הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11"
(←דוגמאות) |
מ |
||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 12: | שורה 12: | ||
=יישומים של אינטגרציה= | =יישומים של אינטגרציה= | ||
<ol> | <ol> | ||
− | <li>אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li> | + | <li> |
− | <li>נפח של גוף סיבוב | + | ==שטח== |
− | ==דוגמאות== | + | אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li> |
+ | <li> | ||
+ | ==נפח של גוף סיבוב== | ||
+ | [[קובץ:נפח גוף סיבוב.png|ימין|ממוזער|250px]] | ||
+ | נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו: <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2\Delta x_k\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2\Delta x_k</math>. נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור החלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>V=\int\limits_a^b \pi f^2</math>. | ||
+ | ===דוגמאות=== | ||
# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}} | # נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}} | ||
− | # נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. | + | # [[קובץ:נפח חרוט.png|ימין|ממוזער|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא <math>y=\frac rhx+0</math> ולפיכך הנפח הוא {{left|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}} |
</li> | </li> | ||
− | <li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li> | + | <li> |
− | <li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן | + | ==ממוצע== |
+ | תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li> | ||
+ | <li> | ||
+ | ==אורך הגרף== | ||
+ | [[קובץ:קירוב אורך גרף.png|ימין|300px]] | ||
+ | עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />''דוגמה:'' נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | נניח ש-{{ltr|f'}} קיימת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>|I-S|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>|I-L|=|I-S+L(P)-L|\le|I-S|+|L(P)-L|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה אחרונה מ־14:35, 21 ביולי 2011
תוכן עניינים
האינטגרל המסויים (המשך)
דוגמאות
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
. לכן
.
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב:
ולכן
.
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r.
. לכן השטח הוא
. נציב
ואז
הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה
היינו צריכים לבחור
כך ש-
, אבל עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם
כי אז
, ועבור
יכולנו לבחור
. אם כן היינו מוצאים
הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר
. הטווח של האינטגרציה היה
, שכולל תחומים בהם
. בתחומים אלה צריך לבחור
ולחלק את הקטע
לתחומים שונים לפי הסימן של
.
יישומים של אינטגרציה
-
שטח
אם בקטעמתקיים
כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא
.
-
נפח של גוף סיבוב
נסובב את השטח מתחת לגרף
בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור
קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו:
. כעת נניח ש-
רציפה ב-
ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של
,
. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל
מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום
ומינימום
בקטע זה. נסמן ב-
הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים
. יוצא שהנפח בסה"כ הוא
ומתקיים
. נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק
ובצד שמאל
עבור החלוקה P. נשאיף
וכיוון ש-f רציפה גם
רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול:
.
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא
ולפיכך הנפח הוא
כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
-
ממוצע
תהא f מוגדרת ורציפה ב-ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל
נגדיר חלוקה
של הקטע לקטעים שווים
. כאשר
. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא
. לפי בחירת
, לכל k מתקיים
ונובע:
(כאשר
הוא סכום רימן). נשאיף
ומכיוון שבמקרה כזה
מצאנו שהממוצע של f שואף ל-
. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת (אינטואיטיבית): אם
רציפה אז
הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
-
אורך הגרף
עבור פונקציה f רציפה ב-
נניח ש-f' קיימת ורציפה ב-נעשה חלוקה
של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות
, כאשר לכל k
. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י
, כאשר
הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-
. לכן אורך הגרף L מקיים
ואפשר להגדיר את L ע"י
. לפי זה L תמיד מוגדר
.
דוגמה: נגדיר. היא רציפה בקטע הסגור
אבל אורך הגרף הוא
.
ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-
(ע"פ משפט לגראנז' ישכאלה כך ש-
) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה
. היה נתון ש-
רציפה ולכן גם
רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל
. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף
. נוכיח זאת: נגדיר
וכן
ונניח
. יהי
נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של
כך ש-
. אם Q' עידון של Q אז
ולכן
. כעת נתון ש-
רציפה ולכן
אינטגרבילית ב-
. לפיכך קיימת
כך שאם P חלוקה כלשהי של
כך ש-
ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז
. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-
. כבר למדנו ש-
הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק
ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-
ומכאן נובע שהם שווים.