הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:קריטריון לשילוש"
(יצירת דף עם התוכן "הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו. | הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו. | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
מטריצה $A$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. | מטריצה $A$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. | ||
| − | \ | + | \end{thm} |
| − | + | \begin{proof} | |
| − | + | \begin{description} | |
| − | $p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} | + | \item[$\boxed{\Leftarrow}$] |
| + | |||
| + | נניח ש-$A$ ניתנת לשילוש, זאת אומרת $A\sim C$, כאשר $C$ משולשת. אזי, | ||
| + | $$p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} | ||
x-c_{11} & & \star\\ | x-c_{11} & & \star\\ | ||
& \ddots & \\ | & \ddots & \\ | ||
0 & & x-c_{nn} | 0 & & x-c_{nn} | ||
| − | \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )$ | + | \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )$$ |
| + | כדרוש. | ||
| − | $\Rightarrow$ | + | \item[$\boxed{\Rightarrow}$] |
נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. | נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים. | ||
| שורה 23: | שורה 27: | ||
יהי $\left(x-\lambda\right)$ אחד מהגורמים, כאשר $\lambda$ ע"ע של $A$. יהי $v$ ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$. | יהי $\left(x-\lambda\right)$ אחד מהגורמים, כאשר $\lambda$ ע"ע של $A$. יהי $v$ ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$. | ||
| − | נשלים את הקבוצה $\left\{v\right\}$ לבסיס $B$ של $\mathbb{F}^n$, נסמן $B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \}$. נסמן ב-$P$ את מטריצת המעבר בין הבסיסים | + | נשלים את הקבוצה $\left\{v\right\}$ לבסיס $B$ של $\mathbb{F}^n$, נסמן $B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \}$. נסמן ב-$P$ את מטריצת המעבר בין הבסיסים (הסטנדרטי ו-$B$). אזי יחסית לבסיס $B$ נקבל: |
| − | $P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} | + | $$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} |
\lambda & \star & \cdots & \star\\ | \lambda & \star & \cdots & \star\\ | ||
0 & & & \\ | 0 & & & \\ | ||
\vdots & & \tilde{A} & \\ | \vdots & & \tilde{A} & \\ | ||
0 & & & | 0 & & & | ||
| − | \end{matrix} \right )=A_1$ | + | \end{matrix} \right )=A_1$$ |
לכן, $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right )$. | לכן, $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right )$. | ||
| שורה 39: | שורה 43: | ||
נניח שהמשפט נכון ל-$n-1$, ונוכיח ל-$n$. בסימונים הנ"ל, $\tilde{A}$ ניתנת לשילוש, כלומר קיימת $Q$ כך ש-$Q^{-1}\tilde{A}Q$ משולשת. | נניח שהמשפט נכון ל-$n-1$, ונוכיח ל-$n$. בסימונים הנ"ל, $\tilde{A}$ ניתנת לשילוש, כלומר קיימת $Q$ כך ש-$Q^{-1}\tilde{A}Q$ משולשת. | ||
| − | נגדיר $C=P\cdot \left(\begin{matrix} | + | נגדיר |
| + | $$C=P\cdot \left(\begin{matrix} | ||
1 &0 \\0 | 1 &0 \\0 | ||
&Q | &Q | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
| − | + | אזי | |
| − | $C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} | + | $$C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} |
1 &0 \\0 | 1 &0 \\0 | ||
&Q | &Q | ||
| שורה 59: | שורה 64: | ||
1 &0 \\0 | 1 &0 \\0 | ||
&Q | &Q | ||
| − | \end{matrix} \right )= | + | \end{matrix} \right )=$$ |
| − | =\left(\begin{matrix} | + | $$=\left(\begin{matrix} |
\lambda &\star \\ | \lambda &\star \\ | ||
0 &Q^{-1}\tilde{A}Q | 0 &Q^{-1}\tilde{A}Q | ||
| שורה 68: | שורה 73: | ||
& & \ddots & \\ | & & \ddots & \\ | ||
0 & & & \star | 0 & & & \star | ||
| − | \end{matrix} \right )$ | + | \end{matrix} \right )$$ |
כדרוש. | כדרוש. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:22, 4 באוקטובר 2014
הגדרנו שילוש מטריצות, והמטרה הייתה להחליש את הדרישות של לכסון; שיהיו בידינו יותר מטריצות שניתן לשלש מאשר ללכסן. המשפט הבא יראה לנו שהקריטריון לשילוש יחסית חלש, כלומר מטריצות רבות מקיימות אותו.
\begin{thm}
מטריצה $A$ ניתנת לשילוש אם ורק אם $p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{description}
\item[$\boxed{\Leftarrow}$]
נניח ש-$A$ ניתנת לשילוש, זאת אומרת $A\sim C$, כאשר $C$ משולשת. אזי, $$p_A\left(x \right )=p_C\left(x \right )=\det\left(xI-C \right )=\det\left(\begin{matrix} x-c_{11} & & \star\\
& \ddots & \\
0 & & x-c_{nn} \end{matrix} \right )=\prod_{j=1}^n\left(x-c_{jj} \right )$$ כדרוש.
\item[$\boxed{\Rightarrow}$]
נניח ש-$p_A\left(x\right)$ מתפרק למכפלה של גורמים לינאריים.
יהי $\left(x-\lambda\right)$ אחד מהגורמים, כאשר $\lambda$ ע"ע של $A$. יהי $v$ ו"ע של $A$ הקשור ל-$\lambda$.
נשלים את הקבוצה $\left\{v\right\}$ לבסיס $B$ של $\mathbb{F}^n$, נסמן $B=\left \{ v,v_2,\dots,v_n \right \}$. נסמן ב-$P$ את מטריצת המעבר בין הבסיסים (הסטנדרטי ו-$B$). אזי יחסית לבסיס $B$ נקבל: $$P^{-1}AP=\left(\begin{matrix} \lambda & \star & \cdots & \star\\ 0 & & & \\ \vdots & & \tilde{A} & \\ 0 & & & \end{matrix} \right )=A_1$$
לכן, $p_A\left(x \right )=p_{A_1}\left(x \right )=\left(x-\lambda \right )\cdot p_{\tilde{A}}\left(x \right )$.
אם כן, $p_{\tilde{A}}\left(x\right)$ מתפרק לגורמים לינאריים. נשלים את ההוכחה באינדוקציה.
עבור $n=1$ אין מה להוכיח.
נניח שהמשפט נכון ל-$n-1$, ונוכיח ל-$n$. בסימונים הנ"ל, $\tilde{A}$ ניתנת לשילוש, כלומר קיימת $Q$ כך ש-$Q^{-1}\tilde{A}Q$ משולשת.
נגדיר $$C=P\cdot \left(\begin{matrix} 1 &0 \\0
&Q
\end{matrix} \right )$$ אזי $$C^{-1}AC=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0
&Q
\end{matrix} \right )^{-1}P^{-1}AP\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0
&Q
\end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0
&Q^{-1}
\end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &\tilde{A} \end{matrix} \right )\left(\begin{matrix} 1 &0 \\0
&Q
\end{matrix} \right )=$$ $$=\left(\begin{matrix} \lambda &\star \\ 0 &Q^{-1}\tilde{A}Q \end{matrix} \right )=\left(\begin{matrix} \lambda & & & \star\\
& \star & & \\ & & \ddots & \\
0 & & & \star \end{matrix} \right )$$
כדרוש.
\end{proof}
