הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה מופשטת 1- מועד א' קיץ תשע"ג"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "==שאלה 2== ===סעיף א'=== הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה <math>16x\equiv 29!\cdot 25^{92} \operatorname{...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (←שאלה 2) |
||
שורה 9: | שורה 9: | ||
נזכור ש- <math>\varphi(31)=30</math> (אם p ראשוני אז <math>\varphi(p)=p-1</math>) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, <math>25^{30}\equiv 1 \operatorname{mod}31</math> ומכאן <math>25^{92}=25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 25^2 \operatorname{mod}31 </math>. קל לחשב ש- <math>25^2\equiv 5 \operatorname{mod}31</math> ולכן קיבלנו את המשוואה: <math>16x\equiv 5 \operatorname{mod}31</math>. עוד נראה ש- <math>2\cdot 16 \equiv 1 \operatorname{mod} 31</math> ולכן <math>2\cdot 16x \equiv 2\cdot 5 \operatorname{mod}31</math> ומכאן ש- <math>x\equiv 10 \operatorname{mod}31</math> | נזכור ש- <math>\varphi(31)=30</math> (אם p ראשוני אז <math>\varphi(p)=p-1</math>) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, <math>25^{30}\equiv 1 \operatorname{mod}31</math> ומכאן <math>25^{92}=25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^{30}\cdot 25^2 \equiv 1\cdot 1\cdot 1\cdot 25^2 \operatorname{mod}31 </math>. קל לחשב ש- <math>25^2\equiv 5 \operatorname{mod}31</math> ולכן קיבלנו את המשוואה: <math>16x\equiv 5 \operatorname{mod}31</math>. עוד נראה ש- <math>2\cdot 16 \equiv 1 \operatorname{mod} 31</math> ולכן <math>2\cdot 16x \equiv 2\cdot 5 \operatorname{mod}31</math> ומכאן ש- <math>x\equiv 10 \operatorname{mod}31</math> | ||
+ | |||
+ | ===סעיף ב'=== | ||
+ | האם קיים מונומורפיזם <math>U_9 \to S_7</math>? | ||
+ | |||
+ | ====אינטואיציה ראשונית לפתרון==== | ||
+ | נשים לב ש- <math>|U_9|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל- <math>U_9</math>). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון. | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של <math>U_9</math>) לתמורה <math>(1 2)(3 4 5)</math>. זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו. | ||
+ | |||
+ | ===סעיך ג'=== | ||
+ | הוכיחו: בחבורת מנה <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית. | ||
+ | |||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה <math>\frac{m}{n}+\mathbb{Z}</math> ולכן נראה כי <math>n(\frac{m}{n}+\mathbb{Z})=m+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}</math> ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי. | ||
+ | |||
+ | קל לראות ש- <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math> איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש-<math>\mathbb{Q}</math> לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית |
גרסה מ־21:13, 5 בספטמבר 2013
תוכן עניינים
שאלה 2
סעיף א'
הוכח את משפט אוילר על החזקות ופתור את המשוואה
פתרון
משפט אוילר על החזקות אומר שאם אז . אבל אם אז לפי משפט, . אחת התוצאות של משפט לגרנז' אומרת שאם מעלים איבר בחזקת סדר של החבורה, נקבל את הנטרלי של החבורה. במקרה הזה, הנטרלי הוא 1 והסדר של החבורה הוא . נזכור שההגדרה של היא בעצם ולכן קיבלנו .
כעת נפתור את המשוואה. כיוון ש- 31 ראשוני, אז לפי משפט וילסון, וכיוון ש-30 הפיך ב- אפשר להסיק ש- . קיבלנו: .
נזכור ש- (אם p ראשוני אז ) ולכן לפי המשפט שהוכחנו, ומכאן . קל לחשב ש- ולכן קיבלנו את המשוואה: . עוד נראה ש- ולכן ומכאן ש-
סעיף ב'
האם קיים מונומורפיזם ?
אינטואיציה ראשונית לפתרון
נשים לב ש- . לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: או . כיוון ש- אבלית ו- לא, נקבל כי ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- ל- , אזי ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון שהיא תהיה איזומורפית ל- ). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- ולשלוח את אחד מהיוצרים של לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.
פתרון
נשלח את 2 (קל לראות שהוא אחד מהיוצרים של ) לתמורה . זוהי תמורה מסדר 6 ולכן סיימנו.
סעיך ג'
הוכיחו: בחבורת מנה הסדר של כל איבר הוא סופי, אבל החבורה אינה נוצרת סופית.
פתרון
כל איבר בחבורת המנה הוא מהצורה ולכן נראה כי ולכן הסדר של האיבר קטן מ-n, בפרט סופי.
קל לראות ש- איזומורפית לקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 (לא כולל 1). הוכחנו בתרגול ובבוחן ש- לא נוצרת סופית, נשתמש באותה הוכחה להוכיח שקבוצת הרציונאלים בין 0 ל-1 לא נוצרת סופית