הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעג/פתרון מועד א - גרסת שנפס"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←סעיף ב) |
||
שורה 231: | שורה 231: | ||
לכן הגבול הוא <math>0</math>. | לכן הגבול הוא <math>0</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==שאלה 4== | ||
+ | |||
+ | ===סעיף א=== | ||
+ | ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש <math>a_n</math> היא סדרה מונוטונית יורדת. | ||
+ | |||
+ | את הטענה ניתן להפריך. | ||
+ | |||
+ | נבחר | ||
+ | |||
+ | <math>a_n=(-1)^{n+1}\frac{1}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | אזי בוודאי מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0</math> | ||
+ | |||
+ | אבל | ||
+ | |||
+ | <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{2n+2}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}</math> | ||
+ | |||
+ | שהוא טור מתבדר. | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב=== |
גרסה מ־20:23, 29 בינואר 2013
תוכן עניינים
שאלה 1
סעיף ב
ידוע כי
נניח ש
נסמן
כלומר
טענת עזר: קיים כך שאם
אז
(במילים אחרות: יש רק מספר סופי של איברים ב שיותר קטנים מ
)
הוכחה: נניח בשלילה שזה לא נכון, כלומר קיימים אינסוף איברים מ שעבורם
אז קיימת תת סדרה כך ש
לכל
נשים לב ש היא חסומה מלרע ולכן
חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
לכן ל יש תת סדרה מתכנסת
כך ש
וזאת בסתירה לכך ש
זה מוכיח את טענת העזר.
כעת, אנחנו יודעים שהחל מ כלשהוא מתקיים
אבל בגלל ש זה אומר שהחל מאותו
מתקיים
בגלל שהטור
מתבדר
נובע ממבחן ההשוואה לטורים חיוביים שגם הטור מתבדר.
שאלה 2
סעיף א
טענת עזר: אם קבוצות חסומות מלעיל אז
הוכחה: נוכיח שהמספר מקיים את התכונות של
- תכונה א': חסם מלעיל של
. הוכחה:
אם אז ניתן לכתוב
כאשר
.
היות ו ו
מתקיים
- תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:
יהי איזשהוא חסם מלעיל של
נניח בשלילה ש
אז נקבל ש
ולכן קיים כך ש
מכאן נקבל
ולכן קיים כך ש
ולכן
בסתירה לכך ש חסם מלעיל של
לכן בהכרח מתקיים
לסיכום: הוכחנו שהמספר מקיים את שתי התכונות של חסם עליון
ולכן . מש"ל טענת עזר.
עכשיו קל להוכיח את הדרוש:
מש"ל.
סעיף ב
הפרכה פשוטה, ניקח ו
מתקיים שלכל
(ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל
).
אבל
שתי הערות:
א) כמעט לכל פירושו: לכל
פרט למספר סופי של מקרים.
אן לחילופין: קיים כך שהטענה מתקיימת לכל
.
ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה
אם ו
אז
.
שאלה 3
סעיף א
נשים לב שבסכום זה יש מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב
אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.
במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.
נגדיר:
בגלל ש (כאשר
)
ברור ש
ולכן
בצורה דומה נגדיר
ויתקיים
ו
לכן לפי כלל הסנדויץ
סעיף ב
כאשר
ו
.
נשים לב ש
ולכן
- טענה: לכל
מתקיים
הוכחה: באינדוקציה, ידוע כבר כי אבל אם
בהכרח יתקיים
כי
ו
.
- טענה: עבור
מתקיים
.
כלומר הסדרה יורדת אם .
הוכחה: אם אז
ולכן
(נשים לב שכאן משתמשים בכך ש
)
קיבלנו שהחל מ כלשהוא, הסדרה היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע.
בגלל שמספר סופי של איברים לא משנה את גבול הסדרה, נקבל ש מתכנסת (כי החל מנקודה מסוימת היא מונוטונית יורדת וחסומה מלרע).
נותר רק למצוא את גבולה.
נניח ש
וברור ש
ולכן מתקיים
לכן הגבול הוא .
שאלה 4
סעיף א
ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש היא סדרה מונוטונית יורדת.
את הטענה ניתן להפריך.
נבחר
אזי בוודאי מתקיים
אבל
שהוא טור מתבדר.