הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"
מ (←פתרון) |
(←דוגמה 3 משיעור קודם) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}} | נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}} | ||
==דוגמה 3 משיעור קודם== | ==דוגמה 3 משיעור קודם== | ||
− | הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math> | + | הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>. |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>. | נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>. |
גרסה מ־23:04, 28 במאי 2011
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט דיני
אם סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע
ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף
סדרה עולה לכל
. אזי
מתכנסת במ"ש ב-
.
דוגמה 1
בדוק הכנסות עבור הסדרה בקטע
פתרון
נישם לב שעבור x בקטע . קל לראות גם שפונקצית הגבול
. ברור כי
רציפות ובקטע מתקיים
. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש.
פתרון
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול ומכיוון ש-
.
דוגמה 2
קבעו אם הטור מתכנס ב-
.
פתרון
נשתמש בטור הנדסי, נרשום ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש.
דוגמה 3 משיעור קודם
הוכח או הפרך: אם סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן
פונקציה רציפה אז
היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול
.
פתרון
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל יש
כך שאם
אז
. בנוסף נתון ש-
מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל
מתקיים
(בפרט אפשר לבחור
.
נשים לב ש-
מוגדרת היטב ושם לכל
ובפרט עבור
מתקיים
.
מבחן ה-M של ווירשטראס
יהי טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים
כך שלכל n גדול מספיק ולכל
מתקיים
אז
מתכנס במ"ש ב-I.
דוגמה 4
הוכח כי מתכנס במ"ש ב-
.
פתרון
נרשום את הטור כ- נסמן
ונחסום אותה:
ו-
, שהיא מקסימום כי
. נותר לבדוק את קצוות הקטע:
. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס
מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור
מתכנס במ"ש.
אינטגרציה איבר-איבר בסדרות
אם סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים
דוגמה 5
קבע האם מתכנס כאשר
ו-
. נציב
ואז
עבור צד ימין
(השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי
</math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.
נראה ש- לא מתכנסת במ"ש.
=פתרון
ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-:
ונקבל
. מתקיים
.