קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות

תהיינה $ f,g $ פונקציות.

\begin{thm} אם $$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$ אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)

\end{thm}

\begin{proof} נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ \end{proof}

\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:

1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $

2. $ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 $

3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot f(x) \to cl_1 $

4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $

\end{thm}

\begin{proof} שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות: $$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$ השאר מוכחים באופן דומה. \end{proof}