הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "{{הערה|את דוגמה 4 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותה ב-31.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/29.5...") |
מ |
||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{ | + | {{המשך הגיע|תיאור=דוגמה 4|תאריך=29.5.11}} |
=טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= | =טורי חזקות {{הערה|(המשך)}}= | ||
שורה 9: | שורה 9: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\ | + | נעזר בסכימה בחלקים: נסמן <math>S_N=\sum_{n=0}^N a_n</math> ולכן <math>\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N</math> כאשר <math>-1<x<1</math>. לפי הנתון <math>S=\lim_{N\to\infty}S_N</math>, ולכן אם <math>0<x<1</math> אז <math>\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0</math> ועבור <math>0\le x\le 1</math> מתקיים <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n</math>. כמו כן, <math>\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n</math> (כי <math>\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n</math>). לכן <math>S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty Sx^n</math> ומכאן שעבור <math>x\in[0,1)</math> מתקיים <math>f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n</math>. נרצה להוכיח ש-<math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון ומכיוון ש-<math>\lim_{n\to\infty}S_n=S</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים <math>|S_n-S|<\frac\varepsilon2</math>. נסמן <math>I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n</math> וכן <math>I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n</math>, לכן <math>f(x)-S=I_1+I_2</math>. עתה <math>|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2</math>. לגבי <math>I_1</math> נגדיר <math>M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math> ולכן <math>|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|</math>. עתה <math>x\to1^-</math> ולכן <math>0<1-x<\frac\varepsilon{2M}</math>, לכן <math>|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2</math>. לסיכום הוכחנו שאם <math>1-\frac\varepsilon{2M}<x<1</math> אזי <math>|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0</math>. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
לגבי טור חזקות כללי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות R: | לגבי טור חזקות כללי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> בעל רדיוס התכנסות R: | ||
# אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> מתכנס ל-S אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S. | # אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> מתכנס ל-S אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה ל-S. | ||
− | # אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to x_0-R^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T. | + | # אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> מתכנס ל-T אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה ל-T. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
שורה 31: | שורה 31: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו | + | במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן <math>\{f_n-f\}</math> היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-<math>[a,b]</math>. נסמן <math>g_n=f_n-f</math> (ולכן <math>g_n</math> חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות <math>g_n\to0</math> אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים <math>\varepsilon>0</math> כל שלכל <math>n_0\in\mathbb N</math> קיימים <math>n>n_0</math> ו-<math>x\in[a,b]</math> עבורם <math>g_n(x)>\varepsilon</math>. בפרט, עבור <math>n_0=1</math> קיימים <math>n_1>n_0</math> ו-<math>x_1\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_1}(x_1)>\varepsilon</math>. עבור <math>n_0=n_1+1</math> קיימים <math>n_2>n_0</math> ו-<math>x_2\in[a,b]</math> כך ש-<math>g_{n_2}(x_2)>\varepsilon</math> וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה <math>\{g_{n_k}\}</math> של <math>\{g_n\}</math> וסדרה <math>\{x_k\}</math> ב-<math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon</math>. <math>\{x_k\}</math> נמצאת ב-<math>[a,b]</math> ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה <math>\{x_{k_l}\}</math> מתכנסת, נאמר ל-<math>x_0\in[a,b]</math>. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים <math>\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math> ומכיוון ש-<math>\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0</math> קיים <math>l_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>l>l_0</math> יתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2</math>. <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> פונקציה רציפה שקטנה מ-<math>\frac\varepsilon2</math> ב-<math>x_0</math> ולכן יש סביבה S של <math>x_0</math> שבה <math>g_{n_{k_{l_0+1}}}</math> קטנה מ-<math>\varepsilon</math>. ה-<math>g_n</math> יורדות ולכן לכל <math>l>l_0</math> ולכל <math>x\in S</math> מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon</math>, אבל לפי הבנייה <math>x_{k_l}\to x_0</math> ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon</math>, בסתירה לכך שלכל l מתקיים <math>g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon</math>. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה. |
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}} | במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן <math>g_n=-f_n</math> ולכן <math>\{g_n\}</math> יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן <math>g_n\to -f</math> במ"ש. מכאן ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. {{משל}} | ||
