הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"
מ |
מ (←הוכחה) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 28: | שורה 28: | ||
תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | תהי f מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. עוד נניח ש-f רציפה ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע | + | יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. נגדיר <math>c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}</math>. לפי הנתון f רציפה ב-<math>[c,b]</math>, אזי ממשפט 6 היא אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math>, לכן נוכל לבחור חלוקה P של <math>[c,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר חלוקה Q של <math>[a,b]</math> ע"י <math>Q=\{a\}\cup P</math>. עוד נגדיר <math>M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}</math> וכן <math>m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}</math>. נובע כי {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}</math>}}נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
===מסקנה 1=== | ===מסקנה 1=== | ||
שורה 80: | שורה 80: | ||
#<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | #<math>S(f+cg,P,P')=\sum_{k=1}^n (f+cg)(c_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k+c\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א <math>\lim_{\lambda(P)\to0} S(f+cg,P,P')=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. עצם קיום הגבול אומר ש-<math>f+cg</math> אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>. {{משל}} | ||
− | + | {{המשך סיכום|תאריך=1.3.11}} | |
<ol start="2"> | <ol start="2"> | ||
<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> |
גרסה אחרונה מ־20:32, 29 ביולי 2012
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
וב-
אם"ם היא אינטגרבילית ב-
, ואם כן מתקיים
.
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב-
וב-
. נקח חלוקה כלשהי P של
וחלוקה Q של
ונגדיר
(כלומר R חלוקה של
). לכן מתקיים
. נשאיף
. לפי הנתון
וגם
, לכן
. באותו אופן נקבל
. הראנו ש-
ולכן f אינטגרבילית ב-
. ע"פ משפט 4 נסיק
.
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב
ו-
. נחסיר ונקבל:
. כעת, אם
, האינטגרביליות של f על
גוררת שעבור
ו-
מספיק קטנים
. קיום חלוקה P כזאת לכל
מוכיח ש-f אינטגרבילית ב-
וקיום חלוקה Q - ב-
. השיוויון
נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב-
אז
. ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
-
- אם
ואם f אינטגרבילית ב-
נרשום
(אלה מוסכמות ולא משפטים כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור
)
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם
אז לפי משפט 8
. נבדוק:
ולכן
, מה שגורר
.
משפט 9
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
יהי![\varepsilon>0](/images/math/b/0/f/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png)
![c=a+\frac\varepsilon{2\Omega}](/images/math/c/7/7/c77c1223ee4ed2d9d226545bdb832808.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![[c,b]](/images/math/d/6/0/d6033df87877013a91e322ce6a5bc181.png)
![\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\frac\varepsilon2](/images/math/e/4/8/e4863dabb9282c623b39ab4beb21244b.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![Q=\{a\}\cup P](/images/math/f/8/c/f8c2d01efe1faa1bc7f9285aee1e927e.png)
![M'=\sup\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/4/1/6/41624b23bf9a08bbe2bb5b85524c1b03.png)
![m'=\inf\{f(x):\ a\le x\le c\}](/images/math/9/b/a/9ba5d127c277254560938d42e708ca0b.png)
![\begin{align}\overline S(f,Q)-\underline S(f,Q)&=(M'-m')(c-a)+\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\\&<\Omega(c-a)+\frac\varepsilon2\\&=\Omega\cdot\frac\varepsilon{2\Omega}+\frac\varepsilon2\\&=\varepsilon\end{align}](/images/math/d/6/4/d64dfcf2e7621d04f5c96fc471c48c16.png)
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![\blacksquare](/images/math/9/f/1/9f1f37a0cb8250eac494d0543312de03.png)
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות
כך ש-
. אזי f אינטגרבילית ב-
.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-
. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-
. נסתמך על ההכללה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-
.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב-
אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של
:
. עוד נבחר לכל k מספר
ונכנה כ-P' את התת חלוקה
. ז"א
. בהתאם לכך נבנה סכום רימן
כאשר לכל k מתקיים
.
מקרב את השטח שמתחת לגרף, אך לא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לו.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן
. עם זאת, יתקיים תמיד
. יתר על כן,
ו-
.
הגדרת האינטגרל לפי רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב-
אם כאשר
כל סכומי רימן
שואפים לגבול אחד, שיסומן
.
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז
(לפי רימן)
(לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של :
. כעת נשאיף
. כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו,
וכן
לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש-
קיים ושווה ל-
. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים
.
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-
,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו
. עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם הוכחנו ש-
.
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-, ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות):
אינטגרבילית ב-
ומתקיים
.
- (מונוטוניות): אם
לכל
אז
. (חיוביות): בפרט, אם
אז
.
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): |f| אינטגרבילית ב-
וגם
.
- אם
ב-
אז
ואם
בקטע זה אז אז
.
- אם
(פונקציה קבועה) אז
.
הוכחה
. נשאיף
. כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א
. עצם קיום הגבול אומר ש-
אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק
.
את ההמשך עשינו בשיעור שאחריו:
- נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g:
. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל-
. נשאיף
. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק
.
- נעיר ש-
היא בעצם
. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-
. לכן
. כעת תהי P חלוקה כלשהי של
ואז
. נעיר שלכל f,
היא התנודה של f בקטע
ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע:
כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהינתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של
כך ש-
ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון
. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים
. נשאיף
ונקבל ש-
.
- נתון
. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של
מתקיים
. נשאיף את
כדי להסיק
. אם נתון
אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר
.
- לפי הנתון
. לכן, עפ"י סעיף 4
ויש שיוויון.