הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:קיום בסיס אורתונורמלי - תהליך גראם-שמידט"
(יצירת דף עם התוכן "\begin{thm} לכל מרחב מכפלה פנימית $V$ ממימד סופי קיים בסיס אורתונורמלי. \end{thm} \begin{proof} יהי $\left \...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 15: | שורה 15: | ||
\item נגדיר $\overset{\circ}{v}_1=v_1$. | \item נגדיר $\overset{\circ}{v}_1=v_1$. | ||
| − | \item לכל $k>1$, נגדיר $\overset{\circ}{v}_k=v_k-\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )$ ( | + | \item לכל $k>1$, נגדיר $\overset{\circ}{v}_k=v_k-\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )$ |
| + | (\textbf{נוסחת גראם-שמידט}). | ||
\item כשנקבל בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$, נשתמש בנרמול, ונקבל בסיס אורתונורמלי. | \item כשנקבל בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$, נשתמש בנרמול, ונקבל בסיס אורתונורמלי. | ||
| שורה 29: | שורה 30: | ||
\item בכל שלב אנו מקבלים וקטור $\overset{\circ}{v}_k$, שהוא ניצב למרחב $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{k-1} \right \}$: | \item בכל שלב אנו מקבלים וקטור $\overset{\circ}{v}_k$, שהוא ניצב למרחב $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{k-1} \right \}$: | ||
| − | $v_k=\overset{\circ}{v}_k+\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )\in\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$, לכן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}\subseteq\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$, ומכאן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}=\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$. | + | $v_k=\overset{\circ}{v}_k+\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )\in\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$, |
| + | |||
| + | לכן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}\subseteq\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$, | ||
| + | |||
| + | ומכאן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}=\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$. | ||
\item יש גרסה של תהליך גראם-שמידט עם נרמול בכל צעד. זה לא ישנה את האלגוריתם, כי הנוסחה להיטל אינה תלויה בכפל של וקטור בסיס בסקלר. | \item יש גרסה של תהליך גראם-שמידט עם נרמול בכל צעד. זה לא ישנה את האלגוריתם, כי הנוסחה להיטל אינה תלויה בכפל של וקטור בסיס בסקלר. | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm}
לכל מרחב מכפלה פנימית $V$ ממימד סופי קיים בסיס אורתונורמלי.
\end{thm}
\begin{proof}
יהי $\left \{ v_1,\dots,v_n \right \}$ בסיס של $V$. נקבל מבסיס זה בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$.
נציג את \textbf{תהליך גראם-שמידט}, שבסופו יתקבל הבסיס הרצוי:
\begin{enumerate}
\item נגדיר $\overset{\circ}{v}_1=v_1$.
\item לכל $k>1$, נגדיר $\overset{\circ}{v}_k=v_k-\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )$ (\textbf{נוסחת גראם-שמידט}).
\item כשנקבל בסיס אורתוגונלי $\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_n \right \}$, נשתמש בנרמול, ונקבל בסיס אורתונורמלי.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item בכל שלב אנו מקבלים וקטור $\overset{\circ}{v}_k$, שהוא ניצב למרחב $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_{k-1} \right \}$:
$v_k=\overset{\circ}{v}_k+\pi_{\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_{k-1} \right \}}\left(v_k \right )\in\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$,
לכן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}\subseteq\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$,
ומכאן $\operatorname{Span}\left \{ v_1,\dots,v_k \right \}=\operatorname{Span}\left \{ \overset{\circ}{v}_1,\dots,\overset{\circ}{v}_k \right \}$.
\item יש גרסה של תהליך גראם-שמידט עם נרמול בכל צעד. זה לא ישנה את האלגוריתם, כי הנוסחה להיטל אינה תלויה בכפל של וקטור בסיס בסקלר.
\end{enumerate}
\end{remark}
