הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:פולינום אופייני של מטריצות דומות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "\begin{remark} למטריצות דומות אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך - איננו נכון. \end{remark} \begin{proo...")
 
מ (2 גרסאות יובאו)
 
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת)
שורה 14: שורה 14:
 
הפרכת הכיוון הנגדי:
 
הפרכת הכיוון הנגדי:
 
ניקח
 
ניקח
$$A=I=\left ( \begin{matrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right ),\quad $A'=J_2\left ( 1 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{matrix} \right )$$
+
$$A=I=\left ( \begin{matrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right ),\quad A'=J_2\left ( 1 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{matrix} \right )$$
מניתוח קודם, $A\nsim A'$, אבל קל לוודא שאכן $p_A\left ( x \right )=p_{A'}\left ( x \right )$.
+
מניתוח קודם,  
 +
$A\nsim A'$
 +
, אבל קל לוודא שאכן $p_A\left ( x \right )=p_{A'}\left ( x \right )$.
  
 
\end{proof}
 
\end{proof}

גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014

\begin{remark}

למטריצות דומות אותו הפולינום האופייני. בכיוון ההפוך - איננו נכון.

\end{remark}

\begin{proof}

אם $A\sim A'$, אזי קיימת $P$ כך ש-$A'=P^{-1}AP$. אם כן, $$p_{A'}\left ( x \right )=\det\left ( xI-A' \right )=\det\left ( xI-P^{-1}AP \right )=\det\left ( xP^{-1}IP-P^{-1}AP \right )=$$ $$=\det\left ( P^{-1}\left ( xI-A \right ) P\right )=\det\left ( P^{-1} \right )\det\left ( xI-A \right )\det\left ( P \right )=$$ $$=\frac{1}{\det\left ( P \right )}\det\left ( xI-A \right )\det\left ( P \right )=\det\left ( xI-A \right )=p_A\left ( x \right )$$

הפרכת הכיוון הנגדי: ניקח $$A=I=\left ( \begin{matrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right ),\quad A'=J_2\left ( 1 \right )=\left ( \begin{matrix} 1 &1 \\ 0 &1 \end{matrix} \right )$$ מניתוח קודם, $A\nsim A'$ , אבל קל לוודא שאכן $p_A\left ( x \right )=p_{A'}\left ( x \right )$.

\end{proof}