הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:כל מטריצה משולשית עליונה דומה לתחתונה"
(יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או...") |
|||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | ||
| שורה 13: | שורה 10: | ||
$P=\left(\begin{matrix} | $P=\left(\begin{matrix} | ||
0 & &1 \\ | 0 & &1 \\ | ||
| − | & \ | + | & \dots & \\ |
1 & &0 | 1 & &0 | ||
| − | \end{matrix} \right )$. | + | \end{matrix} \right )$ |
| + | )כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים(. | ||
| − | + | קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$. | |
| − | + | ||
| + | נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים | ||
| + | $\left(\begin{matrix} | ||
| + | 0 & &1 \\ | ||
| + | & \dots & \\ | ||
| + | 1 & &0 | ||
| + | \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} | ||
| + | c_{11} & & \star\\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & c_{nn} | ||
| + | \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} | ||
| + | 0 & &1 \\ | ||
| + | & \dots & \\ | ||
| + | 1 & &0 | ||
| + | \end{matrix} \right )= | ||
| + | \left ( \begin{matrix} | ||
| + | 0 & & c_{nn}\\ | ||
| + | & \dots & \\ | ||
| + | c_{11} & & \star | ||
| + | \end{matrix} \right ) | ||
| + | \left(\begin{matrix} | ||
| + | 0 & &1 \\ | ||
| + | & \dots & \\ | ||
| + | 1 & &0 | ||
| + | \end{matrix} \right )= | ||
| + | \left ( \begin{matrix} | ||
| + | c_{nn} & &0 \\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | \star & & c_{11} | ||
| + | \end{matrix} \right )$. | ||
גרסה מ־16:03, 17 באוגוסט 2014
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:
\underline{הערה:}
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה.
\textit{הוכחה:}
נגדיר את המטריצה $P=\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )$ )כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים(.
קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$.
נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים $\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} c_{11} & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & c_{nn} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} 0 & & c_{nn}\\
& \dots & \\
c_{11} & & \star \end{matrix} \right ) \left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} c_{nn} & &0 \\
& \ddots & \\
\star & & c_{11} \end{matrix} \right )$.