− | + | =השתנות חסומה= | |
− | פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי | + | אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי (הגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה). |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
שורה 46: | שורה 42: | ||
* על <math>[1,\infty)</math> ההשתנות של <math>\frac1x</math> היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0. | * על <math>[1,\infty)</math> ההשתנות של <math>\frac1x</math> היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0. | ||
* לפונקציה <math>\sin\left(\frac1x\right)</math> ב-<math>(0,1)</math> יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין <math>\pm1</math> אינסוף פעמים. | * לפונקציה <math>\sin\left(\frac1x\right)</math> ב-<math>(0,1)</math> יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין <math>\pm1</math> אינסוף פעמים. | ||
− | * [[קובץ:X sin(1 over x).png|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>x\sin\left(\frac1x\right)</math></div>באדום: <math>y=\pm x</math>]]נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר <math>x\to0^+</math> גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל <math>n\in\mathbb N</math> | + | * [[קובץ:X sin(1 over x).png|ימין|300px|ממוזער|<div style="text-align:center;"><math>x\sin\left(\frac1x\right)</math></div>באדום: <math>y=\pm x</math>]]נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math> בקטע <math>(0,1)</math>. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר <math>x\to0^+</math> גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל <math>n\in\mathbb N</math> יש לפונקציה נקודת קיצון ב-<math>\frac1{\pi n+\pi/2}</math>, וב-<math>\left[\tfrac1{\pi(n+1)+\pi/2},\tfrac1{\pi n+\pi/2}\right]</math> היא עולה או יורדת מהקו <math>y=\pm x</math> ל-<math>y=\mp x</math>, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא <math>\frac1{\pi(n+1)+\pi/2}+\frac1{\pi n+\pi/2}</math>, שגדול מ-<math>\frac2{\pi(n+1)+\pi/2}</math>. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-<math>(0,1)</math> גדולה מ-<math>\sum_{n=1}^\infty \frac2{\pi(n+1)+\pi/2}=\infty</math>, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-<math>(0,1)</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־20:56, 29 ביולי 2012
את דוגמה 4 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־31.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
תזכורת: בהרצאה הקודמת הוכחנו ש- לכל
והערנו שאם ניתן להציב
נקבל את המשוואה היפה
. כמו כן אמרנו ש-
עבור
ושאם מותר להציב
אזי
.
משפט 5 (משפט אבל)
נניח ש- בקטע
ו-
מתכנס ל-
, אזי
קיים ושווה ל-S.
הוכחה
נעזר בסכימה בחלקים: נסמן ולכן
כאשר
. לפי הנתון
, ולכן אם
אז
ועבור
מתקיים
. כמו כן,
(כי
). לכן
ומכאן שעבור
מתקיים
. נרצה להוכיח ש-
: יהי
נתון ומכיוון ש-
קיים
כך שלכל
יתקיים
. נסמן
וכן
, לכן
. עתה
. לגבי
נגדיר
ולכן
. עתה
ולכן
, לכן
. לסיכום הוכחנו שאם
אזי
ולכן
.
מסקנה
לגבי טור חזקות כללי בעל רדיוס התכנסות R:
- אם
מתכנס ל-S אזי
קיים ושווה ל-S.
- אם
מתכנס ל-T אזי
קיים ושווה ל-T.
הוכחה
- נציב
ולכן
עבור
, כלומר עבור
. נגדיר
ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים
, לכן
.
- נציב
ונוכיח כמו בסעיף 1.
משפט 6 (משפט דיני)
נניח שלכל n רציפה ב-
ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל
הסדרה
עולה או לכל
הסדרה
יורדת. כמו כן ידוע כי
ו-f רציפה ב-
, אזי ההתכנסות במ"ש.
הסבר
לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:
- אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע
ואת סדרת הפונקציות
. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה
, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
- בקטע סגור
נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא
שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל
רציפה ב-
והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר
ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.
הוכחה
במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-
. נסמן
(ולכן
חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות
אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים
כל שלכל
קיימים
ו-
עבורם
. בפרט, עבור
קיימים
ו-
כך ש-
. עבור
קיימים
ו-
כך ש-
וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה
של
וסדרה
ב-
כך ש-
.
נמצאת ב-
ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה
מתכנסת, נאמר ל-
. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים
ומכיוון ש-
קיים
כך שלכל
יתקיים
.
פונקציה רציפה שקטנה מ-
ב-
ולכן יש סביבה S של
שבה
קטנה מ-
. ה-
יורדות ולכן לכל
ולכל
מתקיים
, אבל לפי הבנייה
ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים
, בסתירה לכך שלכל l מתקיים
. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן ולכן
יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן
במ"ש. מכאן ש-
במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני.
השתנות חסומה
אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי (הגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה).
דוגמאות
- ההשתנות הכללית של
בקטע
היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
- על
ההשתנות של
היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
- לפונקציה
ב-
יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין
אינסוף פעמים.
- נגדיר
בקטע
. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר
גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל
יש לפונקציה נקודת קיצון ב-
, וב-
היא עולה או יורדת מהקו
ל-
, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא
, שגדול מ-
. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-
גדולה מ-
, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-
.