הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חישוב המקדמים בצירוף לינארי לפי בסיס אורתונורמלי"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "בסיס אורתונורמלי נותן גם דרך פשוטה לחישוב המקדמים בצירוף הלינארי של וקטור הנפרש על ידי ה...") |
מ (3 גרסאות יובאו) |
||
(2 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | יהי $B=\left\{v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, ויהי $u\in V$, כאשר $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$. | + | יהי $B=\left\{v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, ויהי $u\in V$, כאשר מתקיים $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$. |
אזי $\alpha_i=\left \langle u,v_i \right \rangle$. | אזי $\alpha_i=\left \langle u,v_i \right \rangle$. | ||
שורה 10: | שורה 10: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | $\left \langle u,v_i \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_i \right \rangle | + | $$\left \langle u,v_i \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_i \right \rangle |
=\alpha_1\underbrace{\left \langle v_1,v_i \right \rangle}_{=0} | =\alpha_1\underbrace{\left \langle v_1,v_i \right \rangle}_{=0} | ||
+\cdots+ | +\cdots+ | ||
\alpha_i\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1} | \alpha_i\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1} | ||
+\cdots+ | +\cdots+ | ||
− | \alpha_n\underbrace{\left \langle v_n,v_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i$ | + | \alpha_n\underbrace{\left \langle v_n,v_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i$$ |
\end{proof} | \end{proof} |
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
בסיס אורתונורמלי נותן גם דרך פשוטה לחישוב המקדמים בצירוף הלינארי של וקטור הנפרש על ידי הבסיס.
\begin{remark}
יהי $B=\left\{v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, ויהי $u\in V$, כאשר מתקיים $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$. אזי $\alpha_i=\left \langle u,v_i \right \rangle$.
\end{remark}
\begin{proof}
$$\left \langle u,v_i \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,v_i \right \rangle =\alpha_1\underbrace{\left \langle v_1,v_i \right \rangle}_{=0} +\cdots+ \alpha_i\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1} +\cdots+ \alpha_n\underbrace{\left \langle v_n,v_i \right \rangle}_{=0}=\alpha_i$$
\end{proof}