הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד"
(יצירת דף עם התוכן "הוכחנו את משפט ז'ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכ...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
הוכחנו את משפט ז'ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר: | הוכחנו את משפט ז'ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר: | ||
| − | \ | + | \begin{thm}[משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד] |
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור כך ש-$\lambda$ הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-$T$ הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא $J_m\left(\lambda\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים. | יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור כך ש-$\lambda$ הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-$T$ הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא $J_m\left(\lambda\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים. | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| − | + | \begin{proof} | |
| + | נתבונן באופרטור $T-\lambda I$. הוא נילפוטנטי, כי לפי משפט קאלי-המילטון, | ||
| + | $$\left(T-\lambda I\right)^n=p_T\left(T\right)=0$$ | ||
לפי משפט ז'ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את $T-\lambda I$ בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_m\left(0\right)$. במילים אחרות, קיים בסיס $B$ של $V$ כך שמתקיים: | לפי משפט ז'ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את $T-\lambda I$ בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_m\left(0\right)$. במילים אחרות, קיים בסיס $B$ של $V$ כך שמתקיים: | ||
| − | + | $$\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} | |
| − | $\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} | + | \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(0 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ |
| − | J_{m_1}\left(0 \right ) & & 0\\ | + | & \ddots & \\ |
| − | &\ddots | + | 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(0 \right ) \end{array} |
| − | 0 & & J_{m_k}\left(0 \right ) | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | \end{matrix} \right )$ | + | |
| − | + | ||
ונקבל | ונקבל | ||
| + | $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} | ||
| + | \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda \right )\\\hline \end{array} & & 0\\ | ||
| + | & \ddots & \\ | ||
| + | 0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda \right ) \end{array} | ||
| + | \end{matrix} \right )$$ | ||
| + | היחידות היא מסקנה מיידית מהיחידות במקרה הנילפוטנטי. | ||
| − | + | \end{proof} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | \end{ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
הוכחנו את משפט ז'ורדן עבור אופרטור לינארי נילפוטנטי. מהגרסה שהוכחנו, נוכל להסיק גרסה מוכללת יותר:
\begin{thm}[משפט ז'ורדן לאופרטור עם ערך עצמי יחיד]
יהי $T:V\rightarrow V$ אופרטור כך ש-$\lambda$ הוא ערך עצמי יחיד שלו. אזי יש ל-$T$ הצגה בצורה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא $J_m\left(\lambda\right)$. הצגה זו יחידה עד כדי הסדר של הבלוקים.
\end{thm}
\begin{proof}
נתבונן באופרטור $T-\lambda I$. הוא נילפוטנטי, כי לפי משפט קאלי-המילטון, $$\left(T-\lambda I\right)^n=p_T\left(T\right)=0$$ לפי משפט ז'ורדן הנילפוטנטי, ניתן להציג את $T-\lambda I$ בעזרת מטריצה אלכסונית בלוקים, כך שכל בלוק הוא מהצורה $J_m\left(0\right)$. במילים אחרות, קיים בסיס $B$ של $V$ כך שמתקיים: $$\left[T \right ]_B-\lambda I_n=\left[T-\lambda I \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(0 \right )\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(0 \right ) \end{array} \end{matrix} \right )$$ ונקבל $$\left[T \right ]_B=\left(\begin{matrix} \begin{array}{c|}J_{m_1}\left(\lambda \right )\\\hline \end{array} & & 0\\
& \ddots & \\
0 & & \begin{array}{|c}\hline J_{m_k}\left(\lambda \right ) \end{array} \end{matrix} \right )$$ היחידות היא מסקנה מיידית מהיחידות במקרה הנילפוטנטי.
\end{proof}
