הבדלים בין גרסאות בדף "שורש של מטריצה הפיכה"

גרסה אחרונה מ־21:28, 5 בינואר 2012

נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה $A$ ו- $J_{A}A$ יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0 ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח $J_{A}A=\bigoplus J_{m}\left(\lambda\right)$ )סיגמא ישרה( רץ על כל $m,\lambda$ כך ש $J_{m}\left(\lambda\right)$ בצורת ג'ורדן של A אז $sqrt{J_{A}A}=\bigoplus\sqrt{J_{m}\left(\lambda\right)>}$ כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה $2\times2 \left(\begin{array}{cc} \lambda & 1\\ 0 & \lambda \end{array}\right) השורש שלה הוא \left(\begin{array}{cc} \sqrt{\lambda} & \frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\\ 0 & \sqrt{\lambda} \end{array}\right)$

נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה $a_{j(j+i)}$ שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1

נבדוק עבור n+1

יהי $B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}$ נקח מטריצה A כך שהמינורים $M_{11}=M_{nn}=B$ יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור $a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0> נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)$ אם נקח עבור i,j>1 $R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases} 1 & i-1+1=j-1\\ \lambda & i-1=j-1\\ 0 & \text{else} \end{cases}$ בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר $a_{1,n+1}^{2}$ הוא 0 $a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0$ $a_{n+1,1}=0$ על פי סגירות לכפל של משולשיות

ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח $B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP$ נקבל $A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}$ ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 \end{array}\right)</math>
-נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n  ונניח שלכל i  רכיבי האלכסון הi  כלומר הרכיבים מהצורה a_{j(j+i)}  שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1
+נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n  ונניח שלכל i  רכיבי האלכסון הi  כלומר הרכיבים מהצורה <math>a_{j(j+i)}</math>  שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1
 נבדוק עבור n+1
-יהי B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}  נקח מטריצה A  כך שהמינורים M_{11}=M_{nn}=B  יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B  כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0 נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)  אם נקח עבור i,j>1  R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}
+יהי <math>B=\sqrt{J_{n}\left(\lambda\right)}</math>  נקח מטריצה A  כך שהמינורים <math>M_{11}=M_{nn}=B</math>  יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B  כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור <math>a_{1,n+1}=\frac{-1}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}},a_{n1}=0> נוכיח A^{2}=J_{n+1}(\lambda)</math>  אם נקח עבור i,j>1  <math>R_{i}\left(A\right)c_{j}\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n+1}a_{ik}a_{kj}=a_{i1}a_{1j}+\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,i-1}+a_{i,n+1}a_{n+1,j}=\sum_{k=1}^{n}b_{i-1,k}b_{k,j-1}=\begin{cases}
 & i-1+1=j-1\\
 \lambda & i-1=j-1\\
 & \text{else}
 \end{cases}
+</math>
+בגלל שהנחנו ש b  משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n  זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math>  הוא 0  <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0
-בגלל שהנחנו ש b  משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n  זהה. נוכיח שהאיבר a_{1,n+1}^{2}  הוא 0  a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{kn}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0
+</math><math>a_{n+1,1}=0</math>  על פי סגירות לכפל של משולשיות
-a_{n,1}=0  על פי סגירות לכפל של משולשיות
+ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math>  נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math>  ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש
-ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP  נקבל A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}  ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש

הבדלים בין גרסאות בדף "שורש של מטריצה הפיכה"

גרסה אחרונה מ־21:28, 5 בינואר 2012

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים