הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/10.4.11"
(יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}= ==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== נניח ש-<math>\forall x\in[a,\infty):\ 0\le f(x)\...") |
מ |
||
(9 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | =אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}= | + | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= |
==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ==משפט 4 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}== | ||
נניח ש-<math>\forall x\in[a,\infty):\ 0\le f(x)\le g(x)</math> ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי: | נניח ש-<math>\forall x\in[a,\infty):\ 0\le f(x)\le g(x)</math> ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי: | ||
שורה 11: | שורה 11: | ||
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math>. | נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | כיוון ש-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שלכל <math>x\ge x_0</math> מתקיים <math>\frac{f(x)}{g(x)}<L+1</math>, ז"א <math>0\le f(x)\le(L+1)g(x)</math>. נתון ש-g אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math>, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. לפי משפט 1 גם <math>(L+1)g</math> אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע <math>[x_0,\infty)</math> ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-<math>[ | + | כיוון ש-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שלכל <math>x\ge x_0</math> מתקיים <math>\frac{f(x)}{g(x)}<L+1</math>, ז"א <math>0\le f(x)\le(L+1)g(x)</math>. נתון ש-g אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math>, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. לפי משפט 1 גם <math>(L+1)g</math> אינטגרבילית ב-<math>[x_0,\infty)</math>. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע <math>[x_0,\infty)</math> ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math>. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
− | בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש-<math>L\ne0</math> אז <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_a^\infty f</math>. | + | בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש-<math>L\ne0</math> אז <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | לפי משפט 5 אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math>. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-<math>L>0</math> מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac1L\in\mathbb R</math> ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-<math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. {{משל}} | + | לפי משפט 5 אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-<math>L>0</math> מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac1L\in\mathbb R</math> ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-<math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אם <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס. {{משל}} |
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
שורה 26: | שורה 26: | ||
</li> | </li> | ||
<li> | <li> | ||
− | <math>\int\ | + | <math>\int\limits_2^\infty\frac{x^2+x\ln(x)+3}{x^3\ln(x)+x^2+5}\mathrm dx</math>: |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
נגדיר <math>f(x)=\frac{x^2+x\ln(x)+3}{x^3\ln(x)+x^2+5}</math> וכן <math>g(x)=\frac1{x\ln(x)}</math>. מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\ln(x)+x^2\ln^2(x)+3x\ln(x)}{x^3\ln(x)+x^2+5}=1>0</math>. אבל <math>\int\limits_2^\infty g=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר. {{משל}} | נגדיר <math>f(x)=\frac{x^2+x\ln(x)+3}{x^3\ln(x)+x^2+5}</math> וכן <math>g(x)=\frac1{x\ln(x)}</math>. מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\ln(x)+x^2\ln^2(x)+3x\ln(x)}{x^3\ln(x)+x^2+5}=1>0</math>. אבל <math>\int\limits_2^\infty g=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר. {{משל}} | ||
</li> | </li> | ||
<li> | <li> | ||
− | <math>\int\ | + | <math>\int\limits_1^\infty x^{50}e^{-x}\mathrm dx</math>: |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נחשב את <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^{50}e^{-x}}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{52}}{e^x}</math>: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל <math>\lim_{x\to\infty}\frac{52!}{e^x}=0</math>. לכן אם <math>\int\ | + | נחשב את <math>\lim_{x\to\infty}\frac{x^{50}e^{-x}}{1/x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{52}}{e^x}</math>: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל <math>\lim_{x\to\infty}\frac{52!}{e^x}=0</math>. לכן אם <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}} |
</li> | </li> | ||
</ol> | </ol> | ||
שורה 40: | שורה 41: | ||
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> (עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו). אזי <math>\int\limits_k^\infty f\in\mathbb R\iff\sum_{n=k}^\infty f(n)\in\mathbb R</math>. | נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> (עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו). אזי <math>\int\limits_k^\infty f\in\mathbb R\iff\sum_{n=k}^\infty f(n)\in\mathbb R</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> הוא סכום עליון של <math>\int\limits_k^N f</math> ו-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> הוא סכום תחתון. נסיק ש-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. כעת אם נתון ש-<math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס אז הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל. נשאיף <math>N\to\infty</math> ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס. מאידך, אם נתון כי <math>\int\limits_k^\infty f</math> אז האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> חסומים מלעיל ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> נובע ש-<math>\sum_{n=k+1}^\infty f(n)</math> מתכנס <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)\Longleftarrow</math> מתכנס. {{משל}} | + | נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> הוא סכום עליון של <math>\int\limits_k^N f</math> ו-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> הוא סכום תחתון. נסיק ש-<math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. כעת, אם נתון ש-<math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס אז הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math> חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל. נשאיף <math>N\to\infty</math> ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס. מאידך, אם נתון כי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אז האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_k^N f</math> חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)</math> חסומים מלעיל ומכיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> נובע ש-<math>\sum_{n=k+1}^\infty f(n)</math> מתכנס <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)\Longleftarrow</math> מתכנס. {{משל}} |
