לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(396 גרסאות ביניים של 64 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
:::<math>
::<math>
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
\lambda & 0 & 0 \\
שורה 21: שורה 21:


'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן


= שאלות =
= שאלות =
==פתיחת מחברות==
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
:תשאלו את המרצים
==מבחן מועד א'==
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
אתם יכולים להעלות את המבחן?
תודה.
===תשובה===
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
==פתיחת מחברות==
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
  ,תודה רבה.
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
==ציוני מבחן==
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
===תשובה===
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא


==מחפש המלצה==
==מקום הפרסום==
''לא מצאתי ספר אם תאוריה דוגמאות ותרגילים לגבי שניוניות. אשמח אם מישהו יוכל להמליץ על אחד''.
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


===שאלה===
שאני פותר את התרגילים שצריך למצוא את הצורה הקנונית- צריך גם להראות את הדרך של החלפת המשתנים? או שמספיק להציב בנוסחא מהתרגיל?


===תשובה===
===תשובה===
הנוסחא מהתרגיל מספיק טובה לתרגיל של 2 על 2, אבל יש גם אחד של 3 על 3. הכי טוב להסביר את זה פעם אחת ואז לעשות שוב ושוב (בטח לא להראות לכל תרגיל מחדש.
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע


===שאלה===
== שאלה ==
בתרגיל 4 יצא לי באחד מהסעיפים צורה קנונית שנראית כמו (אחרי החלפת משתנים וזה)Elliptic paraboloid מוויקיפדיה, רק עם מספר חופשי. אין שום צורה כזו בויקפדיה. איך קוראים לזה?


:אתה צריך להיות יותר ספציפי. לא לרשום את הקבועים המדוייקים, אבל בגדול. אחרת אני לא יכול לענות על זה. כנראה שזו כן צורה מהוויקפדיה (אמור להיות שם הכל אני חושב) ואתה פשוט מפספס את הקשר בין הצורות
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??


==שאלה==
==שאלה==
ארז, אמרת שכאשר q(v)=vt * A * v אז A מתאימה לאופרטור צל"ע. למה?
 
אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?


===תשובה===
===תשובה===
זה החומר של שיעור שעבר. הרי מה זה <math>v^tAv</math>? זה בדיוק תבנית בילינארית כלשהי <math>f(v,v)</math>. ולמדנו שכל תבנית ריבועית מתאימה לתבנית בילינארית סימטרית מסוימת. בקיצור, חומר של שיעור שעבר.
כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.


==שתי שאלות==
== הוכח\הפרך ==  
*האם יכול להיות מצב בו הצורה הקנונית של שנינונית ממעלה 1 (ממימד )3 תהיה שניונית ממעלה 2?
 
*בתרגיל למדנו איך למצוא את הסקלר d' בעזרת הערכים העצמיים של המטריצה. נניח שאחד הערכים העצמיים הוא 0, איך אפשר להפוך את השניונית לצורה קנונית?
שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- 
תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>


===תשובה===
===תשובה===
*תגדיר מעלה של שניונית. אני מנחש שאתה קורה לשניונית עם xy ממעלה 1 אבל זה לא נכון. המעלה הינה סכום המעלות. אם יש לך משוואה לינארית, לא יכול להיות שהיא תהפוך לריבועית.
אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).


*בתרגיל למדנו לבצע לכסון אורתוגונלי, ואז השלמה לריבוע ואז הזזה. אם אחד הע"ע הינו אפס, אז לא עושים למשתנה שלו השלמה לריבוע אלא רק לאחרים ורואים מה יוצא.
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)


*אני מבין עכשיו שיכולה להיות הטעיה בניסוח התרגיל לגבי צורה קנונית. אם קיבלתם <math>ax^2+by^2=cz+5</math> אז זו גם צורה קנונית....
== שאלה ==


::*בדיוק, הבנתי אם כך את הנושא. כלומר, אם יש לי למשל 2xy+18xz יכול לצאת לי, תאורטית, x^2+12z^2?
אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>


::*הבנתי, תודה רבה!! :)


::*בנוגע לתרגיל בו קבלתי ערך עצמי 0, האם 0 יהיה המקדם של z^2 במקרה זה? (כלומר הצורה הקנונית של שניונית תהיה בכלל ממימד 2 למרות שהצורה המקורית שלה ממימד 3)
===הוכחה===
דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.




:::שוב, מה הכוונה של מימד? אם ע"ע הוא אפס, תקבל למשל משוואה מהצורה <math>ax^2+by^2+cx+dy+ez=f</math> ולאחר השלמה לריבוע והזזה תקבל <math>ax^2+by^2+ez=f</math>
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).


ואיך קוראים לצורה הקנונית הזו?
==השלמה לבסיס==
האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?


===תשובה===
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.


::זה תלוי בקבועים...
==שאלה==
איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?


מה ז"א? איפה אני יכול לרואת רשימה שלהם? אם כל הקבועים שונים מ-0?
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
בוויקפדיה באנגלית לא מופיע מקרה כזה


::אפשר להמשיך לחלק בe ואז להזיז את z ואולי לשקף אותו על מנת לקבל את המקרה בוויקיפדיה. זה בדיוק כל הטריק, לעשות שינויים שלא משנים את הצורה על מנת להגיע לצורה מוכרת.
===תשובה===
תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
 
==שאלה==
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)


:::מה ז"א 'לשקף'? איך אפשר לשקף אותו?
===תשובה===
צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.


::::להחליף אותו במינוס של עצמו. זה שיקוף כלפי ציר x
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.


== שאלה לגבי אחוז ההגשה ==
==שאלה==
מהו אחוז שיעורי הבית שאפשר לא להגיש? הסמסטר נגמר ועוד לא אמרו לנו. כל המטרה של אחוז הגשה זה שאנחנו נתכנן
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
את הזמן שלנו ונחליט מתי עדיף שלא נגיש את שיעורי הבית .
תודה מראש.


ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
לכל V שייך ל- V.


===תשובה===
===תשובה===
לא. אתם חייבים להכין את כל שיעורי הבית כי מטרת התרגילים היא לבסס את חומר הלימוד.
א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.


המטרה של אחוז ההגשה היא למקרים קיצוניים בהם לא היה אפשרי להגיש תרגיל, כי ברור שמקרים כאלה עלולים לקרות.
אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.


זו בדיוק לא הכוונה שתבחרו סתם לא להגיש תרגיל קשה, כי מן הסתם אנחנו מעוניינים שתעבדו על תרגיל קשה.
ב. זה משפט ההצגה של ריס.




אז מה אחוז ההגשה המותר במקרים קיצוניים? יפה שאתם רוצים שנגיש את הכל אבל ככה זה לכל הסטודנטים אחוז הגשה ואי אפשר
==שאלה==
שלנו התיכוניסטים יהיו חוקים אחרים.
איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t


:למה אי אפשר? אני לא ראיתי שום תקנון שמכריח אותי לעשות מה שנוח לכם :) כנראה שאם יהיה חסר תרגיל אחד לא תהיה בעייה לגשת למבחן.
===תשובה===
בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.


החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.


==שאלה==
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?


דיברתי אתמול עם ד"ר צבאן והוא אמר שאפשר לא להגיש 20% או יותר (יותר פירושו אם יוחלט אך מובטח שמותר לא להגיש 20%).
===תשובה===
מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות


== תרגיל 12 שאלה 1 ==
==שאלה==
מה הכווונה בשינוי צורה של שניונית? איך בדיוק זה מתבטא?
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
והאם בהכרח מטריצה אורתוגנולית היא מטריצת/סיבוב או שיקוף ב-R3 לפי מישור/ישר?
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
תודה.
TT=I
TT*=I
ואז T=T* משמע שזה אמת


===תשובה===
===תשובה===
שינוי צורה, הכוונה שהצורה נהיית אחרת, המרחק בין הנקודות משתנה, זויות בין ישרים משתנות וכו. ברור שסיבובים ושיקופים לא משנים את הצורה.
בוודאי שההופכית יחידה...
 
וזו הוכחה נכונה.
 
:תודה! (:


לגבי R^3 זו בדיוק השאלה של התרגיל. ולמדתם בהרצאה איך נראית המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג מכל מימד, כולל R^3, אתם צריכים מתוך זה להסיק לבד מה הוא עושה.
== 2 שאלות==
1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?


א)מדובר על מטריצה אורתוגונלית כללית ואם אתה מתכוון לייצוג ב-R 3 הוא למעשה שיקוף לפי ציר מסוים+סיבוב לפי מישור או שיקוף/סיבוב זה נכון עבור בסיס אורתונורמלי מאוד מסוים.אני לא רואה איך זה בדיוק משתלב בתרגיל.  
2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
 
תודה!
 
 
===תשובה===
1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).


ב) הצלחתי להראות שלמעשה המטריצה האורתוגונלית לא משנה את צורת השניונית אלא רק את ייצוג הבסיס של הוקטור (התאמתי בסיס אורתונורמלי לפי המטריצה) האם זה נכון לומר שהצורה נשמרת אם כך?
לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.


זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.


===המשך===
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
א - אתה לא רואה איך שיקוף וסיבוב קשור לכך שהצורה הגיאומטרית לא משתנה? הרי זה בדיוק מה שלמדנו אתכם.


ב - מעניין אותי איך הראת שהצורה לא משתנה, אם לא השתמשת בשיקוף וסיבוב...
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.  


===שאלה===
בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
איך זה שלפני הבוחן ,נתתם פירוט מדויק שלו חודש וחצי לפני,ואילו למבחן שיערך בעוד שבועיים וחצי עוד לא נתתם כלל מידע?


צודק!!
:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
צריך פירוט דחוף


*אולי תבקשו דברים בצורה יפה ולא תדרשו? תופסים יותר זבובים עם דבש מאשר עם חומץ. ולעניין, אני מקווה שבקרוב יוחלט על פורמט המבחן ויהיה פירוט.
:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.


::מבחן סיום קורס, אני מאמין שכל החומר שלמדנו ייכלל, את השעות אפשר לראות באתר של בר אילן. אגב, האם יעלה תרגיל 9 (שכפי שאמרת ישמש רק לחזרה ולא להגשה), ואם כן איזה חומר הוא יכלול? דרושה חזרה נוספת על כל נושא הליכסון האורתוגונלי, האם יש אפשרות לשלב אותו בתרגיל?
::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
:::::: אוקי, שוב תודה :)


==שאלה==
==שאלה==
*בהרצאה למדנו שכשעושים פעולות על השניונית מותר רק הזזות וסיבובים (אופרטורים אורתוגונליים עם דטר' 1) ואסור שיקופים (עם דטר' -1). איך בדיוק זה בא לידי ביטוי בתרגיל? צריך פשוט להראות שזה שומר מכפלה פנימית? אז למה דווקא בR3 ולא במרחב כללי? ואני לא זוכר שלמדנו משהו על המטריצה של אופרטור א"ג חוץ מA*(At)=I והאיברים על האלכסון.
יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
הוכח\הפרך:
 
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
 
2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
 
תודה לעוזר הנחמד.


===תשובה===
===תשובה===
קצת מוזר לי שאסור שיקוף, בתרגיל אמרנו שמותר. באיזה הרצאה אמרו שאסור?
1. הוכחה:
 
אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
 
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
 
2. הפרכה:
 
ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
:תודה רבה רבה רבה


למדתם את הצורה של המטריצה המייצגת של אופרטור א"ג וגם היה לכם תרגיל מאד דומה על אופרטור אנטי צמוד לעצמו (בתרגיל 10).


===שאלה===
==שאלה==
האם הצורה הקנונית של שניונית היא יחידה (עד כדי החלפת המשתנים זה בזה כמובן)? הסוג הוא יחיד, אבל גם הצורה הקנונית (המשוואה בסוף?)
בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..


===תשובה===
===תשובה===
לא יודע, אני לא הגדרתי צורה קנונית בצורה מדוייקת. אני מניח שאם נגדיר בצורה מדוייקת היא תהיה יחידה, אבל המטרה שלי הייתה רק להסביר לאיזה צורה צריך להגיע (וגם את זה לא עשיתי טוב, כי לא התחשבתי במקרה של ע"ע אפס)
שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
 
==שאלה==
:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
:A(A^2+I)(A-2I)=0
:הוכח: A לכסינה.


::היא גם יחידה אם מסדרים את המטריצה האלכסונית שערכיה הם הע"ע של A בסדר שונה? (כלומר את הע"ע מסדרים בסדר שונה)


:::לא, כמו שהיא לא יחידה לגבי החלפת קואורדינטות
תשובה
זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
x(x-i)(x+i)(x-2)      z
אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
וזה אם ורק אם A לכסינה
 
::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
 
:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..


==שאלה==
==שאלה==
האם מותר לפתור את תרגילים 2 ו 4 לפי הנוסחאות שפיתחנו בתירגול, בלי להראות החלפת משתנים והשלמה לריבוע וכו'?
שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?


===תשובה===
===תשובה===
לא עשינו דוגמאות של 3 על 3 בכיתה בכלל. תסבירו מה אתם עושים, אולי תפרטו בתרגיל אחד. אין צורך לפרט בכל אחד מהתרגילים את החישובים מהתחלה. אבל כן יהיה טוב לרשום: מחליפים קואו', משלימים לריבוע, מזיזים וכו'
אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.
 
תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
 
 
:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
 
אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
 
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
 
תודה I GUESS...


==שאלה==
==שאלה==
מה זה אומר לי שלשתי שניוניות יש אותה צורה גאומטרית?
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
 
*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
 
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
 
 
::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
        מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
 
==שאלה==
איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
 
נתונה מטריצה A:
 
0 0 0 5
 
0 0 4 1
 
0 3 3 2
 
3 6 5 4
 
א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)
 
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
תודה!
 
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
 
== שאלה ==
איפה המבחן מחר?
 
לפי אורי וייס
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
 
== שאלה ==
 
סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
 


===תשובה===
===תשובה===
השאלה המקורית היא: מה הצורה הגיאומטרית של השניונית. על מנת לענות על זה, מעבירים לשניונית אחרת עם אותה צורה גיאומטרית רק שהפעם אנחנו יכולים להגיד מה הצורה שלה.
T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
ולכן Ty גם בU+


מה עוד צריך שזה יגיד?


==שאלה==
==שאלה==
איך יודעים מה הצורה או הצורה הקנונית של שניונית?? מה ההבדל בכלל????
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
==תשובה==
לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.


==שאלה==
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?


===תשובה===
===תשובה===
מה ההבדל בין מה למה?
התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.
 
 
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
 
==שאלה על התרגיל==
קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )
 
:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
 
=תודה!!=
ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
תבוא לתרגל באינפי 2 (:
 
: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
 
:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


צריך להביא את השנינית למצב שאפשר להגיד מה הצורה שלה (לפי רשימת הצורות מהשיעור או מהרצאה או מוויקיפדיה).


==שאלה על הזזות==
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
הזזה היא פעולה אורתוגונלית?
 
-מצטרף לתשבוחות
רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש
 
:חחחחחחחחחחחח גדוללל!
 
:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
 
חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!
 
=שאלה=
בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
מה לעשות?


===תשובה===
===תשובה===
כשמדובר על אופרטורים א"ג כמובן מדובר על העתקות לינאריות (זו ההגדרה של אופרטור). הזזה היא לא העתקה לינארית בכלל כי היא שולחת את אפס למקום אחר.
אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.


===שאלה===
==שאלה==
האם בתרגיל 1 מותר לי להוכיח בכללי לכל מרחב וקטורי  R^n? האם מותר לי להסתמך שהזזות ושיקופים לא משנים את צורת השניונית (זה בכלל משפט או שככה הגדירו אותם?)
היי ארז,
ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
תודה רבה!
נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


===תשובה===
אפשר להוכיח באופן כללי. כן, על זה אתה צריך להסתמך כמו שלימדנו בכיתה. אני מניח שאפשר לנסח משפט כזה, שמגדיר את ה"צורה" בתור המרחק והזווית בין כל שתי נקודות באובייקט הגיאומטרי (סתם מהראש שלי). אבל זה לא קורס גיאומטריה, וכל מה שצריך זה הגיון בריא שאומר שאם אתה מסובב או משקף יש לך אותה צורה. (עבור הצורות של השניוניות כמו ספירה, אליפסואיד וכו'.)


==שאלה בנוגע ל-'==
סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
אני לא יודע למה, ונדמה לי שזה לא נכון אבל יוצא לי שהערך העצמי יוצא 0, והשניים האחרים יוצאים מספרים ממשיים מגעילים.
אני כמעט בטוח שזה לא נכון, יכול להיות שיש טעות בתרגיל??
אם לא, אשמח שמישהו יגיד לי מה היו הע"ע האמיתיים ואני אבין איפה טעיתי.


===תשובה===
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
אתה לא טועה. הערכים העצמיים הם 0 ושני מספרים ממשיים מגעילים.
: אז איך אני אמור למצוא להם ווקטורים עצמיים בדיוק, ולהגיע למטריצה P?
:: אני מניח שחישבת את הווקטורים העצמיים באינטרנט. אתה יכול לחשב אותם על הנייר, או אתה יכול לנסות שנייה אחת לראות שזה מספר טבעי +/- השורש שלו.


לא, חישבתי על נייר, טוב תודה על העצה, אני אנסה.


==שאלה לגבי 4-ג'==
::אחרי שהמבחנים יבדקו
יצא לי שערך עצמי  אחד הוא 0, ועשיתי כרגיל: חישבתי את P, ואז את הווקטור Pt*b (כלומר במקרה הזה, הווקטור 1,2,3)
ועכשיו אני באמת לא יודע מה לעשות, ראיתי שארז אמר לעשות השלמה לריבוע רק למשתנים הלא מתאימים לאפס, מה זה אומר באופן מעשי??


:::לא מאמינים. תוכיח :)
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
==שאלה==
==שאלה==
(קצת באיחור :)) רק עכשיו שמתי לב שבאלגוריתם שרשמת לנו, כתבת שבהזזה/השלמה לריבוע, x<nowiki>''</nowiki> = x' +a/2x1  (כאשר x1 ע"ע). זה לא אמור להיות מינוס?
מה מס' הקורס? :P
==אמירה==
יש ציונים!!!
 
למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
 
הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
 
איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
 
18/11
 
מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
 
:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


===תשובה===
 
לא, למה שזה יהיה מינוס? אתה רוצה שמה שיש בתוך הסוגריים שבריבוע יהיה בדיוק הקואורדינטה החדשה שלך. אני היום יותר מאוחר אפרסם את הפתרונות של תרגיל 12, ותוכלו לוודא את התשובות
:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
:אז בעצם העניין הוא שצריך להעביר אגף, לקבל x'=x<nowiki>''</nowiki>-blabla ואז להציב כאמור?
 
::למה להעביר אגף? <nowiki>''</nowiki>x הוא המשתנה החדש, פשוט רושמים אותו. העלאתי פתרונות, מוזמן להסתכל.
::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
 
מתי הפתיחת מחברות?
 
תשאלו את המרצים
 
==הכרזה==
יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')
 
יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
 
 
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..


==שאלה==
==שאלה==
ארז, אמרת שאחרי שמבצעים את המטריצה המלכסנת P מבצעים החלפת משתנה
מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.


<math>x' = P^tx</math>
===תשובה===
את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.


אני לא מבין למה לרשום את זה כך. סה"כ מתבצעת החלפת משתנים
==הצעה==
לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.


<math>x ------> Px </math>
===תשובה===
ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.


מה משמעות הרישום במשוואה העליונה? האם ככה אנחנו רוצים ש x' יחליף את x?
:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
איך אני אמור להסתכל על זה?


: לא ניסחתי את עצמי טוב. הכוונה היא מה ההיגיון בלרשום את החלפת המשתנים כמו במשוואה הראשונה.  
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
למה אנו רושמים בהתחלה את החלפת הקורדינטות <math>x' = P^tx</math> ולא לרשום מהתחלה <math>x = Px'</math>?
זאת אומרת, מה אמור לעבור לי בראש כשאני רושם שנחליף משתנים כמו במשוואה הראשונה?


::זו הדרך האינטואיטיבית שנובעת אפילו מהציור שלך. <math>x \rightarrow P^tx</math> לכן הקואורדינטות החדשות שלנו הן x' ואנחנו צריכים נוסחא על מנת להגיע אליהן. בכל מקרה, שתי המשוואות כמובן שקולות ושכל אחד ישאר עם האינטואיצה שלו. ברור שהמטרה הסופית היא ללכסן את התבנית הריבועית, ואת מטרה זו השגנו.
מתי יהיו ציונים סופיים?


==בקשה==
לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
היי, אשמח מאוד אם תוכלו להוסיף דוגמה לשילוש כאשר צריך לעשות מס' שלבים (כן, עבר הרבה זמן מאז) כי לא באמת נתנו לנו דוגמה כזו.. איכשהו הסתדר בסוף והתהליך יצא דומה ללכסון. (לדוגמה, בחוברת הצהובה, היה תרגיל מסוים של שילוש, סעיף c יכול להיות טוב).
 
===פתיחת מחברות===
מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


===תשובה===
אתה צודק, נעלה דוגמא כזו בסוף השבוע
:תודה רבה :) ואשמח אם תוכל להעלות גם פתרון של תרגיל 4.3 ג' בעמוד 89.. לא הצלחתי אותו וניסיתי המון פעמים (זה שילוש רגיל, לא אורתוגנולי).


::תעקוב אחרי הדוגמא שנתתי, רק בלי לבצע גרם שמידט ותראה אם אתה מצליח.
אני ממליץ לשאול את בוריס :)


==בקשה==
===לגבי מועד ב'===
היי,
אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??
אשמח אם תוכלו לתת קצת פרטים אודות המבחן....זה יועיל לנו...רובנו התחלנו כבר לרפרף על החומר,ויועיל לנו לדעת פחות או יותר מהו סוג ההוכחות שצריך לדעת,סוג התר' וכו'....
בהערכה רבה על תמיכת המתרגלים(ובמיוחד על ההשקעה של ארז)!!!!!!!!!!!!


===תשובה===
אנחנו עובדים על זה. ברגע שתהיה החלטה על מבנה המבחן נפרסם יותר פרטים


==שאלה==
רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
פרופסור קוניבסקי השתמש באחת ההרצאות שלו בכך שאיחוד הבסיסים של מרחבי הוקטורים העצמיים של כל ערך עצמי (הבסיס שלהם מורכב מוקטורים עצמיים) הוא קבוצה בת"ל. למה זה נכון? איך מראים את זה?


===תשובה===
===תשובה===
זה דבר מאד חשוב שאנחנו משתמשים בו כל הזמן, ו"ע של ע"ע שונים הינם בת"ל. נניח בשלילה שזה לא נכון, וקיימים <math>v_1,...v_n</math> ו"ע עם ע"ע <math>x_1,...x_n</math> שונים כך שב.ה.כ <math>v_1</math> הינו צ"ל של האחרים <math>v_1=a_2v_2+...a_nv_n</math>.  
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
 
===תשובה של דר' צבאן===
לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.


נכפול במטריצה A ונקבל <math>Av_1=a_2Av_2+...a_nAv_n=0</math> ולכן <math>x_1v_1=a_2x_2v_2+...a_nx_nv_n=0</math> אם <math>x_1=0</math> אזי זה אומר שהוקטורים <math>v_2,...v_n</math> ת"ל כי הע"ע שונים ולכן <math>x_2,..x_n\neq 0</math>. מצד שני, אם <math>x_1\neq 0</math> אזי נחלק בו, ושוב בגלל שהע"ע שונים אזי <math>\forall i: \frac{x_i}{x_1}\neq 1</math>, נקבל צ"ל שונה של <math>v_2,...v_n</math> שנותן את <math>v_1</math> ולכן <math>v_2,...v_n</math> ת"ל עדיין.
לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.


נמשיך את התהליך הזה עד שנקבל ש<math>v_1</math> ת"ל בעצמו כלומר שווה אפס בסתירה לכך שהינו וקטור עצמי.
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.


מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):


אני לא יודע אם זו ההוכחה מההרצאה, בטוח עשיתם את זה, זה נושא מאד בסיסי בכל הקורס הזה, כי משתמשים בו בלכסונים ושילושים ובעצם בהכל.
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html


==מיקוד למבחן==
בהצלחה,
יש אפשרות להעלות מיקוד למשפטים שצריך ללמוד למבחן?
בעיקר עבור המשפטים הגדולים. תודה.


:נשאל ונענה כבר 5 פעמים.
ד"ר בועז צבאן


==המשך השאלה מלמעלה==
: תודה רבה
את ההוכחה שנתת ראיתי. אבל אני התכוונתי למשהו אחר
נגיד יש לי v1, ...vs בסיס של וקטורים עצמים למרחב הוקטורים העצמיים של L ע"ע
ו- v'1, ...v'k בסיס של וקטורים עצמים למרחב הוקטורים העצמיים של l ע"ע
וכו..
למה איחוד הבסיסים האלו הוא קבוצה בת"ל? אנחנו לוקחים יותר מוקטור עצמי אחד של כל ע"ע...

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.

  ,תודה רבה.


פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-[math]\displaystyle{ degA=2 \lt = rkA=1( }[/math]

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- [math]\displaystyle{ im(T)=im(T^*) }[/math]


הוכחה

דבר ראשון נוכיח ש[math]\displaystyle{ ker(T)=ker(T^*) }[/math]. נניח [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] לכן [math]\displaystyle{ Tv=0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*Tv,u\gt =\lt 0,u\gt =0 }[/math] אבל [math]\displaystyle{ T^*T=TT^* }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt TT^*v,u\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall u: \lt T^*v,T^*u\gt =0 }[/math] ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן [math]\displaystyle{ \lt T^*v,T^*v\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ T^*v=0 }[/math] כלומר [math]\displaystyle{ v \in ker T^* }[/math]. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. [math]\displaystyle{ v \in kerT }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt Tv,u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ \forall u: \lt v,T^*u\gt =0 }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ v \in (ImT^*)^\bot }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ kerT = (ImT^*)^\bot }[/math]. בצורה דומה [math]\displaystyle{ kerT^*=(ImT)^\bot }[/math]. אבל הגרעינים שווים ולכן [math]\displaystyle{ (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot }[/math] ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור [math]\displaystyle{ v_1 }[/math] לבסיס עבור [math]\displaystyle{ F^n }[/math] . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם [math]\displaystyle{ v_1,...v_n }[/math] בא"נ אזי גם [math]\displaystyle{ Tv_1,..Tv_n }[/math] בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן [math]\displaystyle{ TT^*=T^*T=I }[/math]. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: [math]\displaystyle{ \lt Tv_i,Tv_j\gt =\lt v_i,T^*Tv_j\gt =\lt v_i,v_j\gt }[/math] ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.


שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה [math]\displaystyle{ A=PJP^{-1} }[/math] נשחלף לקבל ש [math]\displaystyle{ A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t }[/math] כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס [math]\displaystyle{ v_3,v_2,v_1,v_5,v_4 }[/math].

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!


תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא [math]\displaystyle{ w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{\lt v_i,w_k\gt }{\lt w_k,w_k\gt }w_k }[/math] נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל[math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math]. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה [math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ j\lt i }[/math]. אבל לפי ההנחה, הוקטורים [math]\displaystyle{ w_1,...,w_{i-1} }[/math] מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

[math]\displaystyle{ \lt w_i,w_j\gt =\lt v_i,w_j\gt -\frac{\lt v_i,w_j\gt }{\lt w_j,w_j\gt }\lt w_j,w_j\gt =0 }[/math] כפי שרצינו.

בנוסף, [math]\displaystyle{ w_i\neq 0 }[/math] מכיוון שאחרת [math]\displaystyle{ v_i }[/math] ת"ל ב[math]\displaystyle{ v_1,...,v_{i-1} }[/math] בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix} }[/math].
עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים ש[math]\displaystyle{ A^*A }[/math] הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \lambda\lt v,v\gt =\lt A^*Av,v\gt =\lt Av,Av\gt \geq 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lambda \geq 0 }[/math].

כעת, נניח בשלילה ש[math]\displaystyle{ I+A^*A }[/math] סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר [math]\displaystyle{ |I+A^*A+0\cdot I|=0 }[/math] כלומר, [math]\displaystyle{ |A^*A-(-1)\cdot I|=0 }[/math] כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי [math]\displaystyle{ (-1)^2 }[/math] הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה


שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הינו ע"ע של [math]\displaystyle{ A^*A }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A^*Av=\lambda v }[/math]

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
A(A^2+I)(A-2I)=0
הוכח: A לכסינה.


תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.


אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...


תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+


שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן.


רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!
מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?


אחרי שהמבחנים יבדקו
לא מאמינים. תוכיח :)
אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה