הפולינום האופייני: הבדלים בין גרסאות בדף
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
(6 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | |||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות: | |||
:<math>f_A(x):=|xI-A|</math> | |||
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> . | |||
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ||
כל התנאים הבאים שקולים: | |||
*<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math> | |||
לפי ההגדרה: | |||
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math> | |||
מעבר אגפים: | |||
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math> | |||
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:) | |||
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math> | |||
לפי ההגדרה: | |||
*קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math> | |||
משפט מלינארית 1: | |||
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | |||
משפט מלינארית 1: | |||
*<math>|A-xI|=0</math> | |||
לפי הגדרה: | |||
*<math>f_A(x)=0</math> | |||
===משפט=== | |||
<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> . |
גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018
הגדרה
תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
- [math]\displaystyle{ f_A(x):=|xI-A| }[/math]
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] .
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
כל התנאים הבאים שקולים:
- [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]
לפי ההגדרה:
- קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]
מעבר אגפים:
- קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]
משפט מלינארית 1:
- המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
- [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]
לפי הגדרה:
- [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]
משפט
[math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו שורש של הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] .