הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11"
(יצירת דף עם התוכן "===דוגמאות=== # <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב <math>t=x^3\...") |
|||
שורה 9: | שורה 9: | ||
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>. | # נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>. | ||
# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. | # נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. | ||
− | # נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: | + | # תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר לכל k <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}</math>. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא <math>\frac1n\sum{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע. |
+ | # אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>P_n</math> <math>L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>. דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. גרף (5). כאשר ראינו ש-<math>L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k</math> (ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כזה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת <math>P'</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(P')<\frac\varepsilon2</math>. אם Q עידון של <math>P'</math> אז <math>L(P')\le L(Q)\le L</math> ולכן <math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'^2(x)}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של <math>P'</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+S_L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> לכן הם שווים. {{משל}} |
גרסה מ־15:00, 22 במרץ 2011
דוגמאות
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx
. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד סוף החישוב. נציב . לכן
. דרך ב - נחליף את הגבולות בדרך:
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל יכולנו לבחור
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-
, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע
מתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו -
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
. ז"א לכל חלוקה P
. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
.
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4)
. לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- תהא f מוגדרת ורציפה ב-
ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל
נגדיר חלוקה
של הקטע לקטעים שווים
. כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}
. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא . לפי בחירת
, לכל k מתקיים
ונובע:
(כאשר
הוא סכום רימן). נשאיף
ומכיוון שבמקרה כזה
מצאנו שהממוצע של f שואף ל-
. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם
רציפה אז
הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-
נעשה חלוקה
של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות
, כאשר לכל k
. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י
, כאשר
הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל
ואפשר להגדיר את L ע"י
. לפי זה L תמיד מוגדר
. דוגמה: נגדיר
. היא רציפה בקטע הסגור
אבל אורך הגרף הוא
. גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k
(ע"פ משפט לגראנז' ישכזה כך ש-
והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה
. היה נתון ש-
רציפה ולכן גם
רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל
והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף
. נוכיח זאת: נגדיר
וכן
ונניח
. יהי
נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת
של
כך ש-
. אם Q עידון של
אז
ולכן
. כעת נתון ש-
רציפה ולכן
אינטגרבילית ב-
. לכן קיים
כך שאם P חלוקה כלשהי של
כך ש-
ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P
. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של
כך ש-
. כבר למדנו ש-
הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק
ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-
לכן הם שווים.
![]()