הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"
מ (←הוכחה) |
מ (←הוכחה) |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 5: | שורה 5: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | <math>\ | + | <math>\implies</math>: נתונה f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וב-<math>[b,c]</math>. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math> וחלוקה Q של <math>[b,c]</math> ונגדיר <math>R=P\cup Q</math> (כלומר R חלוקה של <math>[a,c]</math>). לכן מתקיים <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math>. נשאיף <math>\lambda(P),\lambda(Q)\to0</math>. לפי הנתון <math>\overline S(f,P)\to\int\limits_a^b f</math> וגם <math>\overline S(f,Q)\to\int\limits_b^c f</math>, לכן <math>\overline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. באותו אופן נקבל <math>\underline S(f,R)\to\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. הראנו ש-<math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)\to0</math> ולכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,c]</math>. ע"פ משפט 4 נסיק <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. |
− | <math>\ | + | <math>\Longleftarrow</math>: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב <math>\overline S(f,R)=\overline S(f,P)+\overline S(f,Q)</math> ו-<math>\underline S(f,R)=\underline S(f,P)+\underline S(f,Q)</math>. נחסיר ונקבל: <math>\overline S(f,R)-\underline S(f,R)=\overline S(f,P)-\underline S(f,P)+\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)</math>. כעת, אם <math>\varepsilon>0</math>, האינטגרביליות של f על <math>[a,c]</math> גוררת שעבור <math>\lambda(P)</math> ו-<math>\lambda(Q)</math> מספיק קטנים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P),\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)<\varepsilon</math>. קיום חלוקה P כזאת לכל <math>\varepsilon>0</math> מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וקיום חלוקה Q - ב-<math>[b,c]</math>. השיוויון <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> נובע מהחלק הקודם. {{משל}} |
===הכללה=== | ===הכללה=== | ||
שורה 19: | שורה 19: | ||
# <math>\int\limits_a^a f=0</math> | # <math>\int\limits_a^a f=0</math> | ||
# אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math> | # אם <math>a<b</math> ואם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> נרשום <math>\int\limits_b^a f=-\int\limits_a^b f</math> | ||
− | (אלה מוסכמות ולא | + | (אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, <math>\int\limits_b^a</math> לא מוגדר עבור <math>a\le b</math>) |
עם מוסכמות אלה יתקיים: | עם מוסכמות אלה יתקיים: | ||
− | <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\ | + | <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math> באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם <math>c<a<b</math> אז לפי משפט 8 <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. נבדוק: <math>\int\limits_c^a f=-\int\limits_a^c f\ \and\ \int\limits_c^b f=-\int\limits_b^c f</math> ולכן <math>-\int\limits_b^c f=-\int\limits_a^c f+\int\limits_a^b f</math>, מה שגורר <math>\int\limits_a^c f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^c f</math>. |
==משפט 9== | ==משפט 9== | ||
− | תהי | + | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. | + | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע כי {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math> | + | |
===מסקנה 1=== | ===מסקנה 1=== | ||
שורה 38: | שורה 34: | ||
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== | ||
− | נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math> אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | + | נניח ש-f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות <math>x_0,x_1,\dots,x_n</math> כך ש-<math>a\le x_0<x_1<\dots<x_n\le b</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על | + | עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math> ורציפה ב-<math>(x_{k-1},x_k)</math>. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-<math>[x_{k-1},x_k]</math>. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]=\bigcup_{k=1}^n [x_{k-1},x_k]</math>. {{משל}} |
+ | [[קובץ:פונקציה רציפה למקוטעין.png|ימין|ממוזער|300px|דוגמה לפונקציה רציפה למקוטעין]] | ||
'''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. | '''הגדרה:''' אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון. | ||
− | |||
− | |||
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם. | נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב-<math>[a,b]</math> אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-<math>[a,b]</math> אז היא אינטגרבילית שם. | ||
שורה 54: | שורה 49: | ||
=האינטגרל לפי רימן= | =האינטגרל לפי רימן= | ||
==הקדמה - הגישה של רימן== | ==הקדמה - הגישה של רימן== | ||
− | נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר | + | [[קובץ:האינטגרל לפי רימן.png|שמאל|400px|ממוזער|ניתן לראות שסכום שטחי המלבנים הנוצרים מסכום רימן שווה בקירוב לשטח שמתחת לגרף.]] |
− | + | נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נבחר חלוקה P של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>. עוד נבחר לכל k מספר <math>c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ונכנה כ-{{ltr|P'}} את התת חלוקה <math>a\le c_1<c_2<\dots<c_n\le b</math>. ז"א <math>a=x_0\le c_1\le x_1\le c_2\le\dots\le c_n\le x_n=b</math>. בהתאם לכך נבנה סכום רימן <math>S(f,P,P')=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math> כאשר לכל k מתקיים <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math>. | |
− | + | ||
− | <math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, | + | <math>S(f,P,P')</math> מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו. |
נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>. | נעיר שעל חלוקה אחת P של <math>[a,b]</math> אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math>. עם זאת, יתקיים תמיד <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'} S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'} S(f,P,P')</math>. | ||
− | '''הגדרת רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>. | + | '''הגדרת האינטגרל לפי רימן:''' תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> כל סכומי רימן <math>S(f,P,P')</math> שואפים לגבול אחד, שיסומן <math>\int\limits_a^b f</math>. |
==משפט 10== | ==משפט 10== | ||
שורה 69: | שורה 63: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של <math>[a,b]</math>: | + | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה {{ltr|P'}} של <math>[a,b]</math>: |
<math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>. | <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. כעת נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, <math>\overline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> וכן <math>\underline S(f,P)\to{\int\limits_D}_a^b f</math> לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math> קיים ושווה ל-<math>{\int\limits_D}_a^b f</math>. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')={\int\limits_D}_a^b f</math>. | ||
− | לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם | + | לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים <math>{\int\limits_R}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0} S(f,P,P')</math>. אם כן הוא גם שווה ל-<math>\lim_{\lambda(P)\to0} \sup_{P'} S(f,P,P')=\lim_{\lambda(P)\to0} \overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f</math>,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו <math>{\int\limits_R}_a^b f=\overline{\int}_a^b f=\underline\int_a^b f</math>. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-<math>{\int\limits_R}_a^b f={\int\limits_D}_a^b f</math>. {{משל}} |
==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}== | ==משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}== | ||
− | נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי: | + | נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי: |
− | # {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים <math>\int\limits_a^ | + | # {{הערה|(לינאריות):}} <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. |
# {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | # {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | ||
\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ||
− | # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} | + | # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} |f| אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> וגם <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. |
# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | # אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | ||
# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | # אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | ||
שורה 86: | שורה 80: | ||
#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | ||
− | + | {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} | |
<ol start="2"> | <ol start="2"> | ||
<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | ||
− | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\ | + | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup_{x,y\in[a,b]}\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le\sup_{x,y\in[a,b]}|f(x)-f(y)|=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> ואז <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} |
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> | כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה אחרונה מ־20:32, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן מתקיים
.
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב-
וב-
. נקח חלוקה כלשהי P של
וחלוקה Q של
ונגדיר
(כלומר R חלוקה של
). לכן מתקיים
. נשאיף
. לפי הנתון
וגם
, לכן
. באותו אופן נקבל
. הראנו ש-
ולכן f אינטגרבילית ב-
. ע"פ משפט 4 נסיק
.
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב
ו-
. נחסיר ונקבל:
. כעת, אם
, האינטגרביליות של f על
גוררת שעבור
ו-
מספיק קטנים
. קיום חלוקה P כזאת לכל
מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-
וקיום חלוקה Q - ב-
. השיוויון
נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב-
אז
. ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
-
- אם
ואם f אינטגרבילית ב-
נרשום
(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור
)
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם
אז לפי משפט 8
. נבדוק:
ולכן
, מה שגורר
.
משפט 9
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי![\varepsilon>0](/images/math/b/0/f/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png)
![c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}](/images/math/c/7/7/c77c1223ee4ed2d9d226545bdb832808.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2](/images/math/e/4/8/e4863dabb9282c623b39ab4beb21244b.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![Q=\{a\}\cup P](/images/math/f/8/c/f8c2d01efe1faa1bc7f9285aee1e927e.png)
![M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/4/1/6/41624b23bf9a08bbe2bb5b85524c1b03.png)
![m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/9/b/a/9ba5d127c277254560938d42e708ca0b.png)
![\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}](/images/math/d/6/4/d64dfcf2e7621d04f5c96fc471c48c16.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות
כך ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-
. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-
. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-
.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-
אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של
:
. עוד נבחר לכל k מספר
ונכנה כ-P' את התת חלוקה
. ז"א
. בהתאם לכך נבנה סכום רימן
כאשר לכל k מתקיים
.
מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן
. עם זאת, יתקיים תמיד
. יתר על כן,
ו-
.
הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-
אם כאשר
כל סכומי רימן
שואפים לגבול אחד, שיסומן
.
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז
(לפי רימן)
(לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של :
. כעת נשאיף
. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו,
וכן
לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-
קיים ושווה ל-
. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים
.
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-
,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו
. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-
.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות):
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- (מונוטוניות): אם
לכל
אז
. (חיוביות): בפרט, אם
אז
.
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב-
וגם
.
- אם
ב-
אז
ואם
בקטע זה אז אז
.
- אם
(פונקציה קבועה) אז
.
הוכחה
. נשאיף
. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א
. עצם קיום הגבול אומר ש-
אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק
.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
- נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g:
. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל-
. נשאיף
. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק
.
- נעיר ש-
היא בעצם
. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-
. לכן
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
ואז
. נעיר שלכל f,
היא התנודה של f בקטע
ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע:
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהינתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של
כך ש-
ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון
. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים
. נשאיף
ונקבל ש-
.
- נתון
. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של
מתקיים
. נשאיף את
כדי להסיק
. אם נתון
אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר
.
- לפי הנתון
. לכן, עפ"י סעיף 4
ויש שיוויון.