===מסקנה=== | ===מסקנה=== | ||
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. | בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>. | ||
שורה 51: | שורה 52: | ||
</li><li>ידוע לנו ש-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>. אם נקח, למשל, <math>\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}</math>, מהו סדר הגודל של השארית R? | </li><li>ידוע לנו ש-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6</math>. אם נקח, למשל, <math>\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}</math>, מהו סדר הגודל של השארית R? | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר <math>f(x)=\frac1{x^2}</math> אזי <math>R=\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}=\sum_{n=10^6+1}^\infty</math>. מתקיים <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty\le\int\limits_{10^6}^\infty f=\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6}^\infty=10^{-6}</math>. כמו כן <math>\int\limits_{10^6+1}^\infty f\le\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)</math> ולכן <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\ge\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6+1}^\infty=\frac1{10^6+1}</math>. | + | נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר <math>f(x)=\frac1{x^2}</math> אזי <math>R=\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^{10^6}\frac1{n^2}=\sum_{n=10^6+1}^\infty\frac1{n^2}</math>. מתקיים <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\le\int\limits_{10^6}^\infty f=\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6}^\infty=10^{-6}</math>. כמו כן <math>\int\limits_{10^6+1}^\infty f\le\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)</math> ולכן <math>\sum_{n=10^6+1}^\infty f(n)\ge\left[\frac{-1}x\right]_{x=10^6+1}^\infty=\frac1{10^6+1}</math>. |
לסיכום, השארית מקיימת <math>\frac1{10^6+1}\le R\le\frac1{10^6}</math>. | לסיכום, השארית מקיימת <math>\frac1{10^6+1}\le R\le\frac1{10^6}</math>. | ||
שורה 61: | שורה 62: | ||
'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור <math>x\to\infty</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2\ge x_1>x_0</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>. | '''הגדרה:''' תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור <math>x\to\infty</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2\ge x_1>x_0</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>. | ||
+ | |||
==משפט 7== | ==משפט 7== | ||
תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע. | תהי f מוגדרת בקטע <math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע. | ||
שורה 66: | שורה 68: | ||
תחילה נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=L\in\mathbb R</math> ונאמת את תנאי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי ההגדרה קיים <math>b>a</math> כך שאם <math>x>b</math> אז <math>|f(x)-L|<\frac\varepsilon2</math>. מכאן נובע שאם <math>x_2\ge x_1>b</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|\le|f(x_2)-L|+|L-f(x_1)|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> ולכן מתקיים תנאי קושי. | תחילה נניח שקיים <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=L\in\mathbb R</math> ונאמת את תנאי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי ההגדרה קיים <math>b>a</math> כך שאם <math>x>b</math> אז <math>|f(x)-L|<\frac\varepsilon2</math>. מכאן נובע שאם <math>x_2\ge x_1>b</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|\le|f(x_2)-L|+|L-f(x_1)|\le\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math> ולכן מתקיים תנאי קושי. | ||
− | מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. הוכחה: <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}} | + | מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים <math>b>a</math> כך שלכל <math>x_2\ge x_1>b</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(x_1)|<1</math>. נקבע <math>x_1=b+1</math> ונובע שלכל <math>x_2>b+1</math> מתקיים <math>|f(x_2)-f(b+1)|<1</math>. לכן אם <math>x_2>b+1</math> אז <math>|f(x_2)|-|f(b+1)|\le\Big||f(x_2)|-|f(b+1)|\Big|\le|f(x_2)-f(b+1)|<1</math> ומכאן ש-<math>|f(x_2)|<|f(b+1)|+1</math>. לכן f חסומה בקטע <math>[b+1,\infty)</math> ולכן <math>\{f(b+1),\ f(b+2),\ f(b+3),\ \dots\}</math> סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת <math>\{f(b+n_k)\}_{k\in\mathbb N}</math> כך ש-<math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)</math> קיים ונאמר שהוא <math>L\in\mathbb R</math>. ''טענה:'' <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-L. ''הוכחה:'' <math>\lim_{k\to\infty} f(b+n_k)=L</math> ולכן עבור <math>\varepsilon>0</math> נתון קיים <math>k_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>k\ge k_0</math> אז <math>|f(b+n_k)-L|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר <math>c>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>c</math> אז <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\frac\varepsilon2</math>. עתה נגדיר <math>d:=\max\{b+n_{k_0},c\}</math> ולכן <math>|f(x)-L|\le|f(x)-f(d)|+|f(d)-L|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. {{משל}} |
+ | |||
+ | |||
+ | {{המשך סיכום|תאריך=12.4.11}} | ||
+ | |||
+ | ===מסקנה=== | ||
+ | תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אז <math>\left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>. | ||
+ | ====הוכחה==== | ||
+ | לכל <math>x>a</math> נגדיר <math>F(x)=\int\limits_a^x f</math> ולכן <math>\int\limits_{x_1}^{x_2} f=F(x_2)-F(x_1)</math>. כמו כן מתקיים <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_a^\infty f</math>. עתה, <math>\lim_{x\to\infty}F(x)</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ |F(x_2)-F(x_1)|<\varepsilon</math>, וזה נכון אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־20:35, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
משפט 4 (מבחן ההשוואה)
נניח ש- ונניח ש-f,g אינטגרביליות מקומית ב-
. אזי:
- אם
מתכנס אז
מתכנס.
