הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:משפט פיתגורס במרחב מכפלה פנימית כללי"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "כעת נוכיח הכללה של משפט פיתגורס. \begin{thm} משפט פיתגורס יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתו...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 12: | שורה 12: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | $$\left \| u \right \|^2=\left \langle u,u \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right \rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_j}\left \langle v_i,v_j \right \rangle=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1}=\sum_{i=1}^n\left | \alpha_i \right |^2$$ | + | $$\left \| u \right \|^2=\left \langle u,u \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right \rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_j}\left \langle v_i,v_j \right \rangle=\\$$ |
| + | $$=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1}=\sum_{i=1}^n\left | \alpha_i \right |^2$$ | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
כעת נוכיח הכללה של משפט פיתגורס.
\begin{thm} משפט פיתגורס
יהי $B=\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס אורתונורמלי של $V$, ויהי $u\in V$, $u=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n$. אזי $\left \| u \right \|^2=\left | \alpha_1 \right |^2+\cdots+\left|\alpha_n\right|^2$
\end{thm}
\begin{proof}
$$\left \| u \right \|^2=\left \langle u,u \right \rangle=\left \langle \alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n,\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n \right \rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_j}\left \langle v_i,v_j \right \rangle=\\$$ $$=\sum_{i=1}^n\alpha_i\overline{\alpha_i}\underbrace{\left \langle v_i,v_i \right \rangle}_{=1}=\sum_{i=1}^n\left | \alpha_i \right |^2$$
\end{proof}
