הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים) |
(←פולינום אופייני) |
||
שורה 600: | שורה 600: | ||
***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math> | ***<math>\frac{-i}{2}\left(e^{ax+ibx}-e^{ax-ibx}\right)=e^{ax}\sin(bx)</math> | ||
***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל! | ***עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל! | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *דוגמא משוואת הקפיץ <math>y''+ky=0</math>. | ||
+ | **הפולינום האופייני הינו <math>x^2+k=0</math>. | ||
+ | **שורשי הפולינום האופייני הינם <math>\pm\sqrt{k}i</math>. | ||
+ | **הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם <math>e^{0\cdot x}\cos\left(\sqrt{k}x\right),e^{0\cdot x}\sin\left(\sqrt{k}x\right)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו: | ||
+ | **ראשית, נביט באופרטור <math>\frac{d}{dx}</math> ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב<math>I</math> את אופרטור הזהות. | ||
+ | **למשל המד"ר <math>y''-2y+y=0</math> ניתנת להצגה כ<math>\left(\frac{d}{dx}^2-2\frac{d}{dx}+I\right)y=0</math>. | ||
+ | **לכן <math>\left(\frac{d}{dx}-I\right)\left(\frac{d}{dx}-I\right)y=0</math>. | ||
+ | **הפולינום האופייני של המד"ר הוא <math>(x-1)^2=0</math> ולכן <math>y=e^x</math> הוא פתרון. | ||
+ | **כעת, נראה כי גם <math>xe^x</math> הוא פתרון של המד"ר. | ||
+ | ***<math>\left(\frac{d}{dx}-I\right)\left(\frac{d}{dx}-I\right)xe^x=\left(\frac{d}{dx}-I\right)(e^x+xe^x-xe^x)=0</math> | ||
+ | **באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא <math>n</math> אזי לכל <math>0\leq k \leq n-1</math> הביטוי <math>x^ke^{\lambda x}</math> הוא פתרון. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סיכום מציאת פתרון כללי למד"ר הומוגנית עם מקדמים קבועים=== |
גרסה מ־09:54, 22 באפריל 2018
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה
. האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה
.
- נסמן ב
את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
היא המהירות
היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה
, הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן
ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן
ולכן גם
.
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה
.
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי
.
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף
נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית
כאשר
היא הריבית השנתית.
המשוואה ![y'=r\cdot y](/images/math/1/f/b/1fb26e2b70e99e1416c60408e52568c3.png)
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה
היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה
היא משוואה מסדר ראשון.
- המשוואה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה
היא מסדר 3 ומעלה 2.
- המשוואה
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה
.
- נהוג גם להחליף
ולכן המשוואה תרשם כך
.
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה
, כלומר
.
- משוואות פרידות אנו יכולים לפתור באמצעות אינטגרלים באופן הבא:
- ראשית נפריד (ומכאן השם) את המשתנים לשני צידי המשוואה:
- הקדומות של שני הצדדים שוות עד כדי קבוע.
- במקום t נשאר עם המשתנה y ובעצם אנו מחשבים אינטגרלים לשני הצדדים
, כל אחד לפי המשתנה שלו!
- לדוגמא נפתור את המשוואה
כמשוואה פרידה.
- ראשית נפריד את המשתנים ונקבל כי
.
- נשים לב כי הנחנו כאן כי
.
- כעת
.
.
- וביחד
.
- לכן
.
- לכן
.
- כעת, קל לראות מהצבה במשוואה כי y=0 גם פותר את המשוואה.
- בסה"כ הפתרון הכללי הוא (שוב)
.
- שימו לב - חלקנו למקרים בהם הפונקציה שונה מאפס או קבועה אפס, אך לא טיפלנו במקרים בהם הפונקציה מידי פעם שווה אפס.
- בתרגיל זה איננו צריכים, כי מצאנו את הפתרון הכללי בדרך פשוטה יותר למעלה.
- בהמשך, משפט הקיום והיחידות יעזור לנו להתמודד עם השאלה הזו, אך באופן כללי לא נעסוק הרבה במקרי קצה בקורס זה.
הפיכת משוואה לפרידה
- נביט במשוואה
שאינה משוואה פרידה.
- נדגים עכשיו טריק שיהפוך את המשוואה לפרידה.
- נגדיר את הפונקציה
.
- מתקיים כי
וביחד המשוואה המקורית מקבלת את הצורה
.
- זוהי משוואה פרידה
.
- נפעיל אינטגרל על שני הצדדים ונקבל כי
- ולכן
- ולכן
- שימו לב לדוגמא, כאן לא התייחסנו למקרה הקצה בו
מחוץ לתחום
.
- שיטה אחת לוודא שהפתרון שלנו אכן נכון היא להציב את התוצאה שקיבלנו ישירות במשוואה.
- על מנת לדעת אם לא פספסנו פתרונות אחרים, נעזר בהמשך במשפט הקיום והיחידות.
- אבל כאמור - אנחנו לא נתייחס באופן כזה לכל מקרה קצה בהמשך הקורס.
הרצאה 2 מד"ר הומוגנית, מד"ר לינאריות מסדר ראשון ומשוואת ברנולי
מד"ר הומוגנית
- פונקציה
נקראת הומוגנית מסדר k אם לכל
מתקיים כי
.
- לדוגמא
הומוגנית מסדר 1.
- טענה: פונקציה
היא מהצורה
לכל
אם"ם היא הומוגנית מסדר
לכל
.
- הוכחה:
- אם
אזי לכל
מתקיים
.
- אם
, נציב
ונקבל כי
.
- אם
- מד"ר הומוגנית (בניגוד למד"ר לינארית הומוגנית שנראה בהמשך) היא משוואה מהצורה
כאשר
הומוגנית מסדר
.
- נפתור מד"ר הומוגנית באמצעות ההצבה
באופן הבא:
- ראשית נסמן
.
- כעת נגזור את שני צידי המשוואה
, ונקבל כי
.
- לכן לאחר החלפת המשתנה קיבלנו משוואה פרידה
.
- נפריד את המשתנים
.
- ולכן
.
- נמצא את
ונציב בחזרה
.
- ראשית נסמן
- דוגמא - נפתור את המשוואה
- ולבסוף
- דוגמא - נפתור את המשוואה
מד"ר לינארית מסדר ראשון
- הגדרה: משוואה מסדר ראשון נקראת לינארית אם היא מהצורה
.
- מד"ר לינארית הומוגנית (בניגוד למד"ר הומוגנית שראינו לעיל) היא מהצורה
.
- נחשב נוסחא לפתרון מד"ר לינארית כללית ע"י מציאת פתרון למשוואה לינארית הומוגנית ובאמצעות שיטת וריאצית המקדמים.
- נשים לב כי המשוואה הלינארית ההומוגנית
היא פרידה.
- נפריד את המשתנים ונקבל
.
- נבצע אינטגרציה ונקבל כי
.
- ולכן
- כעת נשתמש בשיטת וריאצית המקדמים על מנת לפתור את המד"ר הלא הומוגנית.
- נציב במקום המקדם הקבוע
פונקציה
, וננחש שזה פתרון של המד"ר.
- כיוון שאנו מנחשים שזה פתרון של המד"ר, נציב אותו בתוך המשוואה ונמצא (בתקווה) פונקציה
כך שהמשוואה תתקיים.
- כלומר, נציב
במשוואה
.
- נקבל
- משוואה זו מתקיימת אם"ם
.
- כלומר
.
- לכן נבחר
- סה"כ הפתרון הכללי למד"ר הלינארית
הוא:
- דוגמא - המשוואה החביבה עלינו
:
- ראשית, נשים לב כי
ו
.
- כלומר זו מד"ר לינארית הומוגנית, והפתרון הכללי הוא
- ראשית, נשים לב כי
נפילה חופשית כולל התנגדות אוויר
- גוף בעל מסה
נמצא בנפילה חופשית, מצד אחד הוא מושפע מכוח הכבידה שנחשב קבוע
ומצד שני מכוח התנגדות האוויר.
- במהירויות גבוהות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה בריבוע
, ובמהירויות נמוכות נניח שהוא פרופורציונלי למהירות הנפילה
.
במהירות גבוהה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר
- נבצע הפרדת משתנים
- נבצע פירוק לשברים חלקיים:
- ולכן
- מצד שני
- לכן
- נסדר קצת
- נשים לב שכאשר
אנו מתכנסים למהירות הסופית
.
- אם זו הייתה המהירות ההתחלתית היינו מקבלים פונקצית מהירות קבועה.
במהירות נמוכה
- לפי החוק השני של ניוטון
.
- כלומר קיבלנו את המד"ר הלינארית
.
- ולכן הפתרון הוא
.
- וכאשר
המהירות שואפת למהירות הסופית
.
משוואת ברנולי
- משוואת ברנולי היא משוואה מהצורה
עבור
.
- נפתור את המשוואה על ידי הצבה שתהפוך אותה למשוואה לינארית, אותה כבר למדנו לפתור.
- נניח כי
, ונחלק ב
.
- נקבל את המשוואה
.
- נציב
.
- נגזור
.
- נקבל משוואה לינארית
.
- נפתור עבור
ונציב חזרה לקבל
.
- דוגמא - נפתור את המשוואה
.
- נציב
.
- נקבל
ולכן
.
- לכן
- לכן
- לכן
- ולבסוף
- נציב
- דוגמא - גוף בתנועה עם כוח גרר לא לינארי ביחס למהירות
- נתון גוף הנע חצי באוויר וחצי בתוך נוזל כלשהו. נניח כי החיכוך עם הנוזל פרופורציונלי למהירות, והחיכוך עם האוויר פרופורציונלי למהירות בריבוע.
ולכן
(לצורך הפשטות הכנסנו את המסה לתוך הקבועים).
- זוהי משוואת ברנולי, נציב
.
- לכן
- נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית:
- ולכן
- כמובן שכאשר
המהירות מתכנסת מהר מאד לאפס.
הרצאה 3 משוואות מדוייקות ומשפט הקיום והיחידות
הקדמה - פונקציות בשני משתנים
- נגזרות חלקיות
- דוגמא עבור
מתקיים
ו
- דוגמא עבור
- עבור פונקציות דיפרנציאביליות (כמו הפונקציות האלמנטריות), מתקיים כי
(כלומר סדר הנגזרות לא משנה).
- כלל השרשרת: אם
אזי
- בפרט, עבור
מתקיים
מד"ר מדוייקת
- מד"ר מסדר ראשון נקראת מדוייקת אם היא מהצורה
, עבור
דיפרנציאבילית.
- פתרון המד"ר ניתן בצורה סתומה על ידי המשוואה
, כאשר C קבוע כלשהו.
- מד"ר מהצורה
היא מדוייקת אם"ם
ו
בעלות נגזרות רציפות.
- הוכחה לפתרון המד"ר המדויקת:
- נגזור את הפונקציה
לפי המשתנה
באמצעות כלל השרשרת ונקבל כי
- לפי הנתון
נובע כי
ולכן
פונקציה קבועה.
- נגזור את הפונקציה
- הוכחה לתנאי השקול למד"ר מדויקת:
- כיוון ראשון, נניח
מדוייקת.
- לכן קיימת
דיפרנציאבילית כך ש
.
- לכן
.
- לכן קיימת
- כיוון שני, נניח כי
.
- אנו מחפשים
עבורה
.
- נעשה אינטגרציה לפי
ונקבל כי
.
- לכן ברור כי
, השאלה היא אם ניתן לבחור
עבורו
.
- כלומר אנו רוצים
- משוואה זו תהיה פתירה, אם הצד הימני הוא פונקציה שאינה תלוייה בx.
- אכן
.
- אנו מחפשים
- כיוון ראשון, נניח
- דוגמא: נפתור את המשוואה
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
.
- נבצע אינטגרציה
.
- נגזור לפי y ונקבל כי
.
- לכן
.
- לכן
וסה"כ
.
- לכן הפתרון למד"ר הוא
.
- ראשית נוודא שמדובר במשוואה מדוייקת:
גורם אינטגרציה
- לעיתים המד"ר אינה מדוייקת, אך ניתן לכפול אותה בפונקציה (שנקרא לה גורם אינטגרציה) וכך נהפוך אותה למדוייקת.
- באופן כללי אנו לא יודעים למצוא את גורם האינטגרציה, אבל נביט במקרה בו קיים גורם אינטגרציה שתלוי בx בלבד.
- תהי מד"ר
, ונניח שקיים לה גורם אינטגרציה
התלוי בx בלבד.
- כלומר
מדוייקת.
- לכן
.
- כלומר
.
- לכן
.
- ניתן לפתור משוואה זו אם הצד הימני תלוי בx בלבד, כיוון שהצד השמאלי תלוי בx בלבד.
- במקרה זה, פתרון יהיה
- דוגמא - המשוואה
.
- המשוואה הינה
.
- מתקיים כי
תלוי בx בלבד.
- לכן יש גורם אינטגרציה
- נכפול את המשוואה בגורם האינטגרציה.
.
- כעת
.
.
- לכן
ואפשר לבחור
.
- סה"כ
.
- (כך פתרנו למעשה את משוואה זו בשיעור הראשון.)
- המשוואה הינה
- דוגמא - המשוואה
.
.
- אכן המשוואה
מדוייקת.
- נבדוק:
.
- נבדוק:
- נפתור את המד"ר:
.
.
.
.
- סה"כ הפתרון למד"ר הוא
.
משפט הקיום והיחידות
בעיית קושי
- מציאת פתרון למד"ר
המקיימת
שיטת פיקרד
- נראה את שיטת פיקרד, באמצעותה נוכיח את משפט הקיום והיחידות.
- נגדיר
, ולכל
נגדיר
.
- מאוחר יותר נוכיח כי סדרת הפונקציות מתכנסת לפתרון של המד"ר.
- דוגמא - נביט במשוואה (המאד מקורית)
.
- נמשיך כך, ונקבל סדרת פונקציות המתכנסת ל
- אם נתון תנאי ההתחלה
נקבל בדיוק את הפתרון
.
ניסוח משפט הקיום והיחידות
- תהי
רציפה ובעלת נגזרת
במלבן הסגור
.
- נביט בבעיית הקושי
, עם תנאי ההתחלה
- נבחר
חסם כך ש
במלבן הנתון, ונסמן
.
- אזי קיים פתרון יחיד
לבעיית הקושי בתחום
.
- הערות:
- שימו לב שהמשפט מבטיח פתרון בתחום מצומצם.
- אכן ראינו מד"ר שהייתה מוגדרת ורציפה בכל הממשיים, אך לא היה פתרון שמוגדר בכל הממשיים.
- לכל נקודה יש פתרון מסביבה, גם אם אין פתרון שמוגדר בכל מקום.
- שימו לב שאם מצאנו פתרון בצורה כלשהי, אנחנו יודעים שהוא יחיד בזכות המשפט (לפחות בסביבה מסויימת).
- מצד שני, אם הפתרון הכללי שמצאנו לא מקיים את תנאי ההתחלה, סימן שאנחנו צריכים לחפש פתרון שפספסנו.
הרצאה 4 הוכחת משפט הקיום והיחידות
המשוואה האינטגרלית
- בעיית הקושי
עם
שקולה למשוואה
.
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
- אזי
.
- לכן
.
- ולפי תנאי ההתחלה נקבל כי
.
- אזי
- בכיוון שני, נניח כי המשוואה האינטגרלית נתונה.
- נגזור את שני הצדדים ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית (נגזרת של פונקצית שטח של פונקציה רציפה).
- נציב במשוואה האינטגרלית את
ונקבל
.
- בכיוון אחד - נניח כי המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי ההתחלה נתונים.
הוכחה
- נוכיח שסדרת הפונקציות בשיטת פיקרד מתכנסת לפתרון יחיד לבעיית הקושי.
- ראשית נשים לב לתכונה הבאה:
- כיוון ש
רציפה במלבן סגור היא חסומה נניח ע"י K.
- לפי משפט לגראנז' נקבל כי
- כיוון ש
- נוכיח שסדרת הפונקציות נשארת בתחום המלבן
שנמצא בתוך המלבן המקורי ולכן מותר להשתמש בתכונות של
.
- ראשית
כמובן בתוך המלבן.
- כעת יהי n עבורו הטענה נכונה, אזי
.
- לכן
.
- ראשית
- הערה: בהוכחות הבאות נוכיח עבור
ההוכחות עבור
דומות.
- כעת נוכיח שסדרת הפונקציות מתכנסת (במ"ש):
- ראשית, נשים לב כי
.
- לכן עלינו להוכיח כי הטור
מתכנס כאשר
.
- ראשית,
- כעת
- נמשיך כך ונקבל כי
- זה טור מתכנס לפי מבחן המנה, ולפי מבחן הM של קושי, הטור המקורי מתכנס במידה שווה.
- הערה: כיוון ש
אזי גם הסדרה
מתכנסת במ"ש באופן דומה.
- ראשית, נשים לב כי
- נוכיח שפונקצית הגבול
היא פתרון של בעיית הקושי.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף
.
- נקבל כי
.
- הערה: האינטגרל של הסדרה שואף לאינטגרל של פונקצית הגבול בזכות ההתכנסות במ"ש.
- נשאיף את שני צידי נוסחאת הנסיגה לאינסוף
- טענת עזר - תהי
חסומה כך שלכל
בקטע
מתקיים כי
אזי
לכל
בקטע.
.
.
.
- נמשיך כך ונקבל שלכל n מתקיים כי
.
- לכן
.
- לכן
.
- יהיו שני פתרונות
לבעיית הקושי, נוכיח כי
:
.
- לכן לפי טענת העזר,
.
הרצאה 5 מד"ר מסדר גבוה (ובפרט סדר שני), מד"ר לינארית מסדר גבוה
- נחקור כעת משוואות מהצורה
- דוגמא:
- נביט במסה המחוברת לקפיץ עם קבוע k, על משטח ללא חיכוך.
- נסמן את המרחק של המסה מהמצב הרפוי של הקפיץ בX.
- הכוח הפועל על המסה הוא
.
- לכן לפי החוק השני של ניוטון
.
הורדת סדר המשוואה
מד"ר מסדר גבוה ללא y
- אם y אינו מופיע במשוואה פשוט נחליף משתנה
.
- דוגמא:
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני
.
- נביט בפונקצית המהירות
ונקבל את המשוואה
מסדר ראשון.
- משוואת נפילה חופשית ללא התנגדות אוויר היא מסדר שני
מד"ר מסדר גבוה ללא x
- אם x אינו מופיע במשוואה נחפש פונקציה של y כך שיתקיים
.
- דוגמא:
- נחזור לדוגמא של מסה המחוברת לקפיץ, ולצורך הנוחות נחליף את פונקצית המיקום X בפונקציה y (המשתנה ישאר t).
- נניח כי המסה היא חלק מקבוע הקפיץ ונביט במשוואה
.
- נחפש פונקציה p של y המקיימת
.
- לכן
.
- לכן אנחנו רוצים למצוא p פונקציה של y המקיימת את המשוואה
.
- זו משוואה פרידה
ולכן
.
- לכן
.
- זו משוואה פרידה
- לכן קיבלנו את המד"ר הפרידה
.
.
.
.
- שימו לב שהביטוי
מייצג קבוע חיובי כלשהו.
- שימו לב שעבור בחירה מתאימה של הפאזה D גם cos הוא פתרון.
- שימו לב שישנם שני קבועים בפתרון. זה הגיוני, כי אנו צריכים שני תנאי התחלה - מיקום המסה, והמהירות שלה.
מד"ר לינארית
- מד"ר לינארית היא מד"ר מהצורה
.
- אם
אזי המד"ר נקראת הומוגנית.
- בעיית הקושי למד"ר הלינארית היא המשוואה יחד עם תנאי ההתחלה
- משפט קיום ויחידות: אם
רציפות בקטע
ויהי
, אזי קיים פתרון יחיד בקטע
לבעיית הקושי.
מד"ר לינארית הומוגנית
- אוסף הפתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית הוא תת מרחב וקטורי.
- פונקצית האפס מקיימת את המשוואה.
- אם
פתרונות, ו
קבוע אזי קל לראות על ידי הצבה ישירה שגם
הוא פתרון.
- תזכורת:
נקראת תלויות לינארית אם קיימים קבועים לא כולם אפס כך ש
(הצירוף הוא פונקצית האפס).
- הגדרה: הוורונסיקאן
של הפונקציות
הוא הדטרמיננטה
- אם
ת"ל אזי
.
- נתון כי
- נגזור
- נמשיך ולגזור ונקבל שלכל
מתקיים כי
.
- לכן
- כיוון שלמטריצה יש פתרון לא טריוואלי (ללא תלות בx) היא אינה הפיכה והדטרמיננטה שלה היא אפס.
- נתון כי
- אם
עבור
כלשהו עבור
פתרונות של מד"ר לינארית הומוגנית, אזי הפתרונות ת"ל ו
.
- כיוון ש
קיים פתרון לא טריוויאלי למערכת כך שלכל
מתקיים כי
.
- נביט בפונקציה
, לפי לינאריות גם
פתרון של המד"ר.
- כיוון שלכל
מתקיים כי
ולפי יחידות הפתרון, נובע כי
(הרי פונקצית האפס היא פתרון שמקיים את אותם תנאיי ההתחלה).
- כיוון ש
- הערה: ייתכנו פונקציות בת"ל שהוורונסיקאן שלהן מתאפס, אם הן לא פתרונות לאותו מד"ר לינארית. למשל
.
- מרחב הפתרונות של המד"ר הלינארית ההומוגנית הוא ממימד n.
- בכיוון ראשון, נוכיח שהמימד הוא לכל לפחות n.
- לכל
נגדיר את
להיות הפתרון המקיים את תנאי ההתחלה
ואם
אז
.
- אזי
ולכן מצאנו n פתרונות בת"ל.
- לכל
- בכיוון שני, נוכיח שכל פתרון נפרש ע"י הפתרונות הללו.
- עבור תנאי ההתחלה
פתרון המקיים תנאיי התחלה אלו הוא
.
- עבור תנאי ההתחלה
- בכיוון ראשון, נוכיח שהמימד הוא לכל לפחות n.
- דוגמא: משוואת המסה על קפיץ
- נביט בפתרונות
, הן אכן פותרות את המשוואה.
- נביט בוורונסקיאן
- לכן אלו שני פתרונות בת"ל שפורשים את כל מרחב הפתרונות, ולכן הפתרון הכללי הוא מהצורה
- נביט בפתרונות
מד"ר לינארית לא הומוגנית
- פתרון כללי למד"ר הלינארית שווה לפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית ועוד פתרון פרטי למד"ר הלא הומוגנית
- הוכחה זהה לטיעון לגבי מערכות משוואות לינאריות.
- דוגמא:
מסה התלוייה על קפיץ אנכי, עם השפעת כוח המשיכה. גובה אפס הוא הנקודה בה הקפיץ רפוי, הכיוון החיובי הוא למטה.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה
.
- נציב ונקבל
.
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא
.
- דוגמא:
מסה על קפיץ עם כוח חיצוני שתלוי בזמן.
- נמצא פתרון פרטי ע"י ניחוש מושכל.
- נחפש פתרון מהצורה
.
.
.
- משוואה זו תתקיים עבור
.
- לכן פתרון כללי למד"ר הוא
.
הרצאה 6 מד"ר לינארית עם מקדמים קבועים
פולינום אופייני
- נביט במד"ר הלינארית ההומוגנית עם מקדמים קבועים
כאשר
.
- דוגמאות:
- משוואת הקפיץ
.
.
- משוואת הקפיץ
- ננחש פתרון למד"ר מהצורה
.
- נציב במד"ר ונקבל
.
- לכן
.
- נגדיר את הפולינום האופייני של המד"ר להיות
.
- לכל שורש של הפולינום האופייני, קיבלנו פתרון למד"ר.
- דוגמא:
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- לכן השורשים של הפולינום האופייני הם
.
- לכן שני פתרונות למד"ר הם
.
- ראינו שהם בת"ל בעזרת הורונסקיאן ולכן הפתרון הכללי למד"ר ההומוגנית הוא
.
- נעביר אגף ונמצא את הפולינום האופייני:
- מה קורה כאשר חסרים שורשים (מרוכבים)?
- מה קורה כאשר שורש חוזר על עצמו?
- הפולינום האופייני של המד"ר
הוא
.
- הפולינום האופייני של המד"ר
הוא
.
- כאשר השורש הוא מרוכב, נעזר באנליזה מרוכבת:
- ראשית, אם
שורש של פולינום ממשי גם הצמוד שלו הוא שורש של הפולינום.
- נזכר גם כי
- כעת, נניח שיש זוג שורשים מרוכבים
לכן
הן פתרונות.
- לכן גם צירוף לינארי שלהם הוא פתרון:
- עבור זוג השורשים המרוכבים הצמודים קיבלנו זוג פתרונות ממשיים בת"ל!
- ראשית, אם
- דוגמא משוואת הקפיץ
.
- הפולינום האופייני הינו
.
- שורשי הפולינום האופייני הינם
.
- הפתרונות למד"ר ההומוגנית הם
.
- הפולינום האופייני הינו
- כעת נטפל במקרה בו שורש חוזר על עצמו:
- ראשית, נביט באופרטור
ששולח פונקציה לנגזרת שלה, ונסמן ב
את אופרטור הזהות.
- למשל המד"ר
ניתנת להצגה כ
.
- לכן
.
- הפולינום האופייני של המד"ר הוא
ולכן
הוא פתרון.
- כעת, נראה כי גם
הוא פתרון של המד"ר.
- באופן דומה אפשר להוכיח שאם ריבוי השורש הוא
אזי לכל
הביטוי
הוא פתרון.
- ראשית, נביט באופרטור