הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:כל מטריצה משולשית עליונה דומה לתחתונה"
מ (3 גרסאות יובאו) |
|||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל: | ||
| − | \ | + | \begin{remark} |
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה. | אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה. | ||
| − | \ | + | \end{remark} |
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
נגדיר את המטריצה | נגדיר את המטריצה | ||
| − | $P=\left(\begin{matrix} | + | $$P=\left(\begin{matrix} |
0 & &1 \\ | 0 & &1 \\ | ||
& \dots & \\ | & \dots & \\ | ||
1 & &0 | 1 & &0 | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | + | (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים). | |
קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$. | קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$. | ||
נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים | נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים | ||
| − | $\left(\begin{matrix} | + | $$\left(\begin{matrix} |
0 & &1 \\ | 0 & &1 \\ | ||
& \dots & \\ | & \dots & \\ | ||
| שורה 30: | שורה 32: | ||
& \dots & \\ | & \dots & \\ | ||
1 & &0 | 1 & &0 | ||
| − | \end{matrix} \right )= | + | \end{matrix} \right )=$$ |
| + | $$= | ||
\left ( \begin{matrix} | \left ( \begin{matrix} | ||
0 & & c_{nn}\\ | 0 & & c_{nn}\\ | ||
| שורה 45: | שורה 48: | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
\star & & c_{11} | \star & & c_{11} | ||
| − | \end{matrix} \right )$. | + | \end{matrix} \right )$$. |
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
בהגדרה של שילוש מטריצות לא ציינו האם המטריצה $P^{-1}AP$ משולשת עליונה או תחתונה. מסתבר שאין הבדל:
\begin{remark}
אם $C$ מטריצה משולשת עליונה, אזי $C$ דומה למטריצה משולשת תחתונה.
\end{remark}
\begin{proof}
נגדיר את המטריצה $$P=\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )$$ (כלומר, 1-ים על האלכסון המקיים $i+j=n+1$, ובשאר אפסים).
קל לבדוק כי $P^2=I$, ולכן $P^{-1}=P$.
נסתכל על $P^{-1}CP$. מתקיים $$\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix} c_{11} & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & c_{nn} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )=$$ $$= \left ( \begin{matrix} 0 & & c_{nn}\\
& \dots & \\
c_{11} & & \star \end{matrix} \right ) \left(\begin{matrix} 0 & &1 \\
& \dots & \\
1 & &0 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} c_{nn} & &0 \\
& \ddots & \\
\star & & c_{11} \end{matrix} \right )$$.
\end{proof}
