הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון משוואה ממעלה 4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "=לפני שמתחילים= תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא 1 (אחרת פשוט נחלק בו). תמיד אפשר לה...")
 
(←‏דרך ב)
 
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
 
=לפני שמתחילים=
 
=לפני שמתחילים=
  
−
תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא 1 (אחרת פשוט נחלק בו).
+
תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^4</math> הוא <math>1</math> (אחרת פשוט נחלק בו).
  
−
תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^3</math> הוא 0. למה? נניח נתון הפולינום <math>x^4+ax^3+bx^2+c+d</math> אז נעשה הצבה <math>x=y-\frac{a}{4}</math> ונקבל פולינום <math>y^4+(*)y^2+\dots</math>.
+
תמיד אפשר להניח שהמקדם של <math>x^3</math> הוא <math>0</math>. למה? נניח נתון הפולינום <math>x^4+ax^3+bx^2+c+d</math> אז נעשה הצבה <math>x=y-\frac{a}{4}</math> ונקבל פולינום <math>y^4+(*)y^2+\dots</math>.
  
 
סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>.
 
סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>.
שורה 15: שורה 15:
  
 
משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את <math>b,c,d</math> כביטוי של <math>a</math>, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום <math>a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math> --- פולינום מדרגה '''3''' ב<math>a^2</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.
 
משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את <math>b,c,d</math> כביטוי של <math>a</math>, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום <math>a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0</math> --- פולינום מדרגה '''3''' ב<math>a^2</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.
 +
 +
=דרך ב=
 +
ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה <math>u</math>:
 +
 +
<math>x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0</math>
 +
 +
נעביר אגפים <math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2-r</math>
 +
 +
נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה <math>(*)^2=(\circ)^2</math> וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)
 +
 +
<math>(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2</math>
 +
 +
כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה <math>(*)^2=(\circ)^2</math> נרצה ש
 +
<math>-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2=0</math>
 +
 +
וזה פולינום מדרגה '''3''' ב <math>u</math> שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

גרסה אחרונה מ־06:40, 14 בנובמבר 2016

לפני שמתחילים

תמיד אפשר להניח שהמקדם של x^4 הוא 1 (אחרת פשוט נחלק בו).

תמיד אפשר להניח שהמקדם של x^3 הוא 0. למה? נניח נתון הפולינום x^4+ax^3+bx^2+c+d אז נעשה הצבה x=y-\frac{a}{4} ונקבל פולינום y^4+(*)y^2+\dots.

סך הכל נניח שאנחנו צריכים לפתור פולינום מהצורה x^4+px^2+qx+r=0.

דרך א

ננסה לפרק את הפולינום לגורמים ריבועיים x^4+px^2+q+r=^{?} (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

נפתח ונשווה מקדמים ונקבל את המערכת: \begin{cases} 0=a+c \\ p=b+d+ac \\ q=ad+bc \\ r=bd \end{cases}.

משלושת המשוואות הראשונות אפשר לקבל את b,c,d כביטוי של a, ואז הצבה במשוואה הרביעית נותנת פולינום a^6+2pa^4+(p^2-4r)a^2-q^2=0 --- פולינום מדרגה 3 בa^2 שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

דרך ב

ננסה לעשות השלמה לריבוע, תוך שאנחנו מוסיפים משתנה u:

x^4+px^2+qx+r=(x^2+\frac{p}{2}+u)^2-(\frac{p}{2})^2-u^2-pu-2ux^2+qx+r=0

נעביר אגפים (x^2+\frac{p}{2}+u)^2=2ux^2-qx+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2-r

נעשה השלמה לריבוע גם לצד השני (כאשר המטרה שלנו היא להגיע למשוואה מהצורה (*)^2=(\circ)^2 וכך לקבל פולינום מדרגה קטנה יותר.)

(x^2+\frac{p}{2}+u)^2=(\sqrt{2u}x-\frac{q}{2\sqrt{2u}})^2-\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2

כדי שבאמת נקבל משוואה מהצורה (*)^2=(\circ)^2 נרצה ש -\frac{q^2}{8u}-r+(\frac{p}{2})^2+pu+u^2=0

וזה פולינום מדרגה 3 ב u שאותו אנחנו כבר יודעים לפתור.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=פתרון_משוואה_ממעלה_4&oldid=68354