תוכן עניינים
האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות -
, שפתרונו פשוט
עבור F פונקציה קדומה ל-f.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק
(עבור
): לפי ההגדרה
. לכן עבור
מתקיים
ועבור
,
.
-
-
דוגמאות חישוב
-
-
-
(מהפיכת כלל השרשרת)
-
-
(למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
-
-
-
- למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים מה האינטגרל. המסר הוא שהאינטגרציה קשה.
-
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
-
. אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל
, ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
-
. נעשה שוב אינטגרציה בחלקים:
ובסה"כ
.
-
.
-
.
-
ולכן
.
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז
ולפיכך
.
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה
נקבל
. נעביר אגף:
, נחזור לאינטגרל ונקבל
.
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
-
: נציב
ולכן
ולפיכך
.
-
: נציב
ואז
ונובע ש-
.
-
: נציב
ולכן
.
-
: עבור
נקבל
.
-
.
: נציב
ונקבל
.
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4:.
-
: נציב
ונקבל
.
-
: נציב
ואז
. מכאן ש-
.
-
: נציב
ומכאן ש-
. לבסוף,
גרף (1) ואז.
דרך אחרת:. נגדיר
ושוב נקבל
-
: נציב
ולכן
.
-
: נבחר
כדי לקבל
.
שיטה אחרת:ואז
.
שיטה אחרונה:.
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל:.