- אם
מתבדר אז
מתבדר.
הוכחה
- עפ"י משפט 3 מתקיים
, כלומר
. כעת, אם
מתכנס אז הוא קטן מ-
, ולכן
ומתכנס.
- הוכחה טריוויאלית בדרך השלילה, בעזרת סעיף 1.
משפט 5 (מבחן ההשוואה הגבולי)
נניח ש-f ו-g אינטגרביליות מקומית ואי-שליליות ב-. עוד נניח שקיים
. אם
מתכנס אז
.
הוכחה
כיוון ש- קיים
כך שלכל
מתקיים
, ז"א
. נתון ש-g אינטגרבילית ב-
, ולכן, לפי משפט 2, היא אינטגרבילית ב-
. לפי משפט 1 גם
אינטגרבילית ב-
. נובע מכך, יחד עם משפט 4, ש-f אינטגרבילית בקטע
ולפי משפט 2 היא אינטגרבילית ב-
.
מסקנה
בתנאים הנ"ל, אם מתקיים גם ש- אז
מתכנס אם"ם
מתכנס.
הוכחה
לפי משפט 5 אם מתכנס אז
מתכנס. נותר להוכיח את הכיוון השני. מכיוון ש-
מתקיים
ולכן, שוב לפי משפט 5, אפשר להסיק ש-
מתכנס אם
מתכנס.
דוגמאות
עבור כל אחד מהאינטגרלים הבאים נבדוק אם הוא מתכנס או מתבדר.
:
פתרון
כידוע, עבור x גדול החזקות הגדולות קובעות את סדר הגודל של הביטוי. לכן עבור
הפונקציה בסדר גודל
. נגדיר
וכן
. אזי
. לכן האינטגרל מתבדר.
-
:
פתרון
נגדיר
וכן
. מתקיים
. אבל
, כלומר מתבדר. לכן גם האינטגרל הנתון מתבדר.
-
:
פתרון
נחשב את
: נפעיל את כלל לופיטל 52 פעמים ונקבל
. לכן אם
מתכנס (מה שאכן מתקיים) אז האינטגרל הנתון מתכנס.
משפט 6 (המבחן האינטגרלי לטורים)
נניח ש-f פונקציה יורדת, אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (עבור
כלשהו). אזי
.
הוכחה
נזכר בהגדרת דרבו של האינטגרל. הוא סכום עליון של
ו-
הוא סכום תחתון. נסיק ש-
. כעת, אם נתון ש-
מתכנס אז הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל, ומכאן נובע שהאינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל. נשאיף
ומכיוון ש-
האינטגרל
מתכנס. מאידך, אם נתון כי
מתכנס אז האינטגרלים החלקיים
חסומים מלעיל, לכן הסכומים החלקיים
חסומים מלעיל ומכיוון ש-
נובע ש-
מתכנס
מתכנס.
מסקנה
בהוכחה הראינו שבתנאים הללו מתקיים .
דוגמאות
-
- מתכנס או מתבדר?
פתרון
נגדיר
, אזי f יורדת, אינטגרבילית מקומית ואי-שלילית ב-
. עפ"י משפט 6 התכנסות הטור שקולה להתכנסות האינטגרל
, שמתבדר:
(אם כי ההתכנסות איטית מאוד).
- ידוע לנו ש-
. אם נקח, למשל,
, מהו סדר הגודל של השארית R?
פתרון
נחסום את השארית מלעיל ומלרע בעזרת המסקנה למשפט 6. נגדיר
אזי
. מתקיים
. כמו כן
ולכן
.
לסיכום, השארית מקיימת
.
פיתחנו כמה משפטים על התכנסות עבור f אי-שלילית. עתה נחזור לפונקציה כללית f שאינטגרבילית מקומית ב-
.
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע . נאמר ש-f מקיימת את תנאי קושי עבור
אם לכל
קיים
כך שאם
אז
.
משפט 7
תהי f מוגדרת בקטע .
קיים ממש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
הוכחה
תחילה נניח שקיים ונאמת את תנאי קושי. יהי
נתון. לפי ההגדרה קיים
כך שאם
אז
. מכאן נובע שאם
אז
ולכן מתקיים תנאי קושי.
מצד שני, אם f מקיימת את תנאי קושי, אז קיים כך שלכל
מתקיים
. נקבע
ונובע שלכל
מתקיים
. לכן אם
אז
ומכאן ש-
. לכן f חסומה בקטע
ולכן
סדרה חסומה. יש לה תת סדרה מתכנסת
כך ש-
קיים ונאמר שהוא
. טענה:
קיים ושווה ל-L. הוכחה:
ולכן עבור
נתון קיים
כך שאם
אז
. כמו כן, עפ"י תנאי קושי יש מספר
כך שאם
אז
. עתה נגדיר
ולכן
.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
מסקנה
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. אזי האינטגרל
מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל
קיים
כך שאם
אז
.
הוכחה
לכל נגדיר
ולכן
. כמו כן מתקיים
. עתה,
מתכנס אם"ם
, וזה נכון אם"ם
.