משפט פרמה (אינפי): הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 4: שורה 4:
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
'''או'''
'''או'''
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)
:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)


אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .
אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .


==משפט פרמה==
==משפט פרמה==
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:
תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים:
 
:<math>f'(x_0)=0</math>
:<math>f'(x_0)=0</math>


===הוכחה===
===הוכחה===
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>


:<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.


לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> .
 
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.


לכן ביחד, מתקיים כי  
לכן ביחד, מתקיים כי  
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> .


באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.
לכן ביחד, מתקיים כי
 
לכן ביחד, מתקיים כי  
 
:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>
:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>



גרסה אחרונה מ־11:39, 7 ביוני 2016

הגדרת נקודת קיצון מקומית

תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] מוגדרת בסביבת הנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בסביבה מתקיים:

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0) }[/math] (נקודת מקסימום מקומי)

או

[math]\displaystyle{ \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0) }[/math] (נקודת מינימום מקומי)

אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] הנה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] .

משפט פרמה

תהי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] . אזי אם [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]

הוכחה

נניח כי [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L }[/math]

לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\gt 0 }[/math] .

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0 }[/math]

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] בה מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le 0 }[/math] , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם [math]\displaystyle{ x-x_0\lt 0 }[/math] .

לכן ביחד, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0 }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] כפי שרצינו. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]

ראו גם