שיחה:88-133 תשעג סמסטר ב: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(82 גרסאות ביניים של 4 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1,391: שורה 1,391:
:לגבי 2, זה כפתור בשורה של הכפתורים שמבליטים את הטקסט או עושים אותו נטוי וכאלה. זה הסימן <math>\sqrt n</math>. יהיה לך כתוב < math > formula </ math> ואיפה שכתוב formula אתה מכניס את הדבר המתמטי בשפת Latex. הנה אתר שיעזור לך לכתוב מתמטיקה בשפה הזאת. [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php אתר שעוזר להמיר Latex למתמטיקה וההפך]. אתה תתרגל מאוד מהר לכתוב בשפה הזאת.
:לגבי 2, זה כפתור בשורה של הכפתורים שמבליטים את הטקסט או עושים אותו נטוי וכאלה. זה הסימן <math>\sqrt n</math>. יהיה לך כתוב < math > formula </ math> ואיפה שכתוב formula אתה מכניס את הדבר המתמטי בשפת Latex. הנה אתר שיעזור לך לכתוב מתמטיקה בשפה הזאת. [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php אתר שעוזר להמיר Latex למתמטיקה וההפך]. אתה תתרגל מאוד מהר לכתוב בשפה הזאת.
:בהצלחה!
:בהצלחה!
למה האינטגרל שרשמת מתבדר בין 0 ל-1??? זה איזשהו משפט? אם כן, מה המשפט בדיוק?
ומה בדיוק הבעיה בזה שהוא מתבדר??
עדיין לא הבנתי. תוכל להסביר קצת ביותר פירוט?
:'''משפט:''' יהי <math>b \in \mathbb{R}</math> אזי <math>\int_0^b \frac1{x^\alpha} dx</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha < 1</math>. במקרה הזה, יש לנו את <math>\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx</math> זאת אומרת <math>\alpha=2</math> והרי זה גדול מ-1 ולכן האינטגרל בתחום מתבדר.
:כמו כן, <math>\int_0^\infty \frac{1}{x^2}dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx +\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx</math> וידוע שאם יש אינטגרל שהוא סכום של אינטגרלים אחרים ואחד מהם מתבדר, כל האינטגרל מתבדר.
:לכן, לא הייתי משווה גבולית עם <math>\frac{1}{x^2}</math> בכל התחום <math>[0,\infty]</math> כיוון שהאינטגרל שלו מתבדר. מצד שני, האינטגרל שלו מתכנס בין 1 לאינסוף ולכן ע"י השוואה גבולית אפשר לראות שהאינטגרל המקורי מתכנס בין 1 לאינסוף. האינטגרל המקורי בין 0 ל-1 זה של פונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה ואינטגרבילית ולכן לא אכפת לנו מה קורה שם וצריך לבדוק רק בין 1 לאינסוף, אבל עפ"י מבחן ההשוואה הגבולי, אפשר לראות שהאינטגרל מתכנס. --[[משתמש:Ofekgillon10|Ofekgillon10]] 13:28, 13 ביולי 2013 (IDT)


== שאלה מאד בסיסית ==
== שאלה מאד בסיסית ==
שורה 1,398: שורה 1,408:


על פי ההגדרה של אינטגרל לא אמיתי...
על פי ההגדרה של אינטגרל לא אמיתי...
:או שאתה יכול פשוט להגיד שזה סך הכל הזזה של <math>\int_0^1 \frac1x dx</math> ולכן מתבדר
== אינטגרלים מוכללים ==
אני רוצה לבדוק לאילו ערכי אלפא ובטא מתכנס האינטגרל <math>\int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx</math>
נתון: <math>\beta > 0</math>
<math> \infty </math> זו כרגיל "נקודה" בעייתית.
הסיבה שגם 0 היא נקודה בעייתית נובעת מכך ש:
עבור <math>\alpha <0</math> מתקיים: <math>\lim_{x->0}x^\alpha = \infty </math>
ולכן הפונקציה לא חסומה כאשר <math>x\rightarrow 0</math> ?
זו הסיבה ש-0 נקודה בעייתית?
שאלה נוספת: כל זה נכון בתנאי ש- <math> \alpha <0</math> , אבל הרי אנחנו לא יודעים אם הוא גדול מאפס או לא.
אז מה בסוף ההסבר לכך ש-0 נקודה בעייתית?
אוקיי. כעת, נניח שבאמת יש 2 נקודות בעייתיות. אני ממשיך את הפתרון באופן הבא: נפריד לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אינטגרל יש נקודה בעייתית אחת:
נקבל:
<math>\int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx=\int_{0}^{1}x^\alpha/ (2+x^\beta )dx+\int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx </math>
אני רוצה עכשיו לבדוק התכנסות של האינטגרל:
<math>\int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx</math>
ה"נקודה" הבעייתית היא אינסוף.
עכשיו יש לי 2 שאלות:
1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה <math>1/x^\alpha </math> ?
2. למה בדיוק שווה <math>\alpha </math> ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא?
תודה מראש!!!
:אנסה לתת לך דוגמה להתחלה ואתה תנסה להבין את ההמשך.
: נסתכל שנייה רק על <math>\int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta} dx</math> פה "הנקודה" הבעייתית היא רק באינסוף (אתה תבדוק אח"כ מה קורה בסביבת 0 בנפרד). המטרה שלנו היא להגיע להשוות גבולית ככה שיצא לנו שהאינטגרל המקורי "חבר" של אינטגרל מהצורה <math>\frac1{x^\gamma}</math> (בכוונה השתמשתי בגמא כדי שלא תתבלבל עם האלפא והבטא שכבר קיימים). לדוגמה, פה נבדוק מה קורה עם <math>\gamma=\beta-\alpha</math>. נסתכל על <math>\lim_{x\to\infty} \frac{(\frac{x^\alpha}{2+x^\beta})}{(\frac1{x^{\beta-\alpha}})}</math>. אם <math>\beta>0</math> אז הגבול הוא 1. 1 זה מספר סופי ששונה מ-0 ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי האינטגרלים האלה חברים. זאת אומרת, <math>\int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\int_1^\infty \frac1{x^{\beta-\alpha}}dx</math> מתכנס. עפ"י משפט, זה קורה כאשר <math>\beta-\alpha>1</math>. תזכור שכל זה היה בהנחה ש- <math>\beta>0</math>. עכשיו תבדוק את שאר המצבים, ואז גם מה קורה בסביבת 0.--[[משתמש:Ofekgillon10|Ofekgillon10]] 15:15, 13 ביולי 2013 (IDT)
אוקיי..אז ככה, בעקרון ענית על השאלה באופן כללי ותודה על כך...אבל שים לב שלא ענית בכלל על השאלות ששאלתי. אחזור עליהן שוב:
1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה <math>1/x^\alpha </math> ? למה דווקא זו הפונקציה שבוחרים להשוות אליה? למה זו ולא שום פונקציה אחרת?
2. למה בדיוק שווה <math>\alpha </math> ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא? הבנתי שבחרת את אלפא להיות beta-alfa , אבל למה? איך הגעת לזה? מה האינטואיציה? מה גרם לך לבחור כך את אלפא?
:לגבי שאלה 1, התשובה היא שפשוט אנחנו יודעים איך האינטגרל של הפונקציה הזאת מתנהגת באינסוף ובסביבת 0 ולכן נרצה להשוות עם משהו מהצורה הזאת.
:לגבי שאלה 2, אני לא יודע מה אלפא. כל הקטע זה לגלות לאילו ערכי אלפא זה מתכנס / מתבדר. אז אני מנסה למצוא פונקציה עם אינטגרל "חבר" ואז באינסוף האינטגרל מתכנס אם ורק אם <math>\gamma>1</math> ובסביבת 0 מתכנס אם ורק אם <math>\gamma<1</math>. ככה יוצא לך תחומים שלמים שאלפא ובטא יכולים להיות בהם כל עוד מקיימים מספר של תנאים
== אינט' מוכלל ==
אני רוצה לבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הבא:
<math>\int_{0}^{1}x^\alpha /((cos(x)-1)\sqrt{1-x^4})</math>
יש כאן 2 נקודות בעיתיות. 1,0.
שאלה ראשונה:
במבחן ההשוואה אפשר להשתמש רק עבור פונקציות חיוביות. כאן יש במכנה (cosx-1). לכן הפונקציה שלילית.
השאלה שלי היא '''למה מותר''' לכפול את המכנה ב-1- ולקבל את הפונקציה:
<math>f(x)= x^\alpha /((1-cos(x))/\sqrt{1-x^4}) </math>
'''ואז לעבוד עם הפונקציה הזו? למה זה מותר? הרי אם אני כופל את המכנה ב-1-, שיניתי את הפונקציה'''.
במידה וזה מותר, מה שאני עושה עכשיו, זה מפצל את האינטגרל, לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אחד מהם נקודה בעייתית אחת, באופן הבא:
<math>\int_{0}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})=\int_{0}^{0.5}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})+\int_{0.5}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})  </math>
כעת צריך לבדוק התכנסות/התבדרות של כל אינטגרל בנפרד: נתחיל באינטגרל שבין 0.5 ל-1.
הנקודה הבעייתית היא 1.
שאלה שנייה:
'''מה הסיבה שמשווים לאינטגרל מהצורה :  <math>\int_{a}^{b}dx/(b-x)^\alpha </math> ?'''
שאלה שלישית:
'''מה יהיה במקום a,b,alfa? איך אני יודע מה יופיע במקומם? אני די בטוח שיש כאן איזשהי עבודה בטיוטה (שאינה מופיעה בהוכחה הפורמלית) שמסתמכת על אינטואיציה כלשהי. מישהו מוכן לגלות לי מה האינטואיציה? ואם אפשר לקבל הסבר מפורט על השלב הזה? כי זה שלב שאני לא ממש מבין לאן אני צריך לחתור ומה אני אמור לעשות?'''
שאלה רביעית:
אין אינטגרל אחר שאפשר להשוות אליו? למה דווקא לאינטגרל הזה?
שאלה חמישית:
'''לגבי האינטגרל בין 0 ל-0.5''':
0 היא הנקודה הבעייתית.
'''לאן אני ממשיך מפה???? מה אני צריך לעשות???''' גם כאן, אם אפשר הסבר מפורט, זה יעזור המון.
תודה מראש.
:תשובה ל-1: <math>\int_a^b f(x)dx = -\int_a^b -f(x) dx</math> ולכן אם אחד מתכנס בטוח גם השני. כפל במינוס לא משנה את התכנסות האינטגרל.
:תשובה ל-2: זה פונקציה שהאינטגרל שלה ידוע בדיוק מתי מתכנס ומתי מתבדר לפי המעריך של החזקה. בסביבת אינסוף האינטגרל יתכנס אם ורק אם המעריך גדול מ-1. אם אנחנו מדברים על סביבת אסימפטוטה אנכית, זה יתכנס אם ורק אם המעריך קטן מ-1.
:תשובה ל-3: האלפא יהיה אלפא ככה שתוכל להגיע לגבול יפה שאתה יודע לחשב. נגיד בשאלה הקודמת בחרתי <math>\beta-\alpha</math> כי ידעתי שהחילוק בפונקציה יעשה לנו <math>\frac{x^\beta}{2+x^\beta}</math> שהגבול באינסוף הוא ידוע וזה 1. ה- a,b יהיו גבולות האינטגרל הרגיל שאתה מנסה לחשב.
:תשובה ל-4: תאורטית, כל פונקציה תעבוד. הבעיה היא שזה אחד הדברים היחידים (לא עולים לי עוד כרגע אבל אולי יש עוד כמה מעטים) שאתה יודע בדיוק את ההתנהגות של זה.
== מה לא בסדר בהוכחה הזו? ==
אני רוצה לדעת האם
<math>\int_{1}^{\infty }e^{-ln^2x}dx </math>
מתכנס.
'''שאלה 1:''' האם אני צריך להסביר מדוע 1 אינה נקודה בעייתית? אם כן, למה צריך בכלל להסביר את זה? אם לא, למה לא?
ניסיתי להוכיח כך:
<math>e^(-ln^2x)=1/e^(ln^2x)<1/e^(lnx)=1/x</math>
היות והפונקציות חיוביות והיות ו
<math>\int_{1}^{\infty }dx/x</math> מתבדר
הרי שלפי מבחן ההשוואה, גם <math>\int_{1}^{\infty }e^(-ln^2x)</math>
מתבדר.
'''שאלה 2:'''
מה לא נכון כאן???
:תשובה ל-1: לא בעיה לבדוק ש- 1 לא נקודה בעייתית. הפונקציה פשוט לא רציפה שם.
:תשובה ל-2: מבחן ההשוואה פועל בדרך הזאת: אינטגרל של פונקציה ה'''גדולה''' מפונקציה שהאינטגרל שלה '''מתבדר''', מתבדר.
:אינטגרל של פונקציה ה'''קטנה''' מפונקציה שהאינטגרל שלה '''מתכנס''', מתכנס. אתה פה אמרת שאינטגרל של פונקציה שקטנה מפונקציה שהאינטגרל שלה מתבדר, מתבדר. משפט שהוא ממש לא נכון.
::הערה: כדי לשפר את הכתיב שלך ולדאוג שלא יקרה לך כל מיני מצבים שבהם המעריך גולש למטה וכאלה, עיין בזה: [[מדיה:UsefulLatexCommands.pdf | פקודות שימושיות ב- LaTeX]]
== מתכנס או מתבדר? ==
<math>\int_{1}^{\infty }cos^2(x)dx/x</math>
cos^2(x)<=1 וחיובי.
לכן מתקיים: <math>cos^2(x)/x < 1/x </math>  *
כמו כן, <math> \int_{1}^{\infty}dx/x </math> מתכנס <==> alpha>1.
לכן האינטגרל של הביטוי מצד ימין של אי שיוויון * מתבדר.
ו...? לא טוב..אי אפשר להסיק מזה כלום על האינטגרל בשאלה...
בקיצור, מה עושים?
:צודק. אכן לא אומר לנו כלום. אני מציע את הדבר הבא: <math>cos(2x)=2cos^2(x)-1</math> ולכן<math>cos^2(x)=\frac{cos(2x)+1}2</math> ולכן <math>\int_1^\infty \frac{cos^2(x)}{x}dx=\int_1^\infty \frac{cos(2x)+1}{2x}=\int_1^\infty \frac{cos(2x)}{2x}dx+\int_1^\infty \frac1{2x} dx</math>
:האינטגרל הכי ימני מתבדר ולכן כל סכום האינטגרל מתבדר.
== בדיקת התכנסות של האינטגרל הבא: ==
<math>  \int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}</math>
יש 2 נקודות בעייתיות: אפס ואינסוף. אפס בעייתית כי:
<math>\lim_{x->0}((x+1)sinx)/x\sqrt{x}=\lim_{x->0}(x+1)/\sqrt{x}=1/0=\infty </math>  , המעבר הראשון נובע מכך ש-
<math>\lim_{x->0}sinx/x=1</math>
בגלל שיש 2 נקודות בעייתיות, נפצל לשניי חלקים:
<math>\int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}=\int_{0}^{1}(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}+\int_{1}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}</math>
נטפל באינטגרל השמאלי:
נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב- <math> f(x)</math>.
בסביבת 0, (f(x  מתנהגת כמו <math>g(x)=1/x^{0.5}</math>  .
'''שאלה 1:''' האם האינטואיציה שלי בבחירת  (g(x  נכונה?
הגעתי לכך ש-<math>g(x)=1/x^{0.5}</math> באופן הבא:
הסתכלתי על f, ובסביבת אפס sinx/x-->1 
כמו כן, בסביבת אפס  x+1)-->1)
לכן f מתנהגת בסביבת אפס כמו <math>1/\sqrt{x}</math>.
לכן  <math>g(x)=1/x^{0.5}</math>.
כעת אני משתמש במבחן ההשוואה גבולי: (חישבתי גבול בסביבת הנקודה הבעייתית - 0.
<math>  \lim_{x->0}f(x)/g(x)=\lim_{x->0}((x+1)sinx)/x =1 </math>
קיבלנו גבול סופי ושונה מאפס.
<math>\int_{0}^{1}g(x)dx</math> מתכנס (1/2<1) ולכן גם <math>\int_{0}^{1}f(x)dx</math> מתכנס לפי מבחן ההשוואה.
'''שאלה 2''': האמת ש-sinx לא פונקציה חיובית בכלל...אני יכול בכלל להשתמש כאן במבחן ההשוואה? מה שעשיתי נכון?
'''עכשיו אמשיך לאינטגרל השני (בין 1 לאינסוף):'''
שוב, נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב-f(x) (למעשה זו אותה פונקציה כמו קודם).
נרשום אותה כך:  <math>f(x)=g(x)h(x)</math>
כאשר: <math>g(x)=(x+1)/x\sqrt{x} </math>  ו-  <math>h(x)=sinx  </math>
הפונקציה הקדומה של h(x) חסומה.
הסבר:
<math>\int_{1}^{t} h(x)= \int_{1}^{t}sinx=-cos(t)-cos1\leq 2</math>
לגבי  <math> g(x)=(x+1)/x\sqrt{x}</math> . היא שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, '''שאלה 3: והיא יורדת (לגבי יורדת אני לא בטוח. איך אני מראה את זה?)'''
אם מה שאמרתי נכון, אז לפי מבחן דיריכלה, האינטגרל השני מתכנס.
לכן האינטגרל כולו מתכנס, כסכום של שניי אינטגרלים מתכנסים.
'''שאלה 4''': האם ההוכחה הזו טובה?
'''שאלה 5''': בשאלה שאלו האם האינטגרל מתבדר/מתכנס בהחלט/מתכנס בתנאי. אחרי שהראיתי שהאינטגרל מתכנס (במידה ומה שעשיתי נכון בכלל..) איך אני בודק האם הוא מתכנס בהחלט או מתכנס בתנאי?
'''מישהו??????????????????????????????????? זו שאלה ממבחן...מישהו יודע לענות על השאלות ששאלתי?????????'''
*
1)כן.
2)כן כי בסביבה ימנית של 0 היא חיובית.
3)אתה יכול להראות שהנגזרת שלילית. למרות שזה די ברור שהיא יורדת אז מן הסתם מספיק להגיד בלי להוכיח.
4)כן.
5)בעצם נשאר לך לבדוק אם האינטגרל עם ערך מוחלט מתכנס. וזאת באמת שאלה אחרת לגמרי.
היה לכם דבר כזה בשיעורי בית. אתה יכול להשתמש בזה ש <math>\sin ^2(x) \leq |\sin x|</math>.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:30, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה מתוך מבחן מועד א' 2012 ==
<math>\int_{0}^{\infty }dx/e^x-1=\int_{0}^{1}dx/e^x-1+\int_{1}^{\infty }dx/e^x-1</math>
הפרדתי לשניי אינטגרלים כי יש 2 נקודות בעייתיות.
על מנת לבדוק התכנסות של האינטגרל בין 0 ל-1 אני רוצה להשוות אותו לאינטגרל מהצורה: <math>\int_{0}^{a}dx/x^\alpha </math>
במקרה שלנו, a=1, לכן אנחנו משווים לאינטגרל מהצורה: <math>\int_{0}^{1}dx/x^\alpha </math>
אבל אני לא יודע מה המעריך...אני רוצה לבחור את <math>\alpha </math> באופן כזה, שהפונקציה <math> 1/x^\alpha </math>, תתנהג כמו
הפונקציה <math>  1/(e^{x}-1)</math>, וכך אני אוכל להשתמש במבחן ההשוואה. אבל איך עושים את הבחירה הזו? איך אני בוחר את אלפא בצורה כזו ששתיי הפונקציות הללו יתנהגו בצורה דומה???
*אתה לא חייב ששתי הפונקציות תתנהגנה בצורה דומה. מספיק לך למצוא פונקציה מתכנסת שהיא יותר גדולה מהפונקציה שיש כאן.
בגלל ש <math>e^x</math> עולה מאוד מהר. מן הסתם השוואה עם  <math>\frac{1}{x^2}</math> תעבוד לך באינסוף. בסביבת <math>0</math> אין לי אינטואיציה טובה לתת לך. אתה יכול לנסות ולראות מה עובד (אני חושב ש <math>\frac{1}{x}</math> עובד)--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:46, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה כללית ==
נניח שיש לי אינטגרל של פונקציה כלשהי (f(x
וגבולות האינטגרל הם a ו- b, אבל הפונקציה חסומה בסביבה של הגבולות הללו.
האם אני יכול להסיק מכך שמדובר באינטגרל מתכנס?
ושאלה נוספת:
נניח יש לי אינטגרל של פונקציה g(x) בין a ל-b כלשהם.
אני בודק האם לפונקציה יש גבול בסביבת הנקודה a ובסביבת הנקודה b.
נניח בדקתי, ויצא שיש גבול סופי.
למה זה אומר שהפונקציה g חסומה בסביבת הנקודות a ו-b?
כיצד מתקיימת כאן ההגדרה של חסימות? אני בעצם טוען ש'''קיום גבול''' בסביבת נקודה מסויימת גורר '''חסימות''' של הפונקציה בסביבת הנקודה הזו.
למה הגרירה הזו נכונה?
:לגבי השאלה הראשונה, ממש לא. ניקח פונקציה f שמוגדרת בקטע [1,1-] כך שבין 0 ל-1 (לא כולל 0) היא <math>\frac1x</math> ובין 1- ל-0 (כולל 0) היא זהותית 0.
'''אוקיי..אשנה קצת את השאלה...אותה שאלה בדיוק+הדרישה ש-f תיהיה רציפה'''
:לגבי השאלה האחרונה, זה אינפי 1. קיים גבול L ולכן לכל מרחק שתתן לי, בפרט 1 (סתם בחרתי מספר), קיימת סביבה של a כך שכל x בה יקיים ש- <math>f(x)</math> יהיה רחוק מ-L עד כדי 1. ולכן מתקיים שקיימת סביבה שלכל x בה <math>|f(x)-L|<1 \Rightarrow L-1<f(x)<L+1</math>. והנה מצאת סביבה שבה הפונקציה חסומה.
== שאלה ממבחן.  ==
הוכח הפרך:
א. <math> \int_{0}^{\infty }f(x)dx</math> מתבדר ==>  <math>  \int_{0}^{\infty }f(x^{2})dx</math> מתבדר.
ב. <math>\int_{0}^{\infty }f(x)</math> מתבדר ==> <math>\int_{0}^{\infty }f^{2}(x)</math> מתבדר.
אם אפשר גם הסברים...באיזה כיוון בכלל צריך לחשוב כאן...אינטואיטיבית..מה הולך פה..אמורים לעשות את זה עם מבחני השוואה בכלל? הכל פה כללי...אין פונקציות ספציפיות..
תודה לעוזרים.
'''מישהו יודע איך עושים את השאלה הזו????????????????????????????????????????????????????????????'''
* מספיק להסתכל על התנהגות של <math>\frac{1}{x^\alpha}</math> כדי למצוא תשובה.
אנחנו יודעים ש <math>\frac{1}{x}</math> מתבדר כשהאינטגרל הוא מ <math>1</math> עד אינסוף ו <math>\frac{1}{x^2}</math> מתכנס בתחום הזה.
אמנם <math>f(x)=\frac{1}{x}</math> הוא לא הפרכה טובה לשאלה כי <math>\frac{1}{x^2}</math> גם הוא מתבדר בתחום <math>0</math> עד <math>\infty</math>.
אבל אם עושים תיקון קטן. למשל לוקחים <math>f(x)=\frac{1}{x+1}</math> אז הוא הפרכה טובה לשתי הטענות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:49, 16 ביולי 2013 (IDT)
== התנהגות של פונקציות בסביבת אפס ==
למה x^2 מתנהג כמו 1 פחות cosx בסביבת אפס?
למה sinx מתנהג כמו x בסביבת אפס????
איך מוכיחים את הדברים האלה?
1. הוא לא. <math>x^2</math> "מתנהג" כמו <math>2(1-cos(x))</math>.
2. בעקרון ההוכחה היא גאומטרית, אבל אתה יכול לשקר לעצמך ולהשתמש בכלל לופיטל.
== התכנסות במידה שווה - שאלת הבנה ==
נניח אני מסתכל על '''סדרת הפונקציות''' <math>fn(x)=x^{n}</math> בקטע  <math>\left [ 0,a \right ]</math> כאשר '''a<1'''
ובפעם השנייה, אני מסתכל על אותה סדרת פונקציות בדיוק, רק בקטע  <math> \left [ 0,1 \right ]</math>
במקרה השני, אם אני ממש מסתכל כיצד נראית סדרת הפונקציות הזו על ציר מספרים (ברביע הראשון), אני יכול לראות, שבהינתן מרחק אפסילון כלשהו
על ציר ה-Y, מתקיים שעבור x1 כלשהו שאבחר בקטע בין 0 ל-1, קיים N1 שהחל ממנו מתקיים <math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math>.
שאלה 1: עבור כל x בקטע שקטן מ-x1, ניתן לבחור את '''[[אותו N1]]''' שמתאים ל-x1, כך שיתקיים:
<math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math> ?
לעומת זאת, אם אבחר '''באותו קטע''' נקודה x2 המקיימת '''x2>x1''', אז '''[[בהכרח]] קיים N2>N1''' שהחל ממנו מתקיים
<math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math>. כלומר, נצטרך "ללכת" רחוק יותר בסדרה, על מנת להבטיח מרחק קטן מאפסילון.
כלומר, ניתן לראות שעבור x-ים שונים בקטע, מתקיים שלכל x קיים N '''אחר''' שהחל ממנו מתקיים:
c. לכן  '''אין כאן התכנסות במידה שווה כי ל-x-ים שונים, בהכרח קיימים N-ים שונים'''
שאלה 2:  האם מה שאמרתי עד עכשיו נכון?
כעת, אני מסתכל על המקרה הראשון, שכאמור מדבר על אותה סדרת פונקציות, רק שהפעם בקטע <math>\left [ 0,a \right ]</math>, כאשר '''a<1'''
אני טוען ש'''[[כל מה שאמרתי עד עכשיו]]''' , תקף גם כאן.
ולכן גם במקרה זה, אין התכנסות במידה שווה.
מה בדיוק הטעות שלי?
תודה רבה לעוזרים
שאלה 2) כן. כל ההסבר נכון.
הטעות שלך היא בלוגיקה.
מה שאתה אומר פה זה כמו להגיד, לא הצלחתי להוכיח את הטענה ולכן היא לא נכונה.
אם אתה יודע שעבור כל <math>x</math> קיים <math>N</math> (אחר) כך שמתקיים <math>\mid fn(x)-f(x)\mid <\varepsilon </math> לכל <math>n>N</math>.
זה עדיין לא אומר שאין התכנסות במ"ש. רק שלא הצלחת להוכיח.
מקווה שזה ברור--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:58, 15 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה ==
יש משפט שאומר:  סדרת פונקציות רציפות fn(x) מתכנסת במידה שווה לפונקציה f  <== f רציפה
מהמשפט הזה נובעת המסקנה: אם סדרת הפונקציות fn(x) מתכנסת נקודתית לf(x) , ו-fn(x) סדרת פונקציות רציפות, אך f לא רציפה, אז ההתכנסות אינה במידה שווה.
השאלה שלי היא מדוע בכלל צריך לציין שיש התכנסות נקודתית? למה המסקנה שנובעת, היא לא אותה מסקנה בדיוק, רק בלי התנאי ש-fn סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לf(x).
עקרונית אתה צודק. אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות ו <math>f</math> פונקציה לא רציפה אתה יודע שהסדרה בטוח לא מתכנסת במ"ש ל <math>f</math>. אבל זה מעניין בעיקר אם אתה יודע שהסדרה כן מתכנסת נקודתית לפונקציה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 12:52, 15 ביולי 2013 (IDT)
תודה על התשובות
== אינטגרביליות היא תכונה חזקה מרציפות? ==
אפשר הסבר?
:אפשר הסבר למה התכוונת? "תכונה חזקה"?
תכונה שמתאמנת במכון כושר.
* לי נראה דווקא הפוך. היות וכל פונקציה רציפה על קטע כלשהוא היא אינטגרבילית עליו. זה אומר שרציפות חזקה מאינטגרביליות.
באופן כללי תכונה A חזקה מתכונה B אם כל מי שמקיים את A בהכרח מקיים את B.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:55, 16 ביולי 2013 (IDT)
== שאלה על פתרון של שאלה בעזרת שימוש במבחן וויירשטראס ==
השאלה היא בעקרון די פשוטה...
אני צריך להוכיח שהטור <math>\sum_{1}^{\infty }sinx/n^2</math> מתכנס במ"ש.
היות ומתקיים: <math>sinx/n^2<1/n^2</math>
והיות ו-<math>\sum_{1}^{\infty }1/n^2</math> מתכנס, הרי שהטור שלנו מתכנס במ"ש.
מה הולך פה בעצם? יש כאן טור מספרים, (אחד חלקי n^2) וטור פונקציות (הטור שעליו נשאלנו)
המשפט הזה מאפשר לנו להסיק שאם חסמתי טור פונקציות, ע"י טור מספרים מתכנס, אז הטור פונקציות גם מתכנס?
אם כן, אז זה אומר שמבחן ההשוואה הראשון של טורים מספריים (מאינפי1) עובד גם כאשר חוסמים טור פונקציות, ע"י טור מספרים?
* כן, אתה יכול לחשוב על זה ככה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:51, 16 ביולי 2013 (IDT)
== מישהו יכול לעשות לי סדר בנושא של סדרה/טור הנדסי? ==
איך הולכת שם הנוסחה בדיוק? אני שם לב שיש לה כל מיני ווריאציות או משהו כזה...
נניח יש לי את הטור הבא:
<math>  \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}</math>, הסכום שלו הוא <math> 1/(1-x)</math>?? אם כן, למה?
אם לעומת זאת יש לי את הטור:
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> הפעם אני מתחיל מ-n=1. מה סכום הטור?
אם יש את הטור הזה:
<math>\sum_{k=1}^{\infty  }x^{(k-1)}    </math>.
מה הסכום? ראיתי באחד מהמערכי תרגול שהסכום הוא: <math>(1-x^{n})/(1-x) </math>.
בקיצור, אני לא מבין מה הולך פה...'''איך עובדים עם הנוסחה הזו'''? '''מה הנוסחה בדיוק'''? '''למה כל פעם יוצא פה משהו אחר'''?
אם אפשר הסבר מפורט זה יהיה מעולה כי אני שם לב שאני לא יודע לעבוד עם זה.
תודה
http://bit.ly/1armrSS 
'''אני יודע לפנות לויקיפדיה שצריך...במקרה הזה זה פשוט לא עוזר לי. אני לא מבין איך זה עונה על השאלות שלי, וגם אני לא מבין איך עובדים עם סכום סדרה/טור הנדסי'''
* תראה, הנוסחה הכי כללית היא כשיש לך מנה <math>q</math> ואיבר ראשון <math>a_1</math> אז הסכום של <math>n</math> איברים הוא
<math>a_1\frac{1-q^n}{1-q}</math>
ולכן סכום הטור האינסופי (כאשר <math>|q|<1</math>) הוא
<math>a_1\frac{1}{1-q}</math>
בפרט כדאי לזכור ש
<math>  \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x}</math>
לעומת זאת בטור
<math> \sum_{n=1}^{\infty }x^{n}</math> האיבר הראשון הוא <math>x</math> ולא <math>1</math> ולכן הסכום הוא
<math>\frac{x}{1-x}</math>
יש עוד דרכים לחשוב על זה, אבל באמת מספיק לזכור את הנוסחה לסכום סדרה הנדסית.
--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 16:57, 17 ביולי 2013 (IDT)
== כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה. ==
1.
נתונים הטורים הבאים: טור א': <math> \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\frac{(1-x)^{n}}{(1+x)^{n}}</math>
                    טור ב': <math> \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{(n+x)}} </math>
אני צריך למצוא את התחום התכנסות של כל אחד מהם.
1. באופן כללי, (לא מדבר ספציפית על השאלה הזו) אם כתוב שצריך למצוא את התחום התכנסות של הטור, אני יכול להסיק מכך שמדובר בטור חזקות?
2.אם התשובה לשאלה 1 שלילית, אז יתכן שמדובר '''סתם בטור פונקציות כלשהו''', ואני צריך למצוא את תחום ההתכנסות שלו?
3. אם התשובה לשאלה 2 חיובית, איך אני מוצא תחום התכנסות של '''סתם טור פונקציות'''? המבחנים "קושי הדמר" ו"דלאמבר" לא יהיו רלוונטים במקרה כזה?
4. בקשר לטורים הספציפיים האלה (שמופיעים למעלה). אלה '''טורי חזקות'''? אם כן, '''למה'''? ממה שאני יודע, טור חזקות הוא טור שצורתו היא:
<math>  \sum_{n=1}^{\infty }anx^n</math> '''או''' <math>\sum_{n=1}^{\infty }an(x-alpha)^n</math>.
כאשר an סדרת המקדמים של הטור, ו'''אינה''' תלויה ב-x.
למה הטורים שבשאלה הם מאחת הצורות הללו? איך אני מביא אותם לאחת מהצורות הללו?
5. מי זה alpha בכל אחד מהטורים שבשאלה, ומי זה x בכל אחד מהטורים שבשאלה?
6. בכל אחד מהטורים שבשאלה, סביב איזו נקודה מפותח הטור?
7. אם שניי הטורים הללו אכן טורי חזקות, מציאת רדיוס התכנסות ניתנת ע"י מבחן קושי הדמר או מבחן דלאמבר, ומותר לי להפעיל אותם רק על
'''על סדרת המקדמים'''? כלומר אסור המבחנים הללו יפעלו על ביטוי שאינו תלוי ב-x?
8. מי זה an בכל אחד מהטורים?
תודה מראש על העזרה!
*
1) לא. אפשר עקרונית לבקש למצוא תחום התכנסות של כל טור פונקציות/סדרת פונקציות (כל ערכי ה <math>x</math> שבהם יש התכנסות)
2) אם זה לא טור חזקות, אז אין דרך פשוטה כל כך. צריך לנסות להבין בשביל איזה ערכים הוא מתכנס.
4) אתה צודק, אלה לא טורי חזקות. את הטור שבא' אפשר "לתקן" בקלות לטור חזקות.
מציבים <math>y=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז זה הופך להיות טור חזקות ב<math>y</math>. מוצאים את תחום ההתכנסות שלו ו"ממירים" את זה חזרה ל <math>x</math> (כלומר מוצאים את ערכי <math>x</math>. שעבורם <math>\frac{1-x}{1+x}</math> נמצא בטווח הזה).
גילוי נאות: את ב' אני לא רואה כרגע בשלוף איך פותרים. אני צריך לחשוב על זה.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:04, 17 ביולי 2013 (IDT)
נראה לי שאני רואה איך אפשר לפתור את ב'. הטכניקות הסטנדרטיות לא כל כך עובדות וצריך פשוט להסתכל על הביטוי ולנסות להבין עבור איזה <math>x</math> טור המספרים שמתקבל מתכנס.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 17:14, 17 ביולי 2013 (IDT)

גרסה אחרונה מ־14:14, 17 ביולי 2013

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

תרגילים

תרגילים למתמטיקאים זה גם התרגילים לתיכוניסטים?


תשובה: כן.--איתמר שטיין 14:46, 4 במרץ 2013 (IST)

תרגיל 1 שאלה ב

לגבי תרגיל 1. האם השאלה השניה (מציאת משוואת ישר) קשורה לחומר שנלמד, או שמדובר בטעות? (מאחר והנושא כלל לא נלמד בשיעור)

משוואת ישר זה לא החלק הקשה, אתם אמורים לצלוח אותו באמצעות ידע מהתיכון. הקשר לנושא הוא המשפט "בעל שטח מינמלי", כאשר את זה מחשבים באמצעות חקירת פונקציות. --ארז שיינר

תרגיל 1 שאלה ב

המשולש המינימלי - הכוונה למשולש שנוצר על ידי הישר , ציר הX , ואנך לציר הX , או הישר , ציר הY ואנך לציר הY?

אמנם זה לא התרגיל של הקבוצה שלי, אבל דווקא אני הייתי מנחש שזה משולש שהצלעות שלו הן שני הצירים והישר הנוסף. --ארז שיינר


מצטער על התגובה המאוחרת. ארז צודק. הכוונה למשולש שנוצר עם הצירים.--איתמר שטיין 20:23, 9 במרץ 2013 (IST)

תרגילים לקבוצת הבוגרים

צריך להגיש אחרי שבוע או שבועיים?

תרגיל 1 מתמטיקאים שאלה ב

יכול להיות שנפלה טעות והמשולש יוצר שטח מקסימלי ברביע הראשון?

לא פתרתי את התרגיל, אבל על פניו זה לא נשמע סביר. אם ניקח את הקו הישר להיות כמעט מקביל לציר y או כמעט מקביל לציר x נקבל משולשים עם שטחים ששואפים לאינסוף. יותר סביר שיש לך טעות חישוב. --ארז שיינר


ושוב ארז צודק. אין טעות--איתמר שטיין 20:25, 9 במרץ 2013 (IST)

תרגיל 2 שאלה 2 מתמטיקאים

האם לא אמור להיות [math]\displaystyle{ \alpha\neq -1 }[/math]? אם [math]\displaystyle{ \alpha=1 }[/math] או [math]\displaystyle{ \alpha\neq -1 }[/math] ניתן לפתור באמצעות אינטגרציה בחלקים, אבל עם [math]\displaystyle{ \alpha=-1 }[/math] זה לא עובד, וצריך הצבה... --גיא 11:38, 14 במרץ 2013 (IST)


תשובה: אתה צודק. הטעות תוקנה.--איתמר שטיין 11:38, 15 במרץ 2013 (IST)

לימודים בפסח

יש לימודים בימי ראשון ושלישי הבאים? (31/3 וה 2/3)?

תשובה: לא. חוזרים ללימודים ביום רביעי 3.3.--איתמר שטיין 12:54, 29 במרץ 2013 (IDT)

ממתי אנחנו לומדים ביום רביעי?


???????????????????????????

(לא מתרגל / מרצה) ביום רביעי ממשיכים הלימודים לפי המערכת הרגילה. אם אינך לומד ביום רביעי, אתה חוזר ביום ראשון שאחריו --גיא 18:41, 30 במרץ 2013 (IDT)


אז רק מי שעושה פיזיקה לומד ביום רביעי?

תרגיל -3 אינפי2 מדעי המחשב...שאלה 1 סעיף 3...חקירת הפונקציה (y=x+sin(2x

כמה שאלות:

1 . לגבי מציאת אסימפטוטות אופקיות...

אם אני מבין נכון, אסימפטוטה אופקית זה מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת.

נניח אני רוצה לבדוק האם קיימת אסימפטוטה אופקית, מה שעליי לעשות, זה לבדוק מה קורה בגבול

lim((sin(2x)+x-(ax+b)) הזה? כאשר x שואף פעם אחת לאינסוף ופעם שנייה למינוס אינסוף?

2. בהמשך לשאלה 1. אם אני מקבל ש- a=0, אז y=b תיהיה אסימפטוטה אופקית?

3. באופן כללי, אפשר לומר שכדי למצוא אסימפטוטות משופעות/אופקיות, אני צריך לבצע את החישוב

lim(f(x)-(ax+b) כאשר x שואף פעם לאינסוף ופעם למינוס אינסוף, וכל תוצאה עבור a ו b תהווה אסימפטוטה משופעת כאשר

במקרה ספציפי שבו a=0, אקבל אסימפטוטה אופקית?

תודה מראש.


  • (לא מתרגל) השיטה שאתה מציג נכונה אבל לפעמים לא יעילה, מפני שאתה צריך לנחש מראש את האסימפטוטה. אבל, לפי הפיתוח שהראת, הרי שיש אסימפטוטה אופקית אם ורק אם [math]\displaystyle{ lim f(x)-ax-b=0 }[/math] (ב+ או - אינסוף) וזה אם ורק אם [math]\displaystyle{ lim f(x)-ax= lim(b) }[/math], אבל לפי אריתמטיקה של גבולות אפשר לרשום [math]\displaystyle{ lim (f(x)-ax)/x=lim b/x=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ lim f(x)/x-a=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ a=lim f(x)/x }[/math].

מכל זה אפשר להסיק - יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a. אם כן, אז מוצאים את b על ידי הגבול b=lim f(x)-ax (שוב, הגבולות הם באינסוף או ב(-) אינסוף).

2. כן.

3.אין דבר כזה כל תוצאה, לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף. לפי האמור לעיל, אפשר להסיק שאם יש אסימפטוטה משופעת, היא אחת.

3. מה פתאום, יכולה להיות אסימ' אופקית שונה בשני הקצוות.
  • כמובן, אמרתי והתכוונתי בקצה אחד (הרי רשום - 'לא יכולות להיות שתי אס' אופקיות באינסוף').


הערה:

ציטוט: יש אסימפטוטה משופעת אם ורק אם קיים הגבול lim f(x)/x=a

זה לא נכון.

התרגיל הזה זאת דוגמא.

אם [math]\displaystyle{ f(x)=\sin(x) }[/math] אז

[math]\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 }[/math]

אבל [math]\displaystyle{ \lim _{x\rightarrow \infty}\sin(x) }[/math] לא קיים ולכן אין אסימפטוטה.

--איתמר שטיין 16:14, 3 באפריל 2013 (IDT)

2 שאלות נוספות בהמשך להודעה האחרונה

1. אם אני בודק האם קיום אסימפטוטה משופעת לפונקציה בדרך שציינתי מקודם,ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה יתקבל בחישוב הזה?..הרי אני לא יודע מראש אם יש או אין אסימפטוטה משופעת. נניח אני עושה את החישוב lim(f(x)-(ax+b) ולפונקציה אין אסימפטוטה משופעת, מה אני אקבל בחישוב הזה, וכיצד זה יתבטא בערכים של a ו b?

2. מה הסיבה שעל מנת למצוא אסימפטוטה משופעת של פונקציה, אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול של הפונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף?

שוב, תודה מראש.

  • (לא מתרגל) אני חושב שהתשובה נמצאת בתגובה לשאלתך הראשונה (אגב מומלץ לערוך את השאלה הקודמת ולרכז הכל שם, יותר נוח ופחות מעמיס לכלל הקוראים).

2. אם יש אסימפטוטה משופעת ax+b שבה a אינו 0, אז ((lim(f(x הוא אינסוף אם a>0 ומינוס אינסוף אם a<0, זה תנאי הכרחי (שוב, בהתאמה באינסוף או מינוס אינסוף). אם a=0 אז הגבול הוא b.

אי אפשר פשוט לבדוק את הגבול באינסוף או מינוס אינסוף, כי אם הוא יוצא אינסוף אי אפשר לדעת אם יש אסימפטוטה משופעת או לא. שתי דוגמאות פשוטות לכך הן e^x ו-x, לשתיהן גבול אינסוף באינסוף, אך לראשונה אין אס' משופעת ולשנייה יש, שהיא בעצם היא עצמה.

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?

למה שווה הגבול הבא: sin2x/x כאשר x שואף לאינסוף?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+sin2x%2Fx
סינוס חסומה.


הערה: אני רק רוצה להעיר למען הסר ספק.

השאלה מה האסימפטוטות המשופעות של [math]\displaystyle{ x+\sin(2x) }[/math] היא שאלה לגיטימית (והתשובה היא שאין לה) אבל היא לא נדרשת בשיעורי בית.

בשיעורי בית אתם מתבקשים לחקור את [math]\displaystyle{ x+\sin(2x) }[/math] בתוך תחום מסוים [math]\displaystyle{ [-2\pi,2\pi] }[/math] אז ממילא אין מה לומר לגבי אסימפטוטות שלה באינסוף או מינוס אינסוף.--איתמר שטיין 15:56, 3 באפריל 2013 (IDT)

התכנסות במ"ש

אפשר רמז ל6 פה?

זה אינפי 1, אבל מעניין.

  • (לא מתרגל) אממ, זה לא הכי קשור לאינפי 2 של בר אילן, אבל בכל מקרה אפשר לפתור. רצית רמז אז אנסה להביא משהו מועיל, נסה/נסי להשתמש בהגדרה של רציפות במ"ש לפי היינה. אוכל גם להביא פתרון שלי, כי רמז אחר הוא למעשה הפתרון.
תודה. נראה לי שפתרתי: מה שרוצים קורה אםם על כל סדרה עולה נקבל את הגבול הזה כגבול סדרות. לכן תהי [math]\displaystyle{ x_n }[/math] סדרה עולה, ונגדיר [math]\displaystyle{ y_n=\sqrt{x_n^2+5} }[/math], אז נוכיח שהמרחק ביניהן שואף לאפס ואז נקבל לפי תנאי היינה לבמ"ש שמתקיים [math]\displaystyle{ |f(x_n)-f(y_n)|\rightarrow 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(\sqrt{x_n^2+5})-f(x_n)\rightarrow 0 }[/math] ומש"ל.
  • (לא מתרגל) כן, זה נראה בסדר, רק הייתי אומר שהגבול של xn כשn שואף לאינסוף הוא אינסוף.
כן, לזה התכוונתי. (עולה זה לא נכון, למשל הסדרה ל-e)

תרגיל 3 שאלה 2

אפשר רמז לסעיף 1 בשאלה 2?

תרגיל 4 שאלה 5 סעיף ב'

אני חושב שצריך גם לדרוש m שונה מn-, או לחילופין |m| שונה מ|n|.

תשובה: נכון. רציתי לכתוב טבעיים וכתבתי בטעות שלמים. אני אתקן.--איתמר שטיין 09:17, 15 באפריל 2013 (IDT)

תרגיל 4 שאלה 6 (תיכוניסטים)

בשאלה 6ב - איך עושים חישוב של הנפח סביב ציר Y (זה טעות? התכוונו לציר X?)תודה.

  • (לא מתרגל) האמת שמבט נוסף יביא למסקנה שזה אותו נפח ביחס לכל אחד מהצירים.


  • תשובה: זאת לא טעות. גם אם זה לא אותו נפח כמו סיבוב סביב ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] (מה שבמקרה באמת קורה כאן)

אפשר לחשב נפח סיבוב סביב ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] ע"י כך שמתייחסים כאילו הפונקציות הן פונקציות של [math]\displaystyle{ x }[/math] לפי [math]\displaystyle{ y }[/math]

(הפוך מההסתכלות הרגילה) ואז עושים אינטגרציה (לפי הנוסחא) לפי [math]\displaystyle{ y }[/math].--איתמר שטיין 17:01, 19 באפריל 2013 (IDT)

תרגול - תיכוניסטים

אפשר להעלות את מערך תרגול 4+5 לאתר ? תודה רבה!

איך מגדירים נפח גוף סיבוב סביב ציר Y?

יש שתי דרכים טריוויאליות:

1. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר X, ומסובבים אותו סביב ציר Y.

2. לוקחים את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר Y, ומסובבים אותו סביב ציר Y.


לי לפחות נראה ש 2. היא ההגדרה הנכונה, אך מהי ההגדרה המדויקת של נפח גוף הסיבוב?

  • (לא מתרגל) אני מאמין שהגדרה 2 היא נכונה. פשוט אפשר להסתכל על ההגדרה המקורית עם ציר X, ולהחליף כל פעם Y בX.


  • תשובה: אין כזה דבר נפח סיבוב של פונקציה סביב ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]).

יש כזה דבר נפח גוף סיבוב סביב ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] (או [math]\displaystyle{ x }[/math]).

במילים אחרות, קודם צריך להגיד לך מה השטח שאתה צריך לסובב, ואח"כ אפשר לחשב מה הנפח של הסיבוב שלו סביב משהו.

לכן שתי האפשרויות שכתבת הן לגיטימיות, תלוי מה מבקשים לחשב.

בשיעורי הבית התחום שצריך לסובב הוגדר בצורה מדויקת.--איתמר שטיין 16:58, 19 באפריל 2013 (IDT)


  • במחשבה שניה, הבנתי שמה שאתה שואל זה מה המשמעות של

[math]\displaystyle{ \pi\displaystyle{\int_a^b }f^2(y)\mathrm{d}y }[/math]

והתשובה היא אופציה 2 שכתבת.--איתמר שטיין 17:31, 19 באפריל 2013 (IDT)

כמה שאלות

נתונה לי הפונקציה f(x)=x-2arctanx

1. מדוע f גזירה בכל הממשיים?

2. על מנת להראות שפונקציה גזירה בנקודה ספציפית, יש להראות שמתקיימת הגדרת הנגזרת? 3. אם רוצים להראות שפונקציה גזירה על תחום/קטע מסוים, אני מניח שאי אפשר להשתמש בהגדרת הנגזרת, כי כעת מדובר על תחום, ולא על נקודה ספציפית. איך בכל זאת אפשר לדעת?


4. למה tanx אי זוגית? 5. למה מכך ש-tanx אי זוגית, ניתן להסיק ש-arctanx אי זוגית גם כן?

תודה מראש!


(סטודנט) 1. x גזירה וגם arctanx ידוע שמכפלה של קבועה בגזירה גם גזיר ושהפרש של גזירות גזיר ולכן הפ' גזירה

2.כן(שים לב שהגבול הימני צריך להיות שווה לגבול השמאלי)

3. ע"פ הגדרת הגבול במקום שx ישאף לx0 מסוים(לדוגמא 2) הוא ישאף לכל x0 ששייך לקטע

4. כי מתקיים f(-x)=-f(x) a שtanx=sinx/cox tan-x=sin-x/cos-x=-sinx/cosx

5. arctan(tanx)=x arctan(-tanx)=arctan(tan-x)=-x לכן אי זוגית

אסימפטוטה אנכית

1.באיזה מצבים לפונקציה f תיהיה אסימפטוטה אנכית?

2. בעצם אני יכול לומר שאם אני רוצה למצוא אסימפטוטות אנכיות של פונקציה מסויימת, אני צריך לבדוק האם לפונקציה יש נקודות אי רציפות ממין שני, ואם כן, אז בנקודות הללו ל-f יש אסימפטוטה אנכית?

תודה מראש.

  • (לא מתרגל) אסימפטוטה אנכית מוגדרת כאשר יש נק' אי רציפות ממין שני, אז כן, הדברים שקולים. מספיק שגבול מימין/משמאל בנק' מסוימת הוא אינסוף או מינוס אינסוף, זוהי אסימפטוטה אנכית ונק' אי רציפות ממין שני.

העלאת התרגילים

אפשר להעלות את התרגילים השבועיים מוקדם יותר ? הם תמיד עולים יומיים שלושה אחרי התירגול...


  • אתה יכול לציין על איזה קבוצה מדובר? החלק הזה של שאלות ותשובות משרת מדמ"ח, מתמטיקאים ותיכוניסטים (מ2 קבוצות הרצאה).

למיטב ידיעתי, בקורסים שאני מתרגל אנחנו מקפידים להעלות תרגילים לפחות שבוע לפני מועד ההגשה.--איתמר שטיין 10:09, 23 באפריל 2013 (IDT)

  • (לא שואל השאלה)(תיכוניסטים) לדוגמא השבוע, התרגיל עדיין לא עלה ולפי מה שאני מבין הוא להגשה בראשון הקרוב.
  • (שואל השאלה) אני מקבוצת התיכוניסטים ועל הקבוצה הזו דיברתי וכמו שנאמר למעלה התרגיל שלנו עדיין לא עלה


  • השבוע לא הייתי כל כך בעניינים... אני אבדוק.

אבל בשבועות הקודמים התרגיל של התיכוניסטים עלה תמיד בזמן.--איתמר שטיין 22:29, 24 באפריל 2013 (IDT)


  • כן, השבוע הייתה בעיה. העלנו תרגיל רק עכשיו. היות ואין תרגול בל"ג בעומר זה עדיין משאיר לכם יותר משבוע לפתור את התרגיל.

כמו שכתבתי, אני אקפיד שבעתיד זה יעלה בזמן.--איתמר שטיין 13:43, 25 באפריל 2013 (IDT)

נקודות קיצון/פיתול

אם קבלתי שהנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסויימת ואני רואה שהנגזרת הראשונה, משניי צידי הנקודה, אינה משנה סימן. האם ניתן להסיק מכך שהנק' היא נקודת פיתול, מבלי בכלל להתעסק עם נגזרת שנייה?


כן, ניתן להסיק זאת.--איתמר שטיין 22:37, 24 באפריל 2013 (IDT)

הרצאה בלוג בעומר

יש הרצאה לתלמידי שמחה?

הרצאה ביום ראשון

שמעתי שביום ראשון התבטלה ההרצאה של מיכאל שיין. גם ההרצאה של שמחה הורוביץ התבטלה ?

אנא תשובה בהקדם ! תודה.

  • (לא מתרגל) בוטלו ההרצאה והתרגול, מלי שלחה על כך מייל:

שם הקורס : חשבון אינפיניטסימלי 2

שם המרצה : ד"ר הורוביץ שמחה

ביום ראשון הקרוב ל"ג בעומר 28/4/13 לא יתקיימו לימודים באינפ' 2 הרצאה ותרגיל

ביום שני הבוחן בשימושי מחשב מתוכנן כרגיל

תאריכי הגשה

אם אפשר בבקשה להוסיף תאריכי הגשה לקבוצות התרגול השונות (מרוב ביטולי תרגילים לא ברור למתי צריך להגיש)

תרגיל 5

המתמטיקאים אמורים לדעת לענות על השאלות האלו? (להזכירכם, לא למדנו בהרצאה (של ד"ר עמיר) את הנושא של נפח ושטח, וכל הידע שלנו מתבסס על התרגול.)

שאלה לגבי שאלה 4 בתרגיל 5

כשמבצעים אינטגרציה חובה שהאינטגרל יכיל [math]\displaystyle{ \int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}ds }[/math]? או שיתקבל גם שימוש ב[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{1+f'(x)^2}}ds }[/math]?


  • תשובה:

הכוונה היא פשוט לחשב את האורך המדובר באמצעות אינטגרל ולא באמצעות נוסחאות אחרות שאתם מכירים.

כלומר אפשר לחשב את האורך בכל שיטה עם אינטגרל שתתן לכם תשובה נכונה.

דרך אגב, הנוסחאות הן עם [math]\displaystyle{ \mathrm{d}x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int ds=\int 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{1+f'(x)^2}}dx }[/math]--איתמר שטיין 09:44, 2 במאי 2013 (IDT)

שאלה לגבי ציוני תרגיל לתיכוניסטים

פעם שעברה לא עניתם לי.. חיכיתי שבוע ועוד לא ענו לי.. אני מקווה שזה ימשוך את צומת ליבכם ולא 'תפספסו' את השאלה שלי שוב ! ;)

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!שאלה חשובה מאוד!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

>>>>>>>>>>> בקובץ ציונים שהעלו חסר לי את הציון על התרגיל השני. חסרים ציונים שם? יעלו אותם בקרוב? <<<<<<<<<<<<<

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~אודה להתייחסות!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!

!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!


כל החצים וסימני הקריאה מפריעים לי להתעלם מהשאלה שלך.


  • העלתי קובץ יותר מעודכן. אם תרגיל 2 שלך לא נמצא שם. תפנה למתרגל שלך.

בדומה אני לא אתפלא אם חלק מתרגילי 3 עדיין לא מעודכנים.--איתמר שטיין 19:03, 6 במאי 2013 (IDT)

  • * * * * * * * * * * כן יש ציון תודה !

מערכי תרגול- תיכוניסטים

אפשר להעלות את מערכי התרגול העדכניים?

אמרתם שכל פעם אחרי התרגול אתם תעלו את מערך התרגול לאתר..

יש אנשים שלא מעתיקים (ומעדיפים להתרכז בהקשבה ובהאזנה) ובונים על מערך התרגול.

תודה רבה!

תרגיל 6

בשאלה 5 הכוונה לעיגול כלפי מטה או עיגול כלפי מעלה?


  • תשובה: כלפי מטה.

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%94%D7%A9%D7%9C%D7%9D --איתמר שטיין 17:53, 9 במאי 2013 (IDT)

תרגיל 6 שאלה 1 סעיף א

אפשר רמז בבקשה


  • אני פתרתי אותו עם מבחן ההשוואה (הרגיל). מקווה שזה עוזר--איתמר שטיין 17:56, 9 במאי 2013 (IDT)

תודה :]

תרגיל 6 שאלה 1

"חשב אילו מן האינטגרלים הבאים מתכנס" - צריך רק לקבוע האם מתכנס (ע"י מבחן השוואה) או גם לחשב את ערך הגבול?


תשובה: רק להחליט אם הם מתכנסים. לא צריך לחשב את הגבול.--איתמר שטיין 17:52, 9 במאי 2013 (IDT)

תרגיל 6 שאלה 5 מתמטיקאים

מה הכוונה "אינטגרבילית מקומית"?

  • (לא מתרגל) לדוגמא בקטע a עד אינסוף, הפונקציה תקרא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע מהצורה [a,b] עבור b>a.


  • כן. קיבלתי את הרושם שככה הגדירו לכם בהרצאה.--איתמר שטיין 22:06, 11 במאי 2013 (IDT)

בוחן - תיכוניסטים

השאלות יהיו בסגנון של השאלות שהיו בשיעורי בית? חישוב אינטרגלים וכדומה?

מאיפה מומלץ לעשות חזרה לבוחן? יהיה אפשר לעלות שאלות ותשובות לשאלות בסגנון משנים קומות?


  • כן. זה יהיה בסגנון השיעורי בית.

חוץ מאשר לעבור על ההרצאות + תרגולים+ שיעורי בית. אני חושב שבספר אינפי של צבאן (יש באתר שלו) יש שאלות טובות מכל מיני סוגים (כמובן שחלקן כבר הופיעו בתרגולים ובש"ב) אתם יכולים גם כמובן לעשות תרגילים ממבחנים שיש ב math-wiki. חוץ מזה באינפי יש מליון תרגילים באינטרנט... לי אין איזשהיא המלצה ספציפית.--איתמר שטיין 20:57, 13 במאי 2013 (IDT)

שאלה לגבי הבוחן

בבוחן יהיו גם שאלות שיהיה צריך להוכיח בהו טענות או רק תרגילים חישוביים ?


  • תשובה: יכול להיות שתדרשו להוכיח משהו "תיאורטי". אבל אין צורך לזכור בעל פה הוכחות שראיתם בכיתה.--איתמר שטיין 20:58, 13 במאי 2013 (IDT)

תרגיל 7

בשאלה 2 2 הפונקציה לא מוגדרת בכל התחום של האינטגרל זה בכלל אפשרי?


בוחן לתיכוניסטים

למה אין שאלת בונוס/שאלת בחירה/אפשרות לצבור מעל 100 בבוחן? אולי תלכו קצת לקראתנו ותתנו עזרה כזאת או אחרת בבוחן?


אולי כדאי שיקחו זאת צעד אחד קדימה - שיעלו לנו קובץ עם התשובות לשאלות שיהיו בבוחן.


  • שימו לב גם שהבוחן הוא מגן. הוא לא יכול להוריד ציון.--איתמר שטיין 21:01, 13 במאי 2013 (IDT)

בוחן למתמטיקאים

אפשר לציין אילו תרגילי בית נכללים בחומר הלימוד לבוחן, ולהעלות פתרונות לתרגילים האלו?

תודה


  • תרגילים 1-7 (נדמה לי שבשביל הקבוצה הרגילה חלק מתרגיל 5 לא בחומר... אני לא בטוח, כדאי שרוני/שי יענו לכם על זה... אני מתרגל רק תיכוניסטים).

לתרגילים 1-3 כבר העלתי פתרונות. לתרגיל 7 לא נעלה פתרון עדיין (מן הסתם). לשאר נעלה בעזרת ה'.--איתמר שטיין 21:07, 13 במאי 2013 (IDT)


אם תוכלו לעשות את זה בהקדם (אתם והקב"ה), נודה לכם מאד (:


תודה!

בוחן לדוגמא

תוכלו להעלות בוחן דמה לקראת הבוחן?

פתרונות

שלום! תוכלו בבקשה להעלות את הפתרונות לתרגילים 5 ו6?? תודה רבהה וחג שמח!

שאלות בקשר לבוחן

האם אפשר בבקשה לעשות קצת סדר בעניינים ולתת פרטים מדוייקים בקשר לחומר הנכלל בבוחן לקבוצה של הבוגרים. לפי מה שרשום באתר אנחנו מבינים שתרגיל חמש לא נכלל בבוחן, מעולה! לגבי תרגיל שבע- האם הוא נכלל בבוחן?אם כן, אנחנו צריכים פתרונות! אנחנו לא רוצים להסתמך רק על פתרונות שלנו ואח"כ לגלות בבוחן שהם לא היו מדוייקים וכו'..(שזה כבר קרה לנו בעבר) איתמר, זה נראה שאתה היחיד שפעיל כאן אז נשמח שאם יש שאלות שצריך לברר עם שי תשאל אותו ותעדכן כאן או שתגיד לו לענות בבקשה.

תודה רבה!!:)


החומר של תרגיל 7 נכלל בבוחן.

אני מצטער אבל עדיין לא הגיע תאריך ההגשה שלו - אנחנו לא נעלה לו פתרונות.


פירוט החומר לבוחן: (תיכוניסטים+קבוצה רגילה)

חקירת פונקציות. (תרגיל 1)

שיטות אינטגרציה. (תרגילים 2-3)

אינטגרל מסוים. (תרגיל 4)

אינטגרלים לא אמיתיים משני הסוגים (תרגילים 6-7)


מה אין בבוחן:

שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים.

יישומים גאומטריים (חישוב שטח פנים, נפח , שטח, אורך עקום)

--איתמר שטיין 23:02, 18 במאי 2013 (IDT)

נושאים לבוחן

אמרתם שכל הנושאים לבוחן הם כל החומר עד אינטגרלים לא אמיתיים אבל אמרו לנו שגם אינטגרציה נומרית לא תיכלל.

תוכלו להוסיף רשימה יותר מפורטת של הנושאים ?


עניתי למעלה--איתמר שטיין 23:06, 18 במאי 2013 (IDT)

החלפת משתנים באינטגרלים

מה התנאים שצריכים להתקיים על מנת שיהיה אפשר לבצע חילף משתנים באינטגרל?


  • תשובה: אם יש לך אינטגרל

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)\mathrm{d}x }[/math]

ואתה מבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math]

אז התנאים עבור [math]\displaystyle{ g }[/math] הם

1) [math]\displaystyle{ g }[/math] מוגדרת על הקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

2) [math]\displaystyle{ g }[/math] חח"ע בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]

3) [math]\displaystyle{ g }[/math] גזירה ברציפות בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]--איתמר שטיין 23:22, 18 במאי 2013 (IDT)

מערכי תרגול

אפשר בבקשה שתעלו את מערכך תרגול מס' 7 לפני הבוחן תודה מראש


מועד הגשה תרגיל 7

האם תרגיל 7 להגשה ביום ראשון הקרוב כרגיל או שיש דחייה בגלל הבוחן ביום שני?


  • אפשר להגיש בשבוע הבא (26.5) אבל יעלה עוד תרגיל ביום ראשון גם כן לאותו תאריך--איתמר שטיין 23:07, 18 במאי 2013 (IDT)

מיקום הבוחן

באיזה כיתה/ות יהיה מחר הבוחן?


  • תיכוניסטים: 604 כיתה 62.
  • קבוצה רגילה: 101 כיתה 2.

שעה 18:00

--איתמר שטיין 14:15, 20 במאי 2013 (IDT)

הבוחן

1)יהיה חקירת פונקציות? חלק אומרים שכן וחלק לא...

2)צריך לזכור הוכחות מהרצאות?


  • 1) חקירת פונקציות בחומר לבוחן.

2)לא צריך לדעת הוכחות מההרצאות. --איתמר שטיין 14:16, 20 במאי 2013 (IDT)

תרגיל 8 שאלה 1 I ב

מדוע הפונק' מוגדרת דווקא בקטע זה? יש לכך איזשהי משמעות?


  • זאת טעות. התחום [math]\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] }[/math] הוא בשביל סעיף א.--איתמר שטיין 11:26, 21 במאי 2013 (IDT)

תרגיל 8 שאלה 1

מה הכוונה בסוג תחום ההתכנסות ? 

כתוב:" מצא תחום התכנסות, סוגה ואת הפונקציה הגבולית"


התכוונו לכך שתמצא את סוג ההתכנסות (במ"ש/נקודתית)

תרגיל 8 שאלה 3

הכוונה ש fn שואפת ל f לא במידה שווה היא שהיא שואפת ל-f נקודתית בהכרח או שיכול להיות ש מf כלל לא שואפת לשום פונקציה?


נתון: fn שואפת ל f לא במ"ש.

צ"ל: האם ההתכנסות היא במ"ש/נקודתית, או שבכלל אין התכנסות.

פתרון: על פי הנתון: "fn שואפת ל f", ולכן fn שואפת לפונקציה f. למדנו על שני סוגים של התכנסות - נקודתית ובמ"ש. על פי הנתון ההתכנסות היא לא במ"ש, ולכן השאיפה היא בהכרח נקודתית.

מש"ל.

תרגול 8

אתם יכולים להעלות את תרגול 8 לאתר ? יש אנשים שלא כותבים כדי להקשיב.

תרגול 8

יש הרבה שלא מעתיקים אלא מקשיבים בתרגול וסומכים עליכם שתעלו את זה לאתר, אני לא מבין מה הבעיה שלכם להעלות את זה לאתר מיד אחרי התרגול, זה לוקח 10 שניות וחיוני להרבה אנשים.


אני מניחה שאם נבקש יפה זה יהיה יותר אפקטיבי. אף אחד פה לא מנסה לעשות לנו דווקא...


  • לקחתי לתשומת ליבי. בלי נדר, בשבועות שנותרו, אני אעלה את התרגול ביום ראשון בערב.--איתמר שטיין 21:29, 25 במאי 2013 (IDT)

לימודים כרגיל

יש היום לימודים כרגיל ? כי לא קיבלנו הודעה במייל...


בדיוק באתי לשאול את זה. יש הרצאה באינפי או בשימושי מחשב היום???

תרגיל 9 תיכוניסטים

למתי צריך להגיש את תרגיל 9?


  • לפעם הבאה שיש תרגול. מתי שזה לא יהיה.--איתמר שטיין 17:17, 29 במאי 2013 (IDT)


ביום ראשון יש תרגול? כי לפי מה שהבנתי אין הרצאה בגלל הבגרות בתנ"ך.


  • למיטב ידעתי ביום ראשון 2.6 אין תרגול לתיכוניסטים בגלל הבגרות בתנ"ך. כנראה שנצטרך תרגול השלמה אחד בגלל זה--איתמר שטיין 23:59, 1 ביוני 2013 (IDT)

שאלה לגבי תרגיל 9 שאלה 1

מותר להניח בסעיף הראשון ש [math]\displaystyle{ a \leq 1 }[/math]?


אז [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]?

למתי צריך להגיש את תרגילים 9 ו 10?

??


לתיכוניסטים: צריך להגיש את תרגיל 9 ליום ראשון הקרוב.

את תרגיל 10 לשבוע שאח"כ.

לשאר המתמטיקאים: אין לי מושג.--איתמר שטיין 11:10, 7 ביוני 2013 (IDT)

מתי מגישים את התרגילים ??

גם תרגיל 9 וגם תרגיל 10 זה ליום ראשון הקרוב ??

שאלה בסיסית:

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס.

תודה!

שאלה בסיסית

איך אני מראה שהפונקציה 1/2x מונוטונית יורדת לאפס בקטע 1 עד אינסוף?

תודה מראש.


גוזר :|


  • 1) גוזר ומראה שהנגזרת שלילית.

2) מראה בקלות שאם [math]\displaystyle{ x\lt y }[/math] אז [math]\displaystyle{ \frac{1}{2y}\lt \frac{1}{2x} }[/math]--איתמר שטיין 11:13, 7 ביוני 2013 (IDT)

רדיוס התכנסות.

לטור חזקות תמיד קיים רדיוס התכנסות?


  • תשובה: כן. אם לוקחים בחשבון שיש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה [math]\displaystyle{ \infty }[/math] ואז יש התכנסות (נקודתית) בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

ויש אפשרות שרדיוס ההתכנסות יהיה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ואז יש התכנסות רק בנקודה אחת.--איתמר שטיין 09:36, 10 ביוני 2013 (IDT)

תרגילים 4 ו5

לא מופיעים לי ציונים על תרגילים 4 ו5 על אף שהגשתי אותם ת.ז. שלי 208544635 המתרגל שלי זה שי גול תודה

תרגיל 10

בשאלה 2 ה' כשרשום log האם הכוונה בבסיס e או בבסיס 10?


אתה תלמיד חדש פה במקרה?

אלא אם מצוין אחרת, לפי מה שהבנתי, תמיד זה בסיס e

שאלה לגבי התכנסות במש

הוכחנו שטור החזקות [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_kx^k }[/math] בעל רדיוס R מתכנס בהחלט בקטע [math]\displaystyle{ (-R,R) }[/math] ובמש לכל קטע [math]\displaystyle{ [a,b]\subset(-R,R) }[/math]. אם [math]\displaystyle{ R=\infty }[/math] (רדיוס ההתכנסות) אז ההתכנסות של הטור על כל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] היא במ"ש?


תשובה: לא. רק על כל תת קטע סגור מהצורה [math]\displaystyle{ [-R,R] }[/math] יש התכנסות במ"ש אבל לא על כל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].--איתמר שטיין 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

שאלה

האם lim(A(n)^p) = (lim A(n))^p כאשר n שואף לאינסוף ,p קבוע?


  • תשובה: כן, זה נובע מכך ש [math]\displaystyle{ x^p }[/math] היא פונקציה רציפה.--איתמר שטיין 08:34, 16 ביוני 2013 (IDT)

פתרונות

שלום!! אפשר בבקשה להעלות את הפתרונות לשאר התרגילים?? די דחוף.. רוצים להתחיל ללמוד למבחן..!

הגשת תרגיל 10

האם תרגיל 10 להגשה?


כן.--איתמר שטיין 08:31, 16 ביוני 2013 (IDT)

תרגיל 10 שאלה 4

סביב איזו נקודה יש לפתח את טור החזקות? סביב 0?


  • תשובה: כן. סביב [math]\displaystyle{ 0 }[/math].--איתמר שטיין 08:30, 16 ביוני 2013 (IDT)

התכנסות במ"ש

האם יש טורים שמתכנסים במ"ש על כל הישר (חוץ מטור שהוא זהותית 0 כמובן)? ואם כן איך אפשר להוכיח שהם כאלה ?, כי התכנסות על כל הישר לא גוררת התכנסות במ"ש על כל הישר...


  • תשובה: כן. למשל הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+x^2} }[/math] לפי מבחן ה [math]\displaystyle{ M }[/math] של ווירשטראס מתכנס במ"ש בכל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

אבל אין טור חזקות שמתכנס במ"ש על כל [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].


^למעט טור חזקות שהוא פולינום.

  • (לא מתרגל) זה לא מדויק כל כך. מה שכן אפשר להוכיח - כל טור חזקות שיש בו אינסוף איברים לא אפס (או לחילופין שהאיבר הכללי לא מתאפס אחרי מקום מסוים) לא מתכנס במ"ש ב-R.זה תנאי מספיק והכרחי, כי אם החל ממקום מסוים הוא מתאפס, אז ברור כי הוא יתכנס במ"ש ב-R, ואם לא אז הוא לא יתכנס במ"ש ב-R.


  • תשובה: נכון. לא דייקתי במה שאמרתי. מה שהלא מתרגל כתב כאן נכון.--איתמר שטיין 11:30, 17 ביוני 2013 (IDT)

סכום טורי חזקות

היום שאלו אותי בכיתה אם את השאלה הבאה:

אם יש 2 טורי חזקות [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n }[/math] ו [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n }[/math] שלשניהם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ R }[/math].

האם ייתכן שלסכומם יהיה רדיוס התכנסות גדול יותר?


התשובה (הלא כל כך אינטיליגנטית) שעניתי הייתה שאם לוקחים [math]\displaystyle{ b_n=-a_n }[/math] אז הסכום שלהם הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] ולזה יש רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

אני יכול לתת תשובה (קצת) יותר אינטיליגנטית. נניח שנסתכל על

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(n^n+\frac{1}{n})x^n }[/math] זה טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

וגם [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(-n^n)x^n }[/math] הוא טור חזקות עם רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

סכומם הוא הטור [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n})x^n }[/math] שיש לו רדיוס התכנסות [math]\displaystyle{ 1 }[/math]--איתמר שטיין 19:47, 16 ביוני 2013 (IDT)

אפשר לעלות מבחן לדוגמא ?

והאם ניצטרך לצטט משפטים במיבחן ?


  • יש באתר מבחנים משנים קודמות. (יש קישור מהדף הראשי).--איתמר שטיין 11:44, 18 ביוני 2013 (IDT)

3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף. במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x). יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא? 2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x). 3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור? 4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה


(לא מתרגל / מרצה) תשובות:
1. הגבול הנ"ל שקול לגבול [math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow\infty} x^n }[/math] עבור [math]\displaystyle{ x\in\left [ -1,1 \right ] }[/math], זוהי העלאה בחזקה של איזשהו מספר קבוע בין 1- ל־1. חשוב בעצמך מהו הגבול עבור מקרים שונים ל־cos(x).
2. לדעתי, עליך להתמקד בפונקציה [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] ולחשוב מה יהיה התנאי עליה כדי שהטענה תהיה נכונה / לא נכונה.
3. 1 - כן, כל מחובר הוא מספר, אך המספר הזה תלוי ב־x. זה לא בדיוק מספר, עבור x מסוים זה טור מספרים, ועל זה מבוססת כל התיאוריה.
2 - שוב, עבור x ספציפי הוא מתכנס למספר (אם מתכנס), אך בראייה כוללת זוהי פונקציה.
3 - התכנסות נקודתית = לכל x הטור מתכנס לאיזשהו מספר, אך לא בהכרח במ"ש. קרי, בהגדרה של התכנסות נקודתית אמרנו שלכל x בקטע ולכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\ge N_\varepsilon }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |\lt \varepsilon }[/math], אך במ"ש אומר שלכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N_\varepsilon\in\mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ n\ge N_\varepsilon }[/math] ולכל x בקטע מתקיים [math]\displaystyle{ \left |\sum_{i=0}^{n}f_n(x)-S(x) \right |\lt \varepsilon }[/math], זה ההבדל.
4 - נסה להוכיח התכנסות נקודתית ואז במ"ש, יהיה יותר פשוט.
מקווה שמובן, --גיא 19:20, 17 ביוני 2013 (IDT)


  • התשובות של גיא נכונות. אם צריך הסברים נוספים תגיד ואני אנסה לעזור עוד.--איתמר שטיין 11:42, 18 ביוני 2013 (IDT)

3 שאלות לגבי תרגיל 8 של מדעי המחשב

בשאלה 1 סעיף 1, כשאני מחשב את פונקציית הגבול של הסדרת פונקציות fn(x) אני מחשב גבול של הסדרה כאשר n שואף לאינסוף. במקרה זה אקבל cos בחזקת אינסוף של x.למה שווה הגבול הזה????

לגבי שאלה 2 סעיף 2: ההרגשה שלי היא שהטענה לא נכונה. אשמח לקבל כיוון לדוגמה נגדית או את הדוגמה נגדית עצמה..וגם קצת אינטואיציה לקבל הסעיף הזה.

שאלה 3 סעיף 3:

יש כאן טור פונקציות שנתון עליו שהוא מתכנס במידה שווה ל-S(x). יש לי כמה שאלות כאן:

1. הטור הזה, סוכם מספרים? זה טור שאיבריו הם מספרים? כלומר f1(x)+f2(x)+f3(x).... כל מחובר כאן זה מספר, לא? 2. אם התשובה לשאלה הקודמת חיובית, הטור לא אמור להתכנס למספר? כלומר טור מספרים שמתכנס אמור להתכנס למספר? או לפונקציה? כי בשאלה רשום שהוא מתכנס לפונקציה S(x). 3. אפשר לומר שמהסיבה שהטור הזה מתכנס במידה שווה, אז הוא בפרט מתכנס נקודתית? מה המשמעות של התכנסות נקודתית של טור? 4. הטענה בשאלה 2 סעיף 3 נראית לי נכונה. לא יודע איך להוכיח אותה. אפשר כיוון??

חייב עזרה!!

תודה

שאלה 3 סעיף 3 תרגיל נוכחי של מדעי המחשב

הטור x/(1+x^2)^n מתכנס נקודתית/במ"ש/מתבדר בקטע בין 0 לאינסוף?

נתנו רמז : טור הנדסי.

למה הטור הזה הוא טור הנדסי? איך אני מתקדםפ?


(לא מתרגל / מרצה) הטור הזה במצבו אינו הנדסי, אך אם תבצע בו שינוי קל הוא יהפוך לכזה, ובכך תקבל את הפונקציה הגבולית ביתר קלות ואת תחום ההתכנסות. --גיא 19:22, 17 ביוני 2013 (IDT)


הוכחות מההרצאות במבחן

אפשר לפרסם רשימת הוכחות שצריך לזכור למבחן?


1. פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית שם.

2. פונקציה מונוטונית בקטע סגור אינטגרבילית שם

3. פונקציה אינט'. אמ"ם לכל אפסילון יש חלוקה כך שהפרש הסכום העליון והסכום התחתון קטן מאפסילון.

4. ע"י עידון הסכום העליון יורד

5. המבחן האינטגרלי להתכנסות טורי מספרים.

6. מבחן דיריכלה להתכנסות אינטגרלים לא אמיתים מסוג ראשון

7. מבחן ה"אם" של וירשטרס.

8. אם סדרת פונקציות מתכנסת במ"ש בקטע סגור אז האינטגרלים שואפים לאינטגרל של הפונקציה הגבולית.

9 גבול במ"ש של רציפות רציפה.

10. המשפט היסודי על קיום וחישוב רדיוס ההתכנסות.

11. אם רדיוס ההתכנסות גדול מאפס אז הטור טור טיילור של הפונקציה הגבולית. -----

--איתמר שטיין 16:43, 27 ביוני 2013 (IDT)

שתי שאלות לגבי המבחן

א. כשד"ר הורוביץ הביא את המשפטים למבחן במשפט 3 הנוסח היה "f חסומה ב[math]\displaystyle{ \Leftarrow [a,b] }[/math] f אינטגברלית [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] לכל אפסילון קיימת חלוקה כך ש[math]\displaystyle{ S\bar(f,p)-S\underline(f,p)\lt \epsilon }[/math]". כשהוכחנו את המשפט בהרצאה לא דרשנו שf חסומה. הכוונה הייתה להניח כנתון שf חסומה ואז להוכיח את המשפט?


ב. בנוסף להרצאת החזרה יתקיים גם תרגול חזרה?

  • (לא מתרגל) א. כן


  • ב. רוני ביתן עושה תרגול חזרה ב 3.7 - אני מניח שהוא לא יתנגד שיגיעו אליו גם מקבוצות אחרות.

בנוסף אפשר כמובן להעלות הנה כל שאלה שיש לכם - אני אדגום את הmath-wiki בתדירות גבוהה בשבוע הבא.

אפשר גם לבוא אלי באוניברסיטה כדי לשאול שאלות.--איתמר שטיין 16:46, 27 ביוני 2013 (IDT)


באיזה שעה תרגול החזרה יתקיים?

השתנות חסומה

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?

השתנות חסומה

תוכלו להעלות תרגיל בית לנושא האחרון שלמדנו, השתנות חסומה ?


  • אני אשתדל לגרד כמה שאלות מאיפשהוא - אני לא מבטיח שאני אספיק.--איתמר שטיין 16:49, 27 ביוני 2013 (IDT)

הוכחות למבחן

אפשר בבקשה לפרסם את 11 ההוכחות למבחן? תודה...


  • יש לי שתי הצעות בשבילך.

1) יש בדף הראשי קישור לסיכומי הרצאות משנה שעברה - אני בטוח שיש שם הוכחות לכל המשפטים שצריך.

2) אתם יכולים להעלות בעצמכם הוכחות למשפטים (ש11 סטודנטים ייקחו כל אחד משפט, יכתבו את ההוכחה שלו ויעלו הנה).

--איתמר שטיין 14:46, 26 ביוני 2013 (IDT)

שאלה לגבי משפט להוכחה למבחן

משפט 3 שאנו צריכים לדעת להוכחה למבחן הוא:
f חסומה ב-[a,b] אינטגרבילית ב-[a,b] אמ"מ לכל ε>0:

[math]\displaystyle{ \overline{S}(f,T) - \underline{S}(f,T) \le \varepsilon }[/math]
האם הכוונה היא לתנאי רימן לאינטגרביליות (תנאי הכרחי ומספיק) או למשפט אחר? תודה


  • נראה לי שהכוונה היא להוכיח שתנאי דרבו לאינטגרביליות שקול למה שכתבת אבל אני אברר כדי להיות בטוח.--איתמר שטיין 14:49, 26 ביוני 2013 (IDT)


  • האם מדובר במשפט מספר 5 כאן: [1] ואם כן, האם מותר להתבסס על משפט מספר 4 על מנת להוכיח את הכיוון הראשון?


  • כן זה משפט 5. לא נראה לי שאפשר להסתמך על משפט 4 שם. זה חלק ממה שצריך להראות.--איתמר שטיין 16:48, 27 ביוני 2013 (IDT)

תרגיל 5

להרבה חסר הציון בתרגיל 5.


טוב לדעת.

העלתי את קובץ הציונים הסופי - אני חושב שעכשיו זה בסדר. תגידו אם לא.--איתמר שטיין 18:29, 1 ביולי 2013 (IDT)

שאלה לגבי המבחן

האם המבחן של ד"ר גדעון עמיר הוא אותו המבחן של דר הורוביץ ? צריך ללמוד את אותן ההוכחות?


זאת התשובה של ד"ר עמיר

I gave the list of 11 propositions in class. Basically its the same list, but I may have explained it differently. Of course they should know things according to what I said in class.

--איתמר שטיין 18:29, 30 ביוני 2013 (IDT)

משפט 10 ברשימת משפטים להוכחה

"קיום וחישוב של רדיוס ההתכנסות של טור חזקות" - אני מניח ש"קיום" הכוונה שקיים R כך שלכל [math]\displaystyle{ |x|\lt R }[/math] הטור מתכנס ולכל [math]\displaystyle{ |x|\gt R }[/math] הטור מתבדר, אבל למה הכוונה "חישוב"?

קושי-הדמר
  • וגם צריך להציג את הטענה: לכל r>0 וr<R מתקיים כי הטור מתכנס במ"ש בקטע [math]\displaystyle{ [x0-r,x0+r] }[/math]

איך מחשבים את האינטגרל הזה?

אינטגרל של (5x+3)/(2x-1)

מה הרעיון פה? איך עושים את זה?

תודה מראש.

(לא מרצה/מתרגל) לאחר חילוק פולינומים נקבל: zzz 2.5+5.5/(2x-1) zzz, והאינטגרל: zzz 2.5x+2.75*ln(2x-1) zzz

חומר למבחן

צריך לדעת אינטגרציה נומרית למבחן?


  • זה בחומר. אני הייתי מנחש שזה לא יהיה (אבל לא ראיתי את המבחן, אל תבנו על זה).--איתמר שטיין 18:32, 1 ביולי 2013 (IDT)
  • (לא מתרגל) אם הכוונה לד"ר הורוביץ, הוא אמר בהרצאה האחרונה שזה לא יהיה.


המבחן לא זהה לשתי הקבוצות?

  • יכולה להיות שאלה שונה עבור מרצים שונים (ואולי אפילו יותר מאחת).

איך מחשבים את האינטגרל הזה הבא:

1 חלקי

x^2+4x+13

?

תודה על העזרה


שאלה בקשר לחישוב אינטגרל

איך מחשבים אינטגרל של

zz 1/(4x^2+4x+1) zz

ובאופן כללי, לאו דווקא בשאלה הספציפית הזאת, מה השיטה לחשב אינטגרלים מהסוג הזה?

במקרה הכללי, זה תלוי - אם אפשר לעשות דו איבר זה הכי נוח. אבל לפעמים אי אפשר, ואז צריך להשלים לריבוע (ראה/י תרגיל אחד מעל), או להשתמש בפירוק לשברים חלקיים. על כל אלו אפשר לקרוא במערכי תרגול.

איך מחשבים את האינטגרל הבא:

zz 1/sqrt(x^2+x+1) zz

מעדיף לראות את כל המעברים עם הסבר, ולא רק תשובה סופית...בשביל זה יש וולפראם אלפא..

תודה מראש למי שעוזר..


  • משתמשים בהצבת אוילר (זה מוסבר בתרגול 3).

מציבים [math]\displaystyle{ \sqrt{x^2+x+1}=x+t }[/math]

מכאן מתקבל [math]\displaystyle{ x^2+x+1=x^2+2xt+t^2 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{1-2t} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ \mathrm{d}x=\frac{2t(1-2t)+2(t^2-1)}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t=\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t }[/math]


מציבים את כל זה באינטגרל

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\mathrm{d}x= \int \frac{1}{\frac{t^2-1}{1-2t}+t}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t= }[/math] [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\frac{-t^2+t-1}{1-2t}}\cdot\frac{-2t^2+2t-2}{(1-2t)^2}\mathrm{d}t= \int \frac{2}{1-2t}\mathrm{d}t= -\ln(1-2t)+C= -\ln(1-2(\sqrt{x^2+x+1}-x))+C }[/math]

--איתמר שטיין 20:53, 1 ביולי 2013 (IDT)

אתם לוקחים את 8 התרגילים הטובים?

אפשר היה להגיש רק 8?


שעורי חזרה

מתי יתקיימו שעורי החזרה?

  • עם ד"ר הורוביץ יש שיעור חזרה ביום שישי בשעה 9 וחצי.


והתרגול עם רוני ביתן?

  • לא חושב שיש כזה.

המבחן

כמה זמן יערך המבחן (בלי הארכת זמן)?

נראה לי ששלוש שעות 6 שאלות

מבחנים משנים קודמות

אפשר בבקשה לעלות קישור למבחנים משנים קודמות (אני לא מוצא למשל את המבחן של תשע"ב סמסטר ב' מועד ב')


http://u.cs.biu.ac.il/~sheinee/

שיעור חזרה

מתי (באיזה שעה) ואיפה שיעור החזרה עם ד״ר הורוביץ  ?

משפט 11

האם כחלק מהוכחת המשפט צריך לדעת להוכיח שמותר לגזור טור חזקות איבר איבר ושרדיוס ההתכנסות נשמר?

  • נראה לי שכן. כלומר צריך לדעת להוכיח את סעיף 2 ממשפט 3 כאן ואת משפט 4 כאן--איתמר שטיין 10:21, 5 ביולי 2013 (IDT)
  • היום בשיעור החזרה עם ד"ר הורוביץ' הוא אמר שההוכחות צריכות להיות בדיוק כמו שהראנו אותן. במשפט 11 מספיק לאמר את זה ואפשר לא להוכיח (אפילו שאלו אותו מפורשות והוא אמר).
  • טוב, כמובן שד"ר הורוביץ הוא זה שקובע.--איתמר שטיין 21:06, 6 ביולי 2013 (IDT)

מבחן 2009 מועד ב'

בשאלה 1 בפתרון http://www.math-wiki.com/images/e/ea/09Infi2ExTest2Sol.pdf לא הבנתי איך הם יודעים שבכל תת קטע הפונקציה המורכבת מקבלת מינימום ומקסימום

(לא מרצה/מתרגל)היא גזירה ולכן רציפה לפי ווירשטראוס מקבלת מינימום ומקסימום.


היא לא בטוח גזירה כי f רק אינטגרבילית ולא בטוח שהיא גזירה או אפילו רציפה ולכן גם לא בטוח שההרכבה רציפה


  • אם תשים לב תראה שמה שטוענים זה של [math]\displaystyle{ g' }[/math] יש מקסימום וזה ידוע כי לפי הנתון היא רציפה. לא נטען שם שלהרכבה יש מקסימום.--איתמר שטיין 11:46, 7 ביולי 2013 (IDT)


כשהם בנו את הסכום העליון והסכום התחתון של הפונקציה המורכבת הם הסתמכו על כך שבכל תת קטע יש מקסימום ומינימום(ולא sup ו inf ) שמתקבלים בנקודות xiM ו xim לא ?

פתרון לשאלה 4 ממועד א'

אפשר לפרסם פתרון לשאלה 4 מהמועד א' (הוכח/הפרך)?


הפרכה:

בקטע [0,1],נגדיר לכל n טבעי [math]\displaystyle{ f_n(x) =\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases} }[/math]. הפונקציה הגבולית היא [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] שרציפה.

כמו כן, ההתכנסות היא במידה שווה (לפי מבחן ה lim sup, [math]\displaystyle{ \sup |f_n(x)-f(x)|=\sup |\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}-0| = \sup|\begin{cases} \frac{1}{n} & x = 0\\0 & x \neq 0\end{cases}|=\frac{1}{n} }[/math] ששואף לאפס)

אך לא קיים מספר טבעי n שעבורו [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] תהיה רציפה (כי לכל n, [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math]לא רציפה ב 0).



--תודה זה בדיוק מה שעשיתי.

עזרה בחישוב אינטגרל!

אני רוצה לחשב את האינטגרל הבא:

sin^3(x)cos^(x)dx

יש לי שתיי שאלות: 1. אם אני בוחר בהצבה:cosx=t אז zz -sinx=dt zz

ואז איך אני ממשיך מפה?

cos^2(x)=t^2

אבל למה שווה sin^3(x)dx????


2.

מה לא נכון בפתרון הבא:

אם אני בוחר להציב sinx=t אזי cosxdx=dt ולאחר העלאה בריבוע נקבל cos^2(x)dx=dt

ויוצא שהאינטגרל שצריך לחשב הוא: t^3dt וזה שווה ל-t^4/4 ולאחר חזרה למשתנה x מקבלים:

sin^4(x)/4+C

מה לא נכון בפתרון הזה??

תודה מראש!


1. אל תציב [math]\displaystyle{ t=cos(x) }[/math].

2. אם מציבים [math]\displaystyle{ t=sin(x) }[/math] אז [math]\displaystyle{ cos(x)dx=dt }[/math]. אם מעלים בריבוע מקבלים [math]\displaystyle{ cos^2(x)dx^2=dt^2 }[/math], ולא [math]\displaystyle{ cos^2(x)dx=dt }[/math] (למה בכלל אתה צריך להעלות בריבוע?)

sin^3(x)cos^2(x)dx זה האינטגרל שצריך לחשב. שכחתי את הבריבוע מקודם


אז אם כך, תציב [math]\displaystyle{ t=cos(x) }[/math] ותקבל [math]\displaystyle{ dt=-sin(x)dx }[/math]. לפי הזהות [math]\displaystyle{ sin^2(x)=1-cos^2(x) }[/math] מקבלים שהאינטגרל הוא:

[math]\displaystyle{ \int sin^3(x)cos^2(x)dx = \int sin^2(x)cos^2(x)sin(x)dx = \int (1-t^2)t^2(-dt) = \int t^4-t^2dt = \frac{t^5}{5}-\frac{t^3}{3}+C = \frac{cos^5(x)}{5}-\frac{cos^3(x)}{3}+C }[/math]

איך מחשבים את האינטגרל של zz cos^4(x)dx zz

ובאופן כללי, איך מומלץ לחשב אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות עם חזקות זוגיות/אי זוגיות...? כלל אצבע כלשהו..?


  • כדאי להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות:

[math]\displaystyle{ \int \cos^2x\cos^2x=\int (\frac{1+\cos2x}{2})(\frac{1+\cos2x}{2})= }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=\int\frac{1}{4}(1+2\cos2x+\frac{1+\cos4x}{2}) }[/math]

ומכאן קל לחשב.

באופן כללי לגבי אינטגרלים טריגונומטריים, אני מעתיק הנה איזה מייל הסבר שכתבתי למישהו:

בכל מה שנוגע לאינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות תמיד אפשר לעשות הצבה אוניברסלית, אבל כדאי שזה יהיה הדבר האחרון שמנסים אחרי שכל השאר נכשל.

זה תמיד עובד תיאורטית, אבל החישובים עלולים להיות כל כך ארוכים שלא תצא מזה.


ולכן השיטות היותר סטנדרטיות הן:


1) להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות כדי להפוך איכשהוא את האינטגרל לאינטגרל שקל לחשב.

2) לגרום לו להיות ביטוי רק עם sinx חוץ מ cosx ליד ה dx ואז אפשר להציב t=sinx


(או להפך, גורמים להכל להיות cosx חוץ מ sinx אחד ואז מציבים t=cosx)


במבחן של המתמטיקאים שאלה 2.ג הייתה ממש שאלה שעובדת לפי העיקרון הזה (עיקרון 2 כאן). אני ממליץ לך לנסות לפתור אותה (יש כבר פתרון באתר).


בכל מקרה יש במערכי תרגול

http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%99%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99_2_-_%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9B%D7%99_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D%2B%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%92


הסבר מלא על הצבות טריגונומטריות.


הסבר על הצבה אוניברסלית יש בתרגול 3


ובתרגול 2 - שיטת ההצבה -מספר 3. יש הסבר חשוב על טריק שאפשר לעשות. (זה דוגמא לטריק 2 שכתבתי למעלה)


מקווה שזה ברור.


--איתמר שטיין 22:22, 10 ביולי 2013 (IDT)

היה לי אינטגרל כלשהו שהשתמשתי בהצבה והגעתי בסוף לאינטגרל שנראה ממש פשוט אבל משום מה אני לא יודע איך לחשב אותו:

אינטגרל של

zz 1/(4-t^2) zz

איך מחשבים את האינטגרל הזה ובאופן כללי איך מחשבים אינטגרלים מהצורה של קבוע חלקי ביטוי עם משתנה כלשהו


  • באופן ספציפי את האינטגרל הזה זה קל כי זאת פונקציה רציונאלית

[math]\displaystyle{ \frac{1}{4-t^2}=\frac{1}{(2-t)(2+t)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}) }[/math]

ומכאן ברור איך לחשב.

באופן כללי אין טכניקה כדי לחשב [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{f(x)} }[/math]

למשל [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\ln x} }[/math] זה אינטגרל שהוא לא פונקציה "אלמנטרית"

--איתמר שטיין 22:26, 10 ביולי 2013 (IDT)

שלום! שאלה באינטגרלים: מה האינטגרל של הפונקציה הזו

  (x+2/(x^2+x+1

איך עושים את זה???


[math]\displaystyle{ \frac{x+2}{x^2+x+1} = \frac{1}{2}*\frac{2x+4}{x^2+x+1} = \frac{1}{2}*(\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{x^2+x+1}) = \frac{1}{2}*\frac{2x+1}{x^2+x+1}+\frac{3}{2}*\frac{1}{(x+0.5)^2+\frac{3}{4}} }[/math]

מפה כבר קל להמשיך.

שתיי שאלות בנוגע לחישוב אינטגרלים

1.

איך מחשבים את האינטגרל

zz 1/sqrt(a^2-x^2) zz נתון ש-a>0.


2.

איך מחשבים את האינטגרל

zz (1/5)^x zz

אם אפשר בבקשה את כל המעברים כי יש לי את התשובות אבל בלי מעברים מלאים.

תודה מראש לעוזרים!!!


1. [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2(1-\frac{x^2}{a^2})}} = \frac{1}{a\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}} }[/math]. וכידוע [math]\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = arcsin(x)+C }[/math]


2. [math]\displaystyle{ ((\frac{1}{5})^x)'=(\frac{1}{5})^x*ln(\frac{1}{5}) }[/math]...

שאלה: אינטגרל בשיטת ההצבה והחלפת משתנים אלה דברים זהים??? אם לא, אפשר דוגמה להחלפת משתנים..מה זה בדיוק אומר

??

אותו דבר

חישוב אינטגרל

איך עושים את האינטגרל הבא:

zz x/(x-1)(x^2+x+1) zz

תודה מראש לעונים


אתה מנסה בכלל לחשוב על איך לחשב את האינטגרלים האלה לפני שאתה שואל אותם פה?

כן, ואני לא יודע. אם הייתי יודע, לא הייתי שואל : /


ניסית לפרק אותו לשברים חלקיים?

זהו שלא..תודה

הוכח הפרך: אם f בערך מוחלט אינטגרבילית רימן אז גם f אינטגרבילית

ביקשו להראות את זה ע"י קריטריון דארבו או בכל דרך אחרת.

מישהו יודע מה זה בדיוק קריטריון דארבו ומה הניסוח הפורמלי שלו?

הפרכה: f(x)=2D(x)-1 כשD(x) זו פונקציית דיריכלה. בערך מוחלט הפונקציה תמיד מחזירה 1 לכן בקטע סגור באורך a סכום רימן יהיה a לכן אינטגרבילית[לכל חלוקה עם פרמטר שואף ל0 ולכל בחירת נק'..) . לעומת זאת לפ' בלי ערך קיימים שני סכומי רימן שונים לגמרי, בכל קטע קטן שאפשר ניתן לבחור מס' רציונלי, ולכן סכום רימן יהיה 1, וגם ניתן לבחור מס' אי רציונלי ולכן עבור בחירת נק' אי רציונליות סכום רימן יהיה -1 קרטריון דרבו אני חושב טוען שפ' אינטגרבילית(בקטע סגור?) אם ורק אם היא חסומה וההפרש בין סכום דרבו העליון לתחתון שואף ל0

אינטגרלים לא אמיתיים

אני רוצה לחשב את האינטגרל בין 2 לאינסוף של הפונקציה zz 1/(x^2+x-2) zz

יש לי כמה שאלות:

1. הסיבה שזה אינטגרל לא אמיתי היא בגלל שיש לו גבול אינסופי? (הגבול העליון במקרה זה)

2. כאשר אני מחפש נקודות בעייתיות (קרי: נקודות בהן הפונקציה לא חסומה/הקטע אינסופי):

א. אינסוף זו תמיד נקודה בעייתית? ב. צריך לבדוק נקודות בהן המכנה מתאפס? אם כן למה? ג. בדוגמה הספציפית הזו, איך אני יודע שפרט לאינסוף, אין עוד נקודות בעייתיות?

תודה מראש! יש שני סוגים של אינטגרלים לא אמיתיים: 1)הגבול הוא אינסוף או מינסוף אינסוף 2) הפ' לא חסומה בנק' כלשהי בקטע(כשיש אסימפטוטה שמחלקת את הגבול לשניים)

1)כן 2)א. כן ב. צריך לבדוק נק' בהן הפ' לא חסומה, זה לא חייב להיות כשהמכנה לא מתאפס לדוגמא ln x בסביבה ימנית של אפס הולך למינוס אינסוף(אפילו שהיא אינטגרבילית ב0, ניתן למצוא פונ' קדומה ולראות שכשאיקס שואף ל0 הפ' הקדומה היא 0) ג. הנק' היחידות שבהן הפ' יכולה להיות לא חסומה הן כשהמכנה מתאפס, הנק' שבהן הפ' שואפת לאינסוף לא נמצאות בקטע לכן אין בעיה

אינטגרל מהצורה dx/x^alfa , עם גבול עליון אינסוף וגבול תחתון a, כאשר a>0 מתכנס אם"ם alfa>1 . השאלה שלי היא למה דורשים ש-a>0??

למה המשפט הזה הזה לא יהיה נכון עבור a<=0?


כי האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{-1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx }[/math] לא מתכנס. כי האינטגרל בסביבה אפסילונית של 0 לא מתכנס[ניתן למצוא פ' קדומה ולהראות שכשאיקס שואף ל0 הגבול שואף לאינסוף/מינוס אינסוף(dx/x^alfa בין 0 למספר ממשי סופי(לא אינסוף) מתכנס אם ורק אם אלפא קטן מ1, ובין 0 לאינסוף הוא לא מתכנס עבור אף אלפא)

מישהו יכול לעזור לי בבדיקת התכנסות/התבדרות של האינטגרל zz x^2/(x^4-x^2+1) zz

גבולות האינטגרל הם בין 0 לאינסוף

תודה לעונים

בין 0 ל-1 הפונקציה רציפה. בין 1 לאינסוף תשווה גבולית עם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty\frac{1}{x^2}dx }[/math].
ואתה יודע שיש לך כפתור של להוסיף דברים מתמטיים לטקסט שלך ולא צריך לכתוב zz, נכון?

1. למה לא להשוות גבולית עם אינטגרל של zz 1/x^2 zz בין 0 לאינסוף?

2. בקשר למה ששאלת בסוף..אני לא יודע איך לכתוב עם סימונים מתמטיים. איזה כפתור זה?

לגבי 1, האינטגרל מתבדר בין 0 ל-1. (כי הרי [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac1{x^\alpha} dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1\Leftrightarrow }[/math])
לגבי 2, זה כפתור בשורה של הכפתורים שמבליטים את הטקסט או עושים אותו נטוי וכאלה. זה הסימן [math]\displaystyle{ \sqrt n }[/math]. יהיה לך כתוב < math > formula </ math> ואיפה שכתוב formula אתה מכניס את הדבר המתמטי בשפת Latex. הנה אתר שיעזור לך לכתוב מתמטיקה בשפה הזאת. אתר שעוזר להמיר Latex למתמטיקה וההפך. אתה תתרגל מאוד מהר לכתוב בשפה הזאת.
בהצלחה!

למה האינטגרל שרשמת מתבדר בין 0 ל-1??? זה איזשהו משפט? אם כן, מה המשפט בדיוק?

ומה בדיוק הבעיה בזה שהוא מתבדר??

עדיין לא הבנתי. תוכל להסביר קצת ביותר פירוט?

משפט: יהי [math]\displaystyle{ b \in \mathbb{R} }[/math] אזי [math]\displaystyle{ \int_0^b \frac1{x^\alpha} dx }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \alpha \lt 1 }[/math]. במקרה הזה, יש לנו את [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx }[/math] זאת אומרת [math]\displaystyle{ \alpha=2 }[/math] והרי זה גדול מ-1 ולכן האינטגרל בתחום מתבדר.
כמו כן, [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{1}{x^2}dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx +\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx }[/math] וידוע שאם יש אינטגרל שהוא סכום של אינטגרלים אחרים ואחד מהם מתבדר, כל האינטגרל מתבדר.
לכן, לא הייתי משווה גבולית עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math] בכל התחום [math]\displaystyle{ [0,\infty] }[/math] כיוון שהאינטגרל שלו מתבדר. מצד שני, האינטגרל שלו מתכנס בין 1 לאינסוף ולכן ע"י השוואה גבולית אפשר לראות שהאינטגרל המקורי מתכנס בין 1 לאינסוף. האינטגרל המקורי בין 0 ל-1 זה של פונקציה רציפה בקטע סגור ולכן חסומה ואינטגרבילית ולכן לא אכפת לנו מה קורה שם וצריך לבדוק רק בין 1 לאינסוף, אבל עפ"י מבחן ההשוואה הגבולי, אפשר לראות שהאינטגרל מתכנס. --Ofekgillon10 13:28, 13 ביולי 2013 (IDT)

שאלה מאד בסיסית

על סמך מה אני מסביר שהאינטגרל בין 1 ל-2 של הפונקציה 1 חלקי x-1, מתבדר?


על פי ההגדרה של אינטגרל לא אמיתי...

או שאתה יכול פשוט להגיד שזה סך הכל הזזה של [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac1x dx }[/math] ולכן מתבדר

אינטגרלים מוכללים

אני רוצה לבדוק לאילו ערכי אלפא ובטא מתכנס האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx }[/math]

נתון: [math]\displaystyle{ \beta \gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \infty }[/math] זו כרגיל "נקודה" בעייתית.

הסיבה שגם 0 היא נקודה בעייתית נובעת מכך ש:

עבור [math]\displaystyle{ \alpha \lt 0 }[/math] מתקיים: [math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}x^\alpha = \infty }[/math]

ולכן הפונקציה לא חסומה כאשר [math]\displaystyle{ x\rightarrow 0 }[/math] ?

זו הסיבה ש-0 נקודה בעייתית?


שאלה נוספת: כל זה נכון בתנאי ש- [math]\displaystyle{ \alpha \lt 0 }[/math] , אבל הרי אנחנו לא יודעים אם הוא גדול מאפס או לא.

אז מה בסוף ההסבר לכך ש-0 נקודה בעייתית?

אוקיי. כעת, נניח שבאמת יש 2 נקודות בעייתיות. אני ממשיך את הפתרון באופן הבא: נפריד לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אינטגרל יש נקודה בעייתית אחת:

נקבל:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx=\int_{0}^{1}x^\alpha/ (2+x^\beta )dx+\int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx }[/math]

אני רוצה עכשיו לבדוק התכנסות של האינטגרל:

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty }x^\alpha /(2+x^\beta )dx }[/math]

ה"נקודה" הבעייתית היא אינסוף.

עכשיו יש לי 2 שאלות:

1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה [math]\displaystyle{ 1/x^\alpha }[/math] ? 2. למה בדיוק שווה [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא?

תודה מראש!!!

אנסה לתת לך דוגמה להתחלה ואתה תנסה להבין את ההמשך.
נסתכל שנייה רק על [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta} dx }[/math] פה "הנקודה" הבעייתית היא רק באינסוף (אתה תבדוק אח"כ מה קורה בסביבת 0 בנפרד). המטרה שלנו היא להגיע להשוות גבולית ככה שיצא לנו שהאינטגרל המקורי "חבר" של אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ \frac1{x^\gamma} }[/math] (בכוונה השתמשתי בגמא כדי שלא תתבלבל עם האלפא והבטא שכבר קיימים). לדוגמה, פה נבדוק מה קורה עם [math]\displaystyle{ \gamma=\beta-\alpha }[/math]. נסתכל על [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{(\frac{x^\alpha}{2+x^\beta})}{(\frac1{x^{\beta-\alpha}})} }[/math]. אם [math]\displaystyle{ \beta\gt 0 }[/math] אז הגבול הוא 1. 1 זה מספר סופי ששונה מ-0 ולכן לפי מבחן ההשוואה הגבולי האינטגרלים האלה חברים. זאת אומרת, [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{x^\alpha}{2+x^\beta} }[/math] מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac1{x^{\beta-\alpha}}dx }[/math] מתכנס. עפ"י משפט, זה קורה כאשר [math]\displaystyle{ \beta-\alpha\gt 1 }[/math]. תזכור שכל זה היה בהנחה ש- [math]\displaystyle{ \beta\gt 0 }[/math]. עכשיו תבדוק את שאר המצבים, ואז גם מה קורה בסביבת 0.--Ofekgillon10 15:15, 13 ביולי 2013 (IDT)

אוקיי..אז ככה, בעקרון ענית על השאלה באופן כללי ותודה על כך...אבל שים לב שלא ענית בכלל על השאלות ששאלתי. אחזור עליהן שוב:

1. למה הפונקציה להשוואה היא מהצורה [math]\displaystyle{ 1/x^\alpha }[/math] ? למה דווקא זו הפונקציה שבוחרים להשוות אליה? למה זו ולא שום פונקציה אחרת? 2. למה בדיוק שווה [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] ? ואיך מגיעים לתשובה? מה האינטואיציה בבחירה של אלפא? הבנתי שבחרת את אלפא להיות beta-alfa , אבל למה? איך הגעת לזה? מה האינטואיציה? מה גרם לך לבחור כך את אלפא?

לגבי שאלה 1, התשובה היא שפשוט אנחנו יודעים איך האינטגרל של הפונקציה הזאת מתנהגת באינסוף ובסביבת 0 ולכן נרצה להשוות עם משהו מהצורה הזאת.
לגבי שאלה 2, אני לא יודע מה אלפא. כל הקטע זה לגלות לאילו ערכי אלפא זה מתכנס / מתבדר. אז אני מנסה למצוא פונקציה עם אינטגרל "חבר" ואז באינסוף האינטגרל מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \gamma\gt 1 }[/math] ובסביבת 0 מתכנס אם ורק אם [math]\displaystyle{ \gamma\lt 1 }[/math]. ככה יוצא לך תחומים שלמים שאלפא ובטא יכולים להיות בהם כל עוד מקיימים מספר של תנאים

אינט' מוכלל

אני רוצה לבדוק את ההתכנסות של האינטגרל הבא:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^\alpha /((cos(x)-1)\sqrt{1-x^4}) }[/math]

יש כאן 2 נקודות בעיתיות. 1,0.

שאלה ראשונה:

במבחן ההשוואה אפשר להשתמש רק עבור פונקציות חיוביות. כאן יש במכנה (cosx-1). לכן הפונקציה שלילית.

השאלה שלי היא למה מותר לכפול את המכנה ב-1- ולקבל את הפונקציה: 

[math]\displaystyle{ f(x)= x^\alpha /((1-cos(x))/\sqrt{1-x^4})  }[/math]

ואז לעבוד עם הפונקציה הזו? למה זה מותר? הרי אם אני כופל את המכנה ב-1-, שיניתי את הפונקציה.

במידה וזה מותר, מה שאני עושה עכשיו, זה מפצל את האינטגרל, לסכום של שניי אינטגרלים כאשר בכל אחד מהם נקודה בעייתית אחת, באופן הבא:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})=\int_{0}^{0.5}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4})+\int_{0.5}^{1}x^\alpha /((1-cosx)\sqrt{1-x^4}) }[/math]

כעת צריך לבדוק התכנסות/התבדרות של כל אינטגרל בנפרד: נתחיל באינטגרל שבין 0.5 ל-1.

הנקודה הבעייתית היא 1.

שאלה שנייה:

מה הסיבה שמשווים לאינטגרל מהצורה : [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b}dx/(b-x)^\alpha }[/math] ?

שאלה שלישית:

מה יהיה במקום a,b,alfa? איך אני יודע מה יופיע במקומם? אני די בטוח שיש כאן איזשהי עבודה בטיוטה (שאינה מופיעה בהוכחה הפורמלית) שמסתמכת על אינטואיציה כלשהי. מישהו מוכן לגלות לי מה האינטואיציה? ואם אפשר לקבל הסבר מפורט על השלב הזה? כי זה שלב שאני לא ממש מבין לאן אני צריך לחתור ומה אני אמור לעשות?


שאלה רביעית:

אין אינטגרל אחר שאפשר להשוות אליו? למה דווקא לאינטגרל הזה?

שאלה חמישית:

לגבי האינטגרל בין 0 ל-0.5:

0 היא הנקודה הבעייתית.

לאן אני ממשיך מפה???? מה אני צריך לעשות??? גם כאן, אם אפשר הסבר מפורט, זה יעזור המון.

תודה מראש.

תשובה ל-1: [math]\displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = -\int_a^b -f(x) dx }[/math] ולכן אם אחד מתכנס בטוח גם השני. כפל במינוס לא משנה את התכנסות האינטגרל.
תשובה ל-2: זה פונקציה שהאינטגרל שלה ידוע בדיוק מתי מתכנס ומתי מתבדר לפי המעריך של החזקה. בסביבת אינסוף האינטגרל יתכנס אם ורק אם המעריך גדול מ-1. אם אנחנו מדברים על סביבת אסימפטוטה אנכית, זה יתכנס אם ורק אם המעריך קטן מ-1.
תשובה ל-3: האלפא יהיה אלפא ככה שתוכל להגיע לגבול יפה שאתה יודע לחשב. נגיד בשאלה הקודמת בחרתי [math]\displaystyle{ \beta-\alpha }[/math] כי ידעתי שהחילוק בפונקציה יעשה לנו [math]\displaystyle{ \frac{x^\beta}{2+x^\beta} }[/math] שהגבול באינסוף הוא ידוע וזה 1. ה- a,b יהיו גבולות האינטגרל הרגיל שאתה מנסה לחשב.
תשובה ל-4: תאורטית, כל פונקציה תעבוד. הבעיה היא שזה אחד הדברים היחידים (לא עולים לי עוד כרגע אבל אולי יש עוד כמה מעטים) שאתה יודע בדיוק את ההתנהגות של זה.

מה לא בסדר בהוכחה הזו?

אני רוצה לדעת האם

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty }e^{-ln^2x}dx }[/math] מתכנס.

שאלה 1: האם אני צריך להסביר מדוע 1 אינה נקודה בעייתית? אם כן, למה צריך בכלל להסביר את זה? אם לא, למה לא?

ניסיתי להוכיח כך:

[math]\displaystyle{ e^(-ln^2x)=1/e^(ln^2x)\lt 1/e^(lnx)=1/x }[/math]

היות והפונקציות חיוביות והיות ו

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty }dx/x }[/math] מתבדר

הרי שלפי מבחן ההשוואה, גם [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty }e^(-ln^2x) }[/math]

מתבדר.

שאלה 2:

מה לא נכון כאן???

תשובה ל-1: לא בעיה לבדוק ש- 1 לא נקודה בעייתית. הפונקציה פשוט לא רציפה שם.
תשובה ל-2: מבחן ההשוואה פועל בדרך הזאת: אינטגרל של פונקציה הגדולה מפונקציה שהאינטגרל שלה מתבדר, מתבדר.
אינטגרל של פונקציה הקטנה מפונקציה שהאינטגרל שלה מתכנס, מתכנס. אתה פה אמרת שאינטגרל של פונקציה שקטנה מפונקציה שהאינטגרל שלה מתבדר, מתבדר. משפט שהוא ממש לא נכון.
הערה: כדי לשפר את הכתיב שלך ולדאוג שלא יקרה לך כל מיני מצבים שבהם המעריך גולש למטה וכאלה, עיין בזה: פקודות שימושיות ב- LaTeX

מתכנס או מתבדר?

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty }cos^2(x)dx/x }[/math]

cos^2(x)<=1 וחיובי.

לכן מתקיים: [math]\displaystyle{ cos^2(x)/x \lt 1/x }[/math] *

כמו כן, [math]\displaystyle{ \int_{1}^{\infty}dx/x }[/math] מתכנס <==> alpha>1.

לכן האינטגרל של הביטוי מצד ימין של אי שיוויון * מתבדר.

ו...? לא טוב..אי אפשר להסיק מזה כלום על האינטגרל בשאלה...

בקיצור, מה עושים?

צודק. אכן לא אומר לנו כלום. אני מציע את הדבר הבא: [math]\displaystyle{ cos(2x)=2cos^2(x)-1 }[/math] ולכן[math]\displaystyle{ cos^2(x)=\frac{cos(2x)+1}2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{cos^2(x)}{x}dx=\int_1^\infty \frac{cos(2x)+1}{2x}=\int_1^\infty \frac{cos(2x)}{2x}dx+\int_1^\infty \frac1{2x} dx }[/math]
האינטגרל הכי ימני מתבדר ולכן כל סכום האינטגרל מתבדר.

בדיקת התכנסות של האינטגרל הבא:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x} }[/math]

יש 2 נקודות בעייתיות: אפס ואינסוף. אפס בעייתית כי:

[math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}((x+1)sinx)/x\sqrt{x}=\lim_{x-\gt 0}(x+1)/\sqrt{x}=1/0=\infty }[/math] , המעבר הראשון נובע מכך ש-

[math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}sinx/x=1 }[/math]

בגלל שיש 2 נקודות בעייתיות, נפצל לשניי חלקים:

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}=\int_{0}^{1}(x+1)sinxdx/x\sqrt{x}+\int_{1}^{\infty }(x+1)sinxdx/x\sqrt{x} }[/math]

נטפל באינטגרל השמאלי:

נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].

בסביבת 0, (f(x מתנהגת כמו [math]\displaystyle{ g(x)=1/x^{0.5} }[/math] .

שאלה 1: האם האינטואיציה שלי בבחירת (g(x נכונה?

הגעתי לכך ש-[math]\displaystyle{ g(x)=1/x^{0.5} }[/math] באופן הבא:

הסתכלתי על f, ובסביבת אפס sinx/x-->1

כמו כן, בסביבת אפס x+1)-->1)

לכן f מתנהגת בסביבת אפס כמו [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{x} }[/math].

לכן [math]\displaystyle{ g(x)=1/x^{0.5} }[/math].

כעת אני משתמש במבחן ההשוואה גבולי: (חישבתי גבול בסביבת הנקודה הבעייתית - 0.

[math]\displaystyle{ \lim_{x-\gt 0}f(x)/g(x)=\lim_{x-\gt 0}((x+1)sinx)/x =1 }[/math]

קיבלנו גבול סופי ושונה מאפס.

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}g(x)dx }[/math] מתכנס (1/2<1) ולכן גם [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(x)dx }[/math] מתכנס לפי מבחן ההשוואה.

שאלה 2: האמת ש-sinx לא פונקציה חיובית בכלל...אני יכול בכלל להשתמש כאן במבחן ההשוואה? מה שעשיתי נכון?

עכשיו אמשיך לאינטגרל השני (בין 1 לאינסוף):

שוב, נסמן את הפונקציה מתחת לאינטגרל ב-f(x) (למעשה זו אותה פונקציה כמו קודם).

נרשום אותה כך: [math]\displaystyle{ f(x)=g(x)h(x) }[/math]

כאשר: [math]\displaystyle{ g(x)=(x+1)/x\sqrt{x} }[/math] ו- [math]\displaystyle{ h(x)=sinx }[/math]

הפונקציה הקדומה של h(x) חסומה.

הסבר:

[math]\displaystyle{ \int_{1}^{t} h(x)= \int_{1}^{t}sinx=-cos(t)-cos1\leq 2 }[/math]

לגבי [math]\displaystyle{ g(x)=(x+1)/x\sqrt{x} }[/math] . היא שואפת ל-0 כאשר x שואף לאינסוף, שאלה 3: והיא יורדת (לגבי יורדת אני לא בטוח. איך אני מראה את זה?)

אם מה שאמרתי נכון, אז לפי מבחן דיריכלה, האינטגרל השני מתכנס.

לכן האינטגרל כולו מתכנס, כסכום של שניי אינטגרלים מתכנסים.

שאלה 4: האם ההוכחה הזו טובה?

שאלה 5: בשאלה שאלו האם האינטגרל מתבדר/מתכנס בהחלט/מתכנס בתנאי. אחרי שהראיתי שהאינטגרל מתכנס (במידה ומה שעשיתי נכון בכלל..) איך אני בודק האם הוא מתכנס בהחלט או מתכנס בתנאי?

מישהו??????????????????????????????????? זו שאלה ממבחן...מישהו יודע לענות על השאלות ששאלתי?????????

1)כן.

2)כן כי בסביבה ימנית של 0 היא חיובית.

3)אתה יכול להראות שהנגזרת שלילית. למרות שזה די ברור שהיא יורדת אז מן הסתם מספיק להגיד בלי להוכיח.

4)כן.

5)בעצם נשאר לך לבדוק אם האינטגרל עם ערך מוחלט מתכנס. וזאת באמת שאלה אחרת לגמרי.

היה לכם דבר כזה בשיעורי בית. אתה יכול להשתמש בזה ש [math]\displaystyle{ \sin ^2(x) \leq |\sin x| }[/math].

--איתמר שטיין 12:30, 15 ביולי 2013 (IDT)

שאלה מתוך מבחן מועד א' 2012

[math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }dx/e^x-1=\int_{0}^{1}dx/e^x-1+\int_{1}^{\infty }dx/e^x-1 }[/math]

הפרדתי לשניי אינטגרלים כי יש 2 נקודות בעייתיות.

על מנת לבדוק התכנסות של האינטגרל בין 0 ל-1 אני רוצה להשוות אותו לאינטגרל מהצורה: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{a}dx/x^\alpha }[/math]

במקרה שלנו, a=1, לכן אנחנו משווים לאינטגרל מהצורה: [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}dx/x^\alpha }[/math]

אבל אני לא יודע מה המעריך...אני רוצה לבחור את [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] באופן כזה, שהפונקציה [math]\displaystyle{ 1/x^\alpha }[/math], תתנהג כמו

הפונקציה [math]\displaystyle{ 1/(e^{x}-1) }[/math], וכך אני אוכל להשתמש במבחן ההשוואה. אבל איך עושים את הבחירה הזו? איך אני בוחר את אלפא בצורה כזו ששתיי הפונקציות הללו יתנהגו בצורה דומה???


  • אתה לא חייב ששתי הפונקציות תתנהגנה בצורה דומה. מספיק לך למצוא פונקציה מתכנסת שהיא יותר גדולה מהפונקציה שיש כאן.

בגלל ש [math]\displaystyle{ e^x }[/math] עולה מאוד מהר. מן הסתם השוואה עם [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math] תעבוד לך באינסוף. בסביבת [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אין לי אינטואיציה טובה לתת לך. אתה יכול לנסות ולראות מה עובד (אני חושב ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] עובד)--איתמר שטיין 12:46, 15 ביולי 2013 (IDT)

שאלה כללית

נניח שיש לי אינטגרל של פונקציה כלשהי (f(x וגבולות האינטגרל הם a ו- b, אבל הפונקציה חסומה בסביבה של הגבולות הללו.

האם אני יכול להסיק מכך שמדובר באינטגרל מתכנס?

ושאלה נוספת:

נניח יש לי אינטגרל של פונקציה g(x) בין a ל-b כלשהם.

אני בודק האם לפונקציה יש גבול בסביבת הנקודה a ובסביבת הנקודה b.

נניח בדקתי, ויצא שיש גבול סופי.

למה זה אומר שהפונקציה g חסומה בסביבת הנקודות a ו-b?

כיצד מתקיימת כאן ההגדרה של חסימות? אני בעצם טוען שקיום גבול בסביבת נקודה מסויימת גורר חסימות של הפונקציה בסביבת הנקודה הזו.

למה הגרירה הזו נכונה?

לגבי השאלה הראשונה, ממש לא. ניקח פונקציה f שמוגדרת בקטע [1,1-] כך שבין 0 ל-1 (לא כולל 0) היא [math]\displaystyle{ \frac1x }[/math] ובין 1- ל-0 (כולל 0) היא זהותית 0.

אוקיי..אשנה קצת את השאלה...אותה שאלה בדיוק+הדרישה ש-f תיהיה רציפה

לגבי השאלה האחרונה, זה אינפי 1. קיים גבול L ולכן לכל מרחק שתתן לי, בפרט 1 (סתם בחרתי מספר), קיימת סביבה של a כך שכל x בה יקיים ש- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] יהיה רחוק מ-L עד כדי 1. ולכן מתקיים שקיימת סביבה שלכל x בה [math]\displaystyle{ |f(x)-L|\lt 1 \Rightarrow L-1\lt f(x)\lt L+1 }[/math]. והנה מצאת סביבה שבה הפונקציה חסומה.

שאלה ממבחן.

הוכח הפרך:

א. [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }f(x)dx }[/math] מתבדר ==> [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }f(x^{2})dx }[/math] מתבדר.

ב. [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }f(x) }[/math] מתבדר ==> [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty }f^{2}(x) }[/math] מתבדר.

אם אפשר גם הסברים...באיזה כיוון בכלל צריך לחשוב כאן...אינטואיטיבית..מה הולך פה..אמורים לעשות את זה עם מבחני השוואה בכלל? הכל פה כללי...אין פונקציות ספציפיות..

תודה לעוזרים.


מישהו יודע איך עושים את השאלה הזו????????????????????????????????????????????????????????????


  • מספיק להסתכל על התנהגות של [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^\alpha} }[/math] כדי למצוא תשובה.

אנחנו יודעים ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{x} }[/math] מתבדר כשהאינטגרל הוא מ [math]\displaystyle{ 1 }[/math] עד אינסוף ו [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math] מתכנס בתחום הזה.

אמנם [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x} }[/math] הוא לא הפרכה טובה לשאלה כי [math]\displaystyle{ \frac{1}{x^2} }[/math] גם הוא מתבדר בתחום [math]\displaystyle{ 0 }[/math] עד [math]\displaystyle{ \infty }[/math].

אבל אם עושים תיקון קטן. למשל לוקחים [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x+1} }[/math] אז הוא הפרכה טובה לשתי הטענות.--איתמר שטיין 17:49, 16 ביולי 2013 (IDT)

התנהגות של פונקציות בסביבת אפס

למה x^2 מתנהג כמו 1 פחות cosx בסביבת אפס?

למה sinx מתנהג כמו x בסביבת אפס????

איך מוכיחים את הדברים האלה?


1. הוא לא. [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] "מתנהג" כמו [math]\displaystyle{ 2(1-cos(x)) }[/math].

2. בעקרון ההוכחה היא גאומטרית, אבל אתה יכול לשקר לעצמך ולהשתמש בכלל לופיטל.

התכנסות במידה שווה - שאלת הבנה

נניח אני מסתכל על סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ fn(x)=x^{n} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ \left [ 0,a \right ] }[/math] כאשר a<1

ובפעם השנייה, אני מסתכל על אותה סדרת פונקציות בדיוק, רק בקטע [math]\displaystyle{ \left [ 0,1 \right ] }[/math]

במקרה השני, אם אני ממש מסתכל כיצד נראית סדרת הפונקציות הזו על ציר מספרים (ברביע הראשון), אני יכול לראות, שבהינתן מרחק אפסילון כלשהו

על ציר ה-Y, מתקיים שעבור x1 כלשהו שאבחר בקטע בין 0 ל-1, קיים N1 שהחל ממנו מתקיים [math]\displaystyle{ \mid fn(x)-f(x)\mid \lt \varepsilon }[/math].

שאלה 1: עבור כל x בקטע שקטן מ-x1, ניתן לבחור את אותו N1 שמתאים ל-x1, כך שיתקיים:

[math]\displaystyle{ \mid fn(x)-f(x)\mid \lt \varepsilon }[/math] ?


לעומת זאת, אם אבחר באותו קטע נקודה x2 המקיימת x2>x1, אז בהכרח קיים N2>N1 שהחל ממנו מתקיים 

[math]\displaystyle{ \mid fn(x)-f(x)\mid \lt \varepsilon  }[/math]. כלומר, נצטרך "ללכת" רחוק יותר בסדרה, על מנת להבטיח מרחק קטן מאפסילון.


כלומר, ניתן לראות שעבור x-ים שונים בקטע, מתקיים שלכל x קיים N אחר שהחל ממנו מתקיים: c. לכן אין כאן התכנסות במידה שווה כי ל-x-ים שונים, בהכרח קיימים N-ים שונים

שאלה 2: האם מה שאמרתי עד עכשיו נכון?

כעת, אני מסתכל על המקרה הראשון, שכאמור מדבר על אותה סדרת פונקציות, רק שהפעם בקטע [math]\displaystyle{ \left [ 0,a \right ] }[/math], כאשר a<1

אני טוען שכל מה שאמרתי עד עכשיו , תקף גם כאן.

ולכן גם במקרה זה, אין התכנסות במידה שווה.

מה בדיוק הטעות שלי?

תודה רבה לעוזרים


שאלה 2) כן. כל ההסבר נכון.

הטעות שלך היא בלוגיקה.

מה שאתה אומר פה זה כמו להגיד, לא הצלחתי להוכיח את הטענה ולכן היא לא נכונה.

אם אתה יודע שעבור כל [math]\displaystyle{ x }[/math] קיים [math]\displaystyle{ N }[/math] (אחר) כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \mid fn(x)-f(x)\mid \lt \varepsilon }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\gt N }[/math].

זה עדיין לא אומר שאין התכנסות במ"ש. רק שלא הצלחת להוכיח.

מקווה שזה ברור--איתמר שטיין 12:58, 15 ביולי 2013 (IDT)

שאלה

יש משפט שאומר: סדרת פונקציות רציפות fn(x) מתכנסת במידה שווה לפונקציה f <== f רציפה

מהמשפט הזה נובעת המסקנה: אם סדרת הפונקציות fn(x) מתכנסת נקודתית לf(x) , ו-fn(x) סדרת פונקציות רציפות, אך f לא רציפה, אז ההתכנסות אינה במידה שווה.

השאלה שלי היא מדוע בכלל צריך לציין שיש התכנסות נקודתית? למה המסקנה שנובעת, היא לא אותה מסקנה בדיוק, רק בלי התנאי ש-fn סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית לf(x).


עקרונית אתה צודק. אם [math]\displaystyle{ f_n }[/math] סדרת פונקציות רציפות ו [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה לא רציפה אתה יודע שהסדרה בטוח לא מתכנסת במ"ש ל [math]\displaystyle{ f }[/math]. אבל זה מעניין בעיקר אם אתה יודע שהסדרה כן מתכנסת נקודתית לפונקציה.--איתמר שטיין 12:52, 15 ביולי 2013 (IDT)

תודה על התשובות

אינטגרביליות היא תכונה חזקה מרציפות?

אפשר הסבר?

אפשר הסבר למה התכוונת? "תכונה חזקה"?


תכונה שמתאמנת במכון כושר.


  • לי נראה דווקא הפוך. היות וכל פונקציה רציפה על קטע כלשהוא היא אינטגרבילית עליו. זה אומר שרציפות חזקה מאינטגרביליות.

באופן כללי תכונה A חזקה מתכונה B אם כל מי שמקיים את A בהכרח מקיים את B.--איתמר שטיין 17:55, 16 ביולי 2013 (IDT)

שאלה על פתרון של שאלה בעזרת שימוש במבחן וויירשטראס

השאלה היא בעקרון די פשוטה...

אני צריך להוכיח שהטור [math]\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty }sinx/n^2 }[/math] מתכנס במ"ש.

היות ומתקיים: [math]\displaystyle{ sinx/n^2\lt 1/n^2 }[/math]

והיות ו-[math]\displaystyle{ \sum_{1}^{\infty }1/n^2 }[/math] מתכנס, הרי שהטור שלנו מתכנס במ"ש.

מה הולך פה בעצם? יש כאן טור מספרים, (אחד חלקי n^2) וטור פונקציות (הטור שעליו נשאלנו)

המשפט הזה מאפשר לנו להסיק שאם חסמתי טור פונקציות, ע"י טור מספרים מתכנס, אז הטור פונקציות גם מתכנס?

אם כן, אז זה אומר שמבחן ההשוואה הראשון של טורים מספריים (מאינפי1) עובד גם כאשר חוסמים טור פונקציות, ע"י טור מספרים?


  • כן, אתה יכול לחשוב על זה ככה.--איתמר שטיין 17:51, 16 ביולי 2013 (IDT)

מישהו יכול לעשות לי סדר בנושא של סדרה/טור הנדסי?

איך הולכת שם הנוסחה בדיוק? אני שם לב שיש לה כל מיני ווריאציות או משהו כזה...

נניח יש לי את הטור הבא:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty }x^{n} }[/math], הסכום שלו הוא [math]\displaystyle{ 1/(1-x) }[/math]?? אם כן, למה?

אם לעומת זאת יש לי את הטור:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }x^{n} }[/math] הפעם אני מתחיל מ-n=1. מה סכום הטור?

אם יש את הטור הזה:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty }x^{(k-1)} }[/math].

מה הסכום? ראיתי באחד מהמערכי תרגול שהסכום הוא: [math]\displaystyle{ (1-x^{n})/(1-x) }[/math].

בקיצור, אני לא מבין מה הולך פה...איך עובדים עם הנוסחה הזו? מה הנוסחה בדיוק? למה כל פעם יוצא פה משהו אחר?

אם אפשר הסבר מפורט זה יהיה מעולה כי אני שם לב שאני לא יודע לעבוד עם זה.

תודה


http://bit.ly/1armrSS

אני יודע לפנות לויקיפדיה שצריך...במקרה הזה זה פשוט לא עוזר לי. אני לא מבין איך זה עונה על השאלות שלי, וגם אני לא מבין איך עובדים עם סכום סדרה/טור הנדסי


  • תראה, הנוסחה הכי כללית היא כשיש לך מנה [math]\displaystyle{ q }[/math] ואיבר ראשון [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] אז הסכום של [math]\displaystyle{ n }[/math] איברים הוא

[math]\displaystyle{ a_1\frac{1-q^n}{1-q} }[/math]

ולכן סכום הטור האינסופי (כאשר [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math]) הוא

[math]\displaystyle{ a_1\frac{1}{1-q} }[/math]

בפרט כדאי לזכור ש

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x} }[/math]

לעומת זאת בטור

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }x^{n} }[/math] האיבר הראשון הוא [math]\displaystyle{ x }[/math] ולא [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ולכן הסכום הוא

[math]\displaystyle{ \frac{x}{1-x} }[/math]

יש עוד דרכים לחשוב על זה, אבל באמת מספיק לזכור את הנוסחה לסכום סדרה הנדסית. --איתמר שטיין 16:57, 17 ביולי 2013 (IDT)

כמה שאלות...שאלות 4-6 מתייחסות לכל אחד מהטורים שמופיעים בתחילת הפוסט הזה.

1.

נתונים הטורים הבאים: טור א': [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }n^{2}\frac{(1-x)^{n}}{(1+x)^{n}} }[/math] 

                    טור ב': [math]\displaystyle{  \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(n+x)^{n}}{n^{(n+x)}}  }[/math]


אני צריך למצוא את התחום התכנסות של כל אחד מהם.

1. באופן כללי, (לא מדבר ספציפית על השאלה הזו) אם כתוב שצריך למצוא את התחום התכנסות של הטור, אני יכול להסיק מכך שמדובר בטור חזקות?

2.אם התשובה לשאלה 1 שלילית, אז יתכן שמדובר סתם בטור פונקציות כלשהו, ואני צריך למצוא את תחום ההתכנסות שלו?

3. אם התשובה לשאלה 2 חיובית, איך אני מוצא תחום התכנסות של סתם טור פונקציות? המבחנים "קושי הדמר" ו"דלאמבר" לא יהיו רלוונטים במקרה כזה?

4. בקשר לטורים הספציפיים האלה (שמופיעים למעלה). אלה טורי חזקות? אם כן, למה? ממה שאני יודע, טור חזקות הוא טור שצורתו היא:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }anx^n }[/math] או [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }an(x-alpha)^n }[/math].

כאשר an סדרת המקדמים של הטור, ואינה תלויה ב-x.

למה הטורים שבשאלה הם מאחת הצורות הללו? איך אני מביא אותם לאחת מהצורות הללו?

5. מי זה alpha בכל אחד מהטורים שבשאלה, ומי זה x בכל אחד מהטורים שבשאלה?

6. בכל אחד מהטורים שבשאלה, סביב איזו נקודה מפותח הטור?

7. אם שניי הטורים הללו אכן טורי חזקות, מציאת רדיוס התכנסות ניתנת ע"י מבחן קושי הדמר או מבחן דלאמבר, ומותר לי להפעיל אותם רק על

על סדרת המקדמים? כלומר אסור המבחנים הללו יפעלו על ביטוי שאינו תלוי ב-x? 8. מי זה an בכל אחד מהטורים?

תודה מראש על העזרה!


1) לא. אפשר עקרונית לבקש למצוא תחום התכנסות של כל טור פונקציות/סדרת פונקציות (כל ערכי ה [math]\displaystyle{ x }[/math] שבהם יש התכנסות)

2) אם זה לא טור חזקות, אז אין דרך פשוטה כל כך. צריך לנסות להבין בשביל איזה ערכים הוא מתכנס.

4) אתה צודק, אלה לא טורי חזקות. את הטור שבא' אפשר "לתקן" בקלות לטור חזקות.

מציבים [math]\displaystyle{ y=\frac{1-x}{1+x} }[/math] ואז זה הופך להיות טור חזקות ב[math]\displaystyle{ y }[/math]. מוצאים את תחום ההתכנסות שלו ו"ממירים" את זה חזרה ל [math]\displaystyle{ x }[/math] (כלומר מוצאים את ערכי [math]\displaystyle{ x }[/math]. שעבורם [math]\displaystyle{ \frac{1-x}{1+x} }[/math] נמצא בטווח הזה).

גילוי נאות: את ב' אני לא רואה כרגע בשלוף איך פותרים. אני צריך לחשוב על זה.--איתמר שטיין 17:04, 17 ביולי 2013 (IDT)

נראה לי שאני רואה איך אפשר לפתור את ב'. הטכניקות הסטנדרטיות לא כל כך עובדות וצריך פשוט להסתכל על הביטוי ולנסות להבין עבור איזה [math]\displaystyle{ x }[/math] טור המספרים שמתקבל מתכנס.--איתמר שטיין 17:14, 17 ביולי 2013 (IDT)

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-133_תשעג_סמסטר_ב&oldid=36051"