הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:הגדרת הבסיס הדואלי"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{definition} יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$. נגדיר בסיס $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$ של $V...") |
|||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| + | כעת נרצה לכל בסיס להתאים בסיס במרחב הדואלי, "בסיס דואלי". ההתאמה הזו תייצר לנו בהמשך את האיזומורפיזם בין המרחב למרחב הדואלי. | ||
| + | |||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
| שורה 6: | שורה 8: | ||
0,\quad i\neq j | 0,\quad i\neq j | ||
\end{matrix} \right.$$ | \end{matrix} \right.$$ | ||
| − | לכל $i=1,\dots,n$, ולכל $j=1,\dots,n$, ונמשיך כל $\varphi_i$ לפי לינאריות. | + | לכל $i=1,\dots,n$, ולכל $j=1,\dots,n$, ונמשיך כל $\varphi_i$ לפי לינאריות. כלומר, אם ניקח וקטור כלשהו $v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$, אזי |
$$\varphi_i\left(v \right )= | $$\varphi_i\left(v \right )= | ||
\alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0} | \alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0} | ||
גרסה מ־09:46, 31 באוגוסט 2014
כעת נרצה לכל בסיס להתאים בסיס במרחב הדואלי, "בסיס דואלי". ההתאמה הזו תייצר לנו בהמשך את האיזומורפיזם בין המרחב למרחב הדואלי.
\begin{definition}
יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$. נגדיר בסיס $B^*=\left \{ \varphi_1,\dots,\varphi_n \right \}$ של $V^*$, שייקרא \textbf{הבסיס הדואלי ל-$B$}, על ידי $$\varphi_i\left(v_j \right )=\delta_{ij}=\left \{ \begin{matrix} 1,\quad i=j\\ 0,\quad i\neq j \end{matrix} \right.$$ לכל $i=1,\dots,n$, ולכל $j=1,\dots,n$, ונמשיך כל $\varphi_i$ לפי לינאריות. כלומר, אם ניקח וקטור כלשהו $v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$, אזי $$\varphi_i\left(v \right )= \alpha_1\underbrace{\varphi_i\left(v_1 \right )}_{0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\varphi_i\left(v_i \right )}_{1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\varphi_i\left(v_n \right )}_{0} =\alpha_i$$
\end{definition}
מההגדרה קיבלנו את הנוסחה $$\left[v \right ]_B=\left(\begin{matrix} \varphi_1\left(v \right )\\ \vdots\\ \varphi_n\left(v \right ) \end{matrix} \right )$$
