הפולינום האופייני: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==")
 
אין תקציר עריכה
 
(6 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
==הגדרה==
==הגדרה==
תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות:
:<math>f_A(x):=|xI-A|</math>
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> .


==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==
כל התנאים הבאים שקולים:
*<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math>
לפי ההגדרה:
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math>
מעבר אגפים:
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
*קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
לפי ההגדרה:
*קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
משפט מלינארית 1:
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
משפט מלינארית 1:
*<math>|A-xI|=0</math>
לפי הגדרה:
*<math>f_A(x)=0</math>
===משפט===
<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> .

גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018

הגדרה

תהי [math]\displaystyle{ A }[/math] מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

[math]\displaystyle{ f_A(x):=|xI-A| }[/math]

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] .

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

  • [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ A }[/math]

לפי ההגדרה:

  • קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]

מעבר אגפים:

  • קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]

(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)

  • קיים [math]\displaystyle{ v\ne0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]

לפי ההגדרה:

  • קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]

משפט מלינארית 1:

  • המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

  • [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]

לפי הגדרה:

  • [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

משפט

[math]\displaystyle{ x }[/math] הנו ע"ע של [math]\displaystyle{ A }[/math] אם"ם [math]\displaystyle{ x }[/math] הנו שורש של הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] .