הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3"
מתוך Math-Wiki
(←שאלה 1) |
(←שאלה 2) |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 8: | שורה 8: | ||
אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | ||
+ | |||
+ | '''רמז''': לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> יש סדרת נקודות <math>\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty</math> ב-<math>E</math> המתכנסת אליה. | ||
== שאלה 3 == | == שאלה 3 == | ||
− | יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. | + | יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה, ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. |
('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). | ('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). |
גרסה אחרונה מ־13:40, 18 בנובמבר 2012
שאלה 1
יהי מרחב מדיד, ותהי
. הוכיחו:
מדידה
פונקציית האינדיקטור
היא מדידה.
שאלה 2
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים יתקיים לכל
. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:
אםתת קבוצה צפופה של
, ולכל
אחד מהתנאים
מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
רמז: לכל יש סדרת נקודות
ב-
המתכנסת אליה.
שאלה 3
יהיו מ"מ,
מדידה, ו-
רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות,
היא פונקציה מדידה.
(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות מהתרגול הן מדידות).
שאלה 4
תהי מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):
א.
ב.
שאלה 5
יהי מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם
מדידה ומקיימת
לכל
, אזי הפונקציה
גם היא מדידה.
בהצלחה!