הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5"

גרסה אחרונה מ־09:39, 17 בדצמבר 2019

תוכן עניינים

1 הגדרה
- 1.1 דוגמאות
  - 1.1.1 תרגיל
    - 1.1.1.1 פתרון
  - 1.1.2 תרגיל
    - 1.1.2.1 פתרון
- 1.2 משפטים
  - 1.2.1 תרגיל
    - 1.2.1.1 פתרון
2 תנאי קושי-רימן

הגדרה

נאמר שפונקציה גזירה בנקד' $z_0$ אם לכל סדרה $z_n\to 0$ קיים הגבול $\underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n}$ , ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

דוגמאות

תרגיל

האם הפונקציה $f(z)=z^2$ גזירה?

פתרון

כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

תרגיל

האם הפונקציה $f(a+bi)=2a-3bi$ גזירה?

פתרון

לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

משפטים

סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

תרגיל

א. תהי $f(z)=z^n$ הוכיחו: $f'(z)=nz^{n-1}$ .

ב. יהי $P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k$ פולינום. הוכיחו ש- $P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1}$ .

פתרון

א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.

ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תהי $U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.

דוגמא: $U(x,y)=x^2+2xy$ אז הנגזרות החלקיות הן: $U_x=2x+2y,U_y=2x$ .

עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.

כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של $U,V$ המתאימות.

תנאי קושי רימן

תהי $f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i$ פונקציה מרוכבת. $f$ גזירה בנקודה $z_0=x_0+y_0$ אם ורק אם הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:

$\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}$ .

ובמקרה זה מתקיים: $f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i$ .

תרגיל

בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:

1. $f(x+yi)=e^x\text{cis}y$

2. $f(z)=z+Re(z)$

3. $f(z)=(z-1)(Re(z))^2$

4. $f(x+yi)=x+y^3i$

פתרון

1. נקבל: $U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y$ . ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: $U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y$ . שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!

2. לא גזירה באף נקודה כי נקבל $Re(z)=f(z)-z$ , ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.

3. נרשום: $f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi$ . נמצא נגזרות חלקיות: $U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2$ . נבדוק מתי התנאי מתקיים:

$U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2$ .

$U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0$ .

שני התנאים מתקיים כאשר: $(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)$ . כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה $(2,0)$ .

הנגזרת שם היא: $U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi$ . נשים לב שעל הציר המדומה $x=0$ ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה $(2,0)$ נקבל $f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8$ .

4. נקבל את הנגזרות החלקיות: $U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2$ . נבדוק את התנאי:

$U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$U_y=-V_x$ תמיד.

לכן רק בנקודות $z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i$ הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: $U_x+V_xi=1$ .

משפט

פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.

תרגיל

הוכיחו שאם $f=U+Vi$ גזירה והחלק הממשי של $f$ הוא פונקציה קבועה אז $f$ קבועה.

פתרון

$U$ קבועה ולכן $U_x=U_y=0$ , וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן $V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0$ , ולכן גם $V$ קבועה. ולכן $f$ קבועה.

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 ==הגדרה==
-נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>\triangle z\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
+נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{z_n\to 0}{\lim}\frac{f(z_n+z_0)-f(z_0)}{z_n}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.
 פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.
@@ שורה 15: / שורה 15: @@
 ====תרגיל====
-האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה באפס?
+האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה?
 =====פתרון=====
@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 ===משפטים===
 סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!
+====תרגיל====
+א. תהי <math>f(z)=z^n</math> הוכיחו: <math>f'(z)=nz^{n-1}</math>.
+ב. יהי <math>P(z)={\sum}_{k=0}^{n} \alpha_kz^k</math> פולינום.
+הוכיחו ש- <math>P'(z)={\sum}_{k=1}^{n} k\alpha_kz^{k-1}</math>.
+=====פתרון=====
+א. באינדוקציה ע"י כלל המכפלה.
+ב. מסעיף קודם וכלל החיבור.
+==תנאי קושי-רימן==
+===נגזרות חלקיות===
+תהי <math>U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> פונקציה, אזי הנגזרת החלקית לפי אחד המשתנים, זה לגזור כאילו זה המשתנה והמשתנה השני קבוע.
+'''דוגמא''': <math>U(x,y)=x^2+2xy</math> אז הנגזרות החלקיות הן: <math>U_x=2x+2y,U_y=2x</math>.
+עוד דוגמא כרוח המתרגל באותה שעה.
+כעת נראה קריטריון לגזירות פונקציה, ע"י הנגזרות החלקיות של <math>U,V</math> המתאימות.
+===תנאי קושי רימן===
+תהי <math>f(x+yi)=U(x,y)+V(x,y)i</math> פונקציה מרוכבת. <math>f</math> גזירה בנקודה <math>z_0=x_0+y_0</math> '''אם ורק אם''' הנגזרות החלקיות קיימות ומקיימות את המשוואות הבאות:
+<math>\begin{cases} U_x=V_y \\ U_y=-V_x \end{cases}</math>.
+ובמקרה זה מתקיים: <math>f'(x_0+y_0i)=U_x(x_0,y_0)+V_x(x_0,y_0)i=V_y(x_0,y_0)-U_y(x_0,y_0)i</math>.
+====תרגיל====
+בדקו באילו נקודות הפונקציות הבאות גזירות, ומצאו את הנגזרת בנקודות אלו:
+. <math>f(x+yi)=e^x\text{cis}y</math>
+. <math>f(z)=z+Re(z)</math>
+. <math>f(z)=(z-1)(Re(z))^2</math>
+. <math>f(x+yi)=x+y^3i</math>
+=====פתרון=====
+. נקבל: <math>U_x=e^x\cos x,U_y=-e^x\sin y,V_x=e^x\sin y,V_y=e^x\cos y</math>. ואכן מתקיים תנאי קושי-רימן בכל נקודה. לכן זו פונקציה גזירה בכל נקודה שנגזרתה: <math>U_x+V_xi=e^x\cos x+e^x\sin yi=e^x\text{cis}y</math>. שימו לב מה קיבלנו - הנגזרת שלה זה היא בעצמה!!
+. לא גזירה באף נקודה כי נקבל <math>Re(z)=f(z)-z</math>, ואם היא גזירה בנקודה אז גם פונקציית החלק הממשי גזירה שם, כהפרש גזירות, בסתירה לכך שהיא לא גזירה באף נקודה.
+. נרשום: <math>f(x+yi)=x^2(x+yi-1)=x^3-x^2+x^2yi</math>. נמצא נגזרות חלקיות: <math>U_x=3x^2-2x,U_y=0,V_x=2xy,V_y=x^2</math>. נבדוק מתי התנאי מתקיים:
+<math>U_x=V_y\iff 3x^2-2x=x^2\iff x(x-2)=0\iff x=0\lor x=2</math>.
+<math>U_y=-V_x\iff 0=-2xy\iff x=0\lor y=0</math>.
+שני התנאים מתקיים כאשר: <math>(x=0\lor x=2)\land (x=0\lor y=0)\equiv x=0\lor (x=2\land y=0)</math>. כלומר גזירה בציר המדומה, ובנקודה <math>(2,0)</math>.
+הנגזרת שם היא: <math>U_x+V_xi=3x^2-2x+2xyi</math>. נשים לב שעל הציר המדומה <math>x=0</math> ולכן הנגזרת היא אפס. בנקודה <math>(2,0)</math> נקבל <math>f'(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2=8</math>.
+. נקבל את הנגזרות החלקיות: <math>U_x=1,U_y=0V_x=0,V_y=3y^2</math>. נבדוק את התנאי:
+<math>U_x=V_y\iff 1=3y^2\iff y^2=\frac{1}{3}\iff y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}</math>.
+<math>U_y=-V_x</math> תמיד.
+לכן רק בנקודות <math>z=x\pm\frac{1}{\sqrt{3}}i</math> הפונקציה גזירה, ונגזרתה שם: <math>U_x+V_xi=1</math>.
+===משפט===
+פונקציה גזירה שנגזרתה אפס על כל הממשיים היא פונקציה קבועה.
+====תרגיל====
+הוכיחו שאם <math>f=U+Vi</math> גזירה והחלק הממשי של <math>f</math> הוא פונקציה קבועה אז <math>f</math> קבועה.
+=====פתרון=====
+<math>U</math> קבועה ולכן <math>U_x=U_y=0</math>, וכיון שהפונקציה גזירה נובע שמתקיימות משוואות קושי-רימן, ולכן <math>V_y=U_x=0,V_x=-U_y=0</math>, ולכן גם <math>V</math> קבועה. ולכן<math>f</math> קבועה.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 5"

גרסה אחרונה מ־09:39, 17 בדצמבר 2019

תוכן עניינים

הגדרה

דוגמאות

תרגיל

פתרון

תרגיל

פתרון

משפטים

תרגיל

פתרון

תנאי קושי-רימן

נגזרות חלקיות

תנאי קושי רימן

תרגיל

פתרון

משפט

תרגיל

